Элементы теории игр. Теорема Неймана

РОССИЙСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  СОЦИАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ СОЦИАЛЬНОГО СТРАХОВАНИЯ, ЭКОНОМИКИ И СОЦИОЛОГИИ ТРУДА

 

 

 

 

 

 

 

 

Лабораторная  работа № 3

«Элементы теории игр. Теорема Неймана»

 

 

 

 

 

 

 

 

Работу выполнила

Студентка 4 курса

Группы МЭК-Д-4

Никишина Анна

Работу проверил

Пилюгин В.С.

 

2012

Задача о Фермере.

Каждый год фермер должен принимать решения о посеве на своих площадях (100 ге). Фермер аккуратно ведет и анализирует многолетнюю статистику урожайности 3х культур на своих площадях, в сочетании с климатическими факторами. Т.е. кол-вом осадков и и средних температур в летний сезон. Для простоты анализа по фактору «осадки» фермер ввел 3 градации для летнего, нормального, засушливого и дождливого сезона. Для фактора T° ввел 2 градации: нормальное и жаркое лето.

Известна статистика урожайности  в центнерах с  1 ге в зависимости от сочетания природных факторов. Известны рыночные цены реализации этих культур. Необходимо принять решение о посеве этих культур, которые принесут фермеру оптимальный гарантируемый рыночный доход.

Нам известно, что летом  прогнозы урожайности таковы:

	НН	НЖ	ЗН	ЗЖ	ДН	ДЖ
А¹	133,3	133,3	100	33,3	233,3	233,3
А²	125	150	200	250	75	100
А³	80	100	60	20	120	140

 

Стоимость реализации 1 центнера:

I культура – 90 у.е.

II культура – 120 у.е.

III культура – 150 у.е.

 

Найдем из этих данных набор  предполагаемых выигрышей . Для этого найдем произведение  этих данных (с сокращением до тысяч).

	I	II	III	IV	V	VI
А¹	12	12	9	3	21	21
А²	15	18	24	30	9	12
А³	12	15	9	3	18	21

 

Данную таблицу можно  рассматривать, как соответствующий  набор выигрышей в матричной  игре с нулевой суммой, где фермер играет против природы .Столбцы отвечают за стратегии второго игрока (природы), а строки-стратегии первого игрока (фермера).

            

В игре нет седловой точки. Нижняя цена равна 9, верхняя - 15.Следователно ищем игру в классе смешанных стратегий.

Упрощаем игру, исключая доминируемые стратегии игроков.

	I	III	IV	V
А¹	12	9	3	21
А²	15	24	30	9

 

Получили игру 2*4, которую  решаем графическим методом, применяя теорему об активных стратегиях.

Пусть X- вектор смешанной стратегии 1-го игрока.

 

X = , но x3= 0                 x=

Т.к. X1 и X2 части поля ,то x1+x2=1

X2= 1- x1

Вектор Y –вектор смешанной стратегии второго игрока.

Y=

V*= V1*x1 + V2*x2- смешанные стратегии, где V1 и V2 – чистые.

V1= 12x1 + 15x2

V3= 9x1 + 24x2

V4= 3x1 + 30x2

V5= 21x1 + 9x2

Выразим данные стратегии  через X1.

V1=15 - 3x1

V3=24 - 15x1

V4=30 - 27x1

V5=9 + 12x1

Построим графики получившихся функций :

На рисунке изображен  выигрыш в зависимости от того, как фермер посеет первую культуру.

Максимальное значение находится  в точке пересечения  V1 и V5.

Найдем x1 в точке пересечения этих функций.

П е р в о й  к  у л ь т у р о й  ф  е р м е р  з а с е  е т 40% т е р р и т о р и и , в т о р о й - 60%.

Д о х о д  с о  с т а в и т  13,8 т ы  с . с  г е к т а р а , т .е . 13 м л н  800 т ы с  с о в с е й т е р р и т о р и и .

Э т о т  д о х  о д  ф е р м е р  с  о с т а в и т  п р  и  к о м б и н а ц  и и  п е р в о й и п я т о й п о г о д ы .

 

Э т о  з н а ч  и т , ч т о  о н п о л у ч и т с в о й м и н и м а л ь н о в о з м о ж н ы й д о х о д п р и н а и х у д ш е м в а р и а н т е п о г о д ы б к о г д а 80% л е т а б у д е т н о р м а л ь н ы м , а 20%л е т о б у д е т д о ж д л и в о - н о р м а л ь н ы м .