Метод наименьших квадратов

Лабораторная работа № 3. Метод наименьших квадратов

Целью выполнения работы является приобретение студентами умения использовать методы вычислительной математики для решения практических задач, а также закрепление навыков использования среды Mathcad для выполнения расчетных заданий и обработки результатов опытов.

Постановка задачи

Опытным путем получены дискретные данные зависимости мольной теплоемкости от температуры, данные представлены в виде таблицы 4.3.

Требуется методом наименьших квадратов определить параметры приближающих функций: линейной и одной из функций вида , затем обосновать какая из полученных функций лучше описывает данный процесс. Построить графики найденных функций и график результатов опытов из табл. 4.3.

Лабораторную работу в системе Mathcad выполнить двумя способами: без применения элементов программирования Mathcad  и с применением программирования пакета Mathcad. Для сравнения результатов использовать функцию Mathcad if.

Сделать выводы, основанные на полученных результатах.

Краткие теоретические сведения

Результаты экспериментов представляются зачастую в виде таблиц (табл.4.5).

Таблица 4.5

Пример представления результатов экспериментов

 

X			…
			…

 

Здесь аргумент X это может быть, время, температура и т.п., а функция – это полученные опытным путем, зависящие от аргумента X например скорость или теплоемкость. То есть может быть это скоростью в момент времени , скорость в момент , – скорость в момент и т. д.  Представляемые таким образом значения функции , являются дискретными (не непрерывными).

Из этой таблицы можно узнать значение функции в точках , но нам ничего не известно, например, о её значении в точке и в любых других точках, которые не принадлежат данному дискретному множеству точек Х, кроме того, мы можем не знать и саму зависимость . Задачи определения вида зависимости или любого приближенного значения этой функции на отрезке очень часто возникают перед исследователями и инженерами при решении практических задач – задач обработки результатов опытов. Для их решения были разработаны методы – методы вычислительной математики или численные методы.

К таким методам относится метод наименьших квадратов, который и будет рассмотрен далее.

Известно, что как бы тщательно мы не проводили опыты или измерения, всегда в результате присутствует ошибка. И, если мы говорим, что процесс изменяется по экспоненциальному закону (см. пример на рис.4.1), то это означает, что результаты измерений, так как они обязательно содержат (пусть очень малую ошибку), не обязательно будут лежать на кривой , а расположатся  рядом с ней – выше или ниже. Так, если в момент значение функции равно , то результат опытов в этот же момент может быть равен и не совпадать со значением функции

Одни и те же экспериментальные данные можно приблизить или описать разными кривыми, однако, среди всех кривых того или иного типа важно найти такую, чтобы сумма расстояний от точек на плоскости (результатов опыта) до данной кривой было минимальным. Именно такая кривая даст наиболее точное приближение к реальному процессу.

То есть необходимо чтобы выполнялось следующее условие:

.

При этом, так как значения результатов опыта могут находиться как выше, так и ниже кривой , то рассматривают не сумму разностей (которая в этом случае может принять нулевое или отрицательное значения при больших отклонениях искомой функции от результатов опыта), а сумму квадратов разностей значений искомой функции и полученных данных :

. (4.11)

 

 

Рис. 4.1. Графики функции

и результатов опыта –

Так как функций одного вида может быть бесконечно много (например эта функция определена для любых a и b из множества действительных чисел), то единственность функции определяется именно значениями параметров. Поэтому вместо (1), будем рассматривать функцию, зависящую от двух аргументов, которые надо определить, а именно а и b:

. (4.12)

Известно, что функция (в данном случае это ) принимает минимальное значение в точке, где  ее производная равна нулю, то есть должны выполняться условия

. (4.13)

Пусть искомая функция имеет вид: , то есть является линейной функцией. Теперь, нам необходимо среди всех функций этого вида найти, такие, чтобы выполнялось условие (2.3). Для этого вычислим производные правой и левой части выражения (2.2), которое для нашей задачи примет вид:

. (4.14)

Дифференцирование (2.4) по а и b даст нам систему линейных уравнений с двумя неизвестными относительно а и b:

Заменив здесь на nb, и разделив обе части уравнений на n, получим:

 

 (4.15)

 

Система (4.15) является системой линейных уравнений вида:

 

 

только неизвестными в нашем случае будут не привычные x и y, а параметры а и b. Разрешив эту систему относительно а и b, получим линейную функцию, которая дает наилучшее приближение для имеющихся исходных данных.

Если же мы хотим найти приближение функцией , то в исходной таблице значений нужно заменить значениями, например, , затем вновь разрешить линейную систему уравнений.

Функции вида путем аналогичных преобразований также приводятся к линейному виду.

Для того чтобы убедиться какое из приближений оказалось лучшим, нужно вычислить:

, (4.16)

и, если ,  то наилучшим из двух будет второе приближение.

 

Порядок выполнения работы

1. Изучив теоретический  материал, построить  математическую  модель вида (4.15) для решения задачи  с помощью нахождения линейной  приближающей функции.

2.Решить полученную систему  линейных уравнений с использованием  встроенных функций Mathcad для определения значения параметров а и b.

3. Преобразовав одну из  функций  ,  или к линейному виду, построить математическую модель (4.15) для определения параметров второй приближающей функции.

4. Найти суммы разностей  квадратов  (4.16) и результаты сравнить с помощью функции Mathcad –  if(cond, I, II ).

5. Построить графики найденных  функций и данных опытов.

6. Решить данную задачу  с применением элементов программирования, встроенных в Mathcad.

7. На основе полученных  результатов сделать выводы.

 

Обработка и представление результатов

Отчет о выполнении лабораторной работы должен содержать описание последовательности выполнения работы, подкрепленными рисунками (скриншотами) с необходимыми пояснениями и выводы. Полученные результаты оформляются в виде графиков с совместным размещением на них данных таблицы 4.5 и графиков найденных функций. Отчет  должен состоять из двух разделов: решения задачи без применения элементов программирования и решения с применением программирования в пакете Mathcad.

 

 

 

 

 

                                                                                                Таблица 4.5 

 

Зависимость мольной теплоемкости от температуры

 

T C°        вариант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	29,274	28,99	29,099	28,199	28,099	29,09	27,999	28,199	29,19	27,799
50	29,666	29,017	29,037	29,337	28,917	29,047	29,037	28,817	29,147	28,037
100	29,93	29,085	29,51	29,851	29,085	29,61	29,451	29,185	29,161	29,251
150	30,277	30,202	29,202	29,812	30,602	29,502	29,812	30,660	29,150	29,712
200	30,914	30,54	30,54	30,554	30,94	30,64	30,754	30,891	30,864	30,654
250	31.586	31.236	31.001	31.601	31.023	31.011	31.701	31.03	31.911	31.601
300	31,698	31,54	31,67	31,967	31,354	31,57	31,988	31,654	31,857	31,888
350	31,030	31,78	31,49	31,549	31,678	31,69	31,449	31,678	31,769	31,549
400	32,462	32,09	32,43	32,143	32,809	32,23	32,123	32,89	32,023	32,323
450	32,062	32,001	32,01	32,301	32,005	32,001	32,351	32,105	32,301	32,351
500	32,89	32,56	32,587	32,595	32,656	32,487	32,65	32,678	32,987	32,75
550	32,03	32,27	32,6	32,469	32,227	32,8	32,69	32,29	32,886	32,79
600	33,009	32,9	32,987	32,99	32,49	32,907	32,99	32,59	32,989	32,99
650	33,79	33,96	33,003	33,203	33,896	33,403	33,01	33,806	33,040	33,11
700	33,495	33,05	33,061	33,461	33,105	33,161	33,099	33,113	33,561	33,199
750	34,944	34,16	34,68	34,968	34,416	34,068	34,468	34,412	34,168	34,568
800	34,583	34,782	34,882	34,582	34,682	34,082	34,583	34,23	34,182	34,683
850	34,92	34,987	35,098	35,009	34,997	35,198	35,109	35,097	35,298	35,209
900	35,25	35,12	35,127	35,527	35,09	35,527	35,027	35,126	35,627	35,127
950	35,681	35,561	35,578	35,978	35,461	35,978	35,98	35,466	35,998	35,198
1000	35,916	36,09	34,99	34,699	36,109	34,999	34,99	36,111	34,999	34,978

 

 

Продолжение таблицы 4.5

 

T C°        вариант	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
0	29,374	28,89	29,199	28,199	28,099	29,09	27,999	28,199	29,19	27,799
50	29,466	29,027	29,137	29,337	28,917	29,047	29,037	28,817	29,147	28,037
100	29,953	29,195	29,651	29,851	29,085	29,61	29,451	29,185	29,161	29,251
150	30,377	30,302	29,302	29,812	30,602	29,502	29,812	30,660	29,150	29,712
200	30,954	30,454	30,654	30,554	30,94	30,64	30,754	30,891	30,864	30,654
250	31.686	31.336	31.101	31.601	31.023	31.011	31.701	31.03	31.911	31.601
300	31,798	31,454	31,567	31,967	31,354	31,57	31,988	31,654	31,857	31,888
350	31,230	31,678	31,549	31,549	31,678	31,69	31,449	31,678	31,769	31,549
400	32,562	32,209	32,543	32,143	32,809	32,23	32,123	32,89	32,023	32,323
450	32,162	32,301	32,101	32,301	32,005	32,001	32,351	32,105	32,301	32,351
500	32,189	32,656	32,687	32,595	32,656	32,487	32,65	32,678	32,987	32,75
550	32,103	32,327	32,75	32,469	32,227	32,8	32,69	32,29	32,886	32,79
600	33,119	32,19	32,989	32,99	32,49	32,907	32,99	32,59	32,989	32,99
650	33,679	33,196	33,203	33,203	33,896	33,403	33,01	33,806	33,040	33,11
700	33,395	33,005	33,261	33,461	33,105	33,161	33,099	33,113	33,561	33,199
750	34,784	34,716	34,768	34,968	34,416	34,068	34,468	34,412	34,168	34,568
800	34,673	34,882	34,982	34,582	34,682	34,082	34,583	34,23	34,182	34,683
850	34,892	34,887	35,398	35,009	34,997	35,198	35,109	35,097	35,298	35,209
900	35,425	35,042	35,227	35,527	35,09	35,527	35,027	35,126	35,627	35,127
950	35,781	35,661	35,678	35,978	35,461	35,978	35,98	35,466	35,998	35,198
1000	35,998	36,209	34,979	34,699	36,109	34,999	34,99	36,111	34,999	34,978

 

Контрольные вопросы

1. Почему при определении  условия  наилучшего приближения  процесса выбранной функцией рассматривают не минимум разности суммы расстояний опытных данных до функции, а сумму квадратов этих расстояний?

2. Как можно преобразовать  функции  и к линейному виду?

4. Какие алгоритмические  структуры  используются при реализации  метода наименьших квадратов?

5. Почему  для функций  вида  и начальное значение температуры нужно заменить на любое малое .

6. Какие встроенные в  Mathcad функции могут быть применены (применялись) при решении данной задачи?