Оценка безотказности и прогнозирование долговечности трубопроводов

Вариант - 3

Постановка задачи

Для оценки надежности линейной части магистрального газопровода (МГ) произведена статистическая обработка данных. Результаты обработки отказов, связанных с разрушением трубопровода или появлением свища, подлежащих устранению с остановкой работы газопровода, приведены в таблицах (ниже).

Для определения вида функции надежности (распределения времени безотказной работы) магистрального газопровода в качестве случайной величины принято число отказов газопровода в календарном интервале времени.

Определить

1. Статистическую (эмпирическую) вероятность отказа  Pc (t ) (для i - го интервала определяется как отношение количества отказов в i-ом интервале к сумме отказов за весь промежуток)

2. Интенсивность потока  отказов, выдвинув гипотезу о  теоретическом экспоненциальном  законе распределения времени  безотказной работы газопровода. закон 1 — экспоненциальное распределение  без коэффициента, имеет вид  P1TO( t )=е - λ 1*t

Для определения параметра λ 1 , использовать методы описанные в настоящих методических указаниях.

3. Значения теоретической  вероятности безотказной работы газопровода P1to(t), используя величину λ1.

5. Интенсивность потока  отказов λ2, выдвинув гипотезу о теоретическом экспоненциальном с коэффициентом законе распределения времени безотказной работы газопровода. Закон 2 – экспоненциальное распределение с коэффициентом С1, имеет вид P2 TO (t)=С1е-λ2*t

Для определения параметра λ2 методы описанные в настоящих методических указаниях

6. Значения теоретической  вероятности безотказной работы  газопровода

P2 TO, используя величину λ2.

Построить графические зависимости Pco (t),P1TO(t)иP2TO на том же листе Excel , где находятся расчеты и таблица 1 исходных данных. 

Таблица 1. Проанализировать полученные результаты.

№ п/п	Интервал работы газопровода, сут	Эмпирическая частота Отказов в интервале, шт
1	0-300	17
2	300-600	16
3	600-900	5
4	900-1200	4
5	1200-1500	3
6	1500-1800	4

 

Определим статистическую (эмпирическую) вероятность отказа  Pc (t ) (для i - го интервала определяется как отношение количества отказов в i-ом интервале к сумме отказов за весь промежуток)

№ интервала	середина временного интервала	вероятность безотказной работы
1	150	17
2	450	16
3	750	5
4	1050	4
5	1350	3
6	1650	4

 

 

 

Определим интенсивность потока отказов, выдвинув гипотезу о теоретическом экспоненциальном законе распределения времени безотказной работы газопровода.

Поэтому выдвигаем гипотезу, что функция надежности имеет экспоненциальную зависимость вероятности от времени безотказной работы трубопровода. Однако экспоненциальная функция надежности может принимать один из двух следующих видов (без коэффициента и с коэффициентом)

закон 1 — экспоненциальное распределение без коэффициента, имеет вид  P1TO( t )=е - λ 1*t.

Определение теоретической функции надежности (построение модели надежности) в Excel методом наименьших квадратов решается в два этапа.

I этап определяется целевая функция, которая представляет собой сумму квадратов разностей отклонений теоретической от эмпирической вероятностей безотказной работы трубопровода. На рабочем листе Excel подготовим диапазоны для ≪входной≫ и «выходной » информации компьютерного моделирования. Для исходных данных выделим следующие диапазоны ячеек:

- в В4-В10 запишем значения середины временного интервала,

- в С4 - С10 запишем значения эмпирических вероятностей безотказной

работы магистрального трубопровода (t).

Для размещения расчетных данных выделим ячейки для целевой функции H5 и интенсивности отказов G5. Пример размещения диапазонов исходных и расчетных данных приводится на рис. 1.

значении = 0 осуществим с помощью стандартной функции СУММКВРАЗН. С помощью цепочки команд Формулы — Функция вызовем диалоговое окно вставить функцию, в котором выберем функцию СУММКВРАЗН.

В качестве массива X запишем диапазон адресов ячеек С5- С10, в которых находятся значения эмпирических вероятностей безотказной работы магистрального трубопровода (t). 

В качестве массива Y запишем формулу расчета значений теоретической функции надежности Р, которая примет следующий вид:

= EXP ( - H5* B5:B10),

где H5 — адрес ячейки, в которой хранится значение интенсивности отказов, в данном случае оно равно нулю; В5:В10

- диапазон ячеек, содержащих значения времени.

Экспонента также имеет соответствующую стандартную функцию ЕХР.

-H7*B7:B12.

В итоге в ячейке G5 получим следующую формулу для вычисления целевой функции Z (рис1):

= СУММКВРАЗН(С5:С10;ЕХР(-G5*В5:В10))

Нажмем клавишу «ОК», получим значение целевой функции Z= при =0 в ячейки G5.

Рис1. Формула вычисления целевой функции.

II этап. С помощью поиска решения определяется значение коэффициента интенсивности отказов при котором сумма квадратов разности Z будет минимальной.

Для запуска поиск решения выполним следующие команды (Рис2): Данные-поиск решения. Для целевой функции укажем адрес ячейки G5, где находится значение целевой функции Z. Переключатель для целевой функции установим положении равное минимальному значению. В поле изменяя ячейки укажем адрес ячейки G7, где находится значение интенсивности отказов. Здесь указываются ячейки, которые должны изменяться в процессе поиска решения задачи, т. е. ячейки, отведенные под переменные задачи. Ограничения в нашем случае отсутствуют, по этому данное поле мы не заполняем.

Рис2. Поиск решения значение коэффициента интенсивности отказов при котором сумма квадратов разности Z будет минимальной

В итоге получим результаты решения задачи, образ экрана которых приводится на рис.3, при полученном значении интенсивности отказа, отличном от нуля, изменилось значение целевой функции (суммы квадратов разностей): Z = 470.647617.

Рис.3 Результат решения задачи

Таким образом, в результате компьютерного моделирования на основании использования метода наименьших квадратов мы определили теоретическую функцию надежности трубопровода (построили модель надежности) ≪без коэффициента≫ (С = 1), имеющую вид. Рис4.

 
Рис. 4. Образ экрана с графиками теоретической и экспериментальной

моделей надежности трубопровода.

Имеются два наблюдения (экспериментальные) величины: х- факторы независимые переменные и yi – отклики зависимой переменной. В нашем случае факторами является а – откликами значения вероятности Pэ1(t).

На рабочем листе 2  скопируем следующий диапазон ячеек В4-В10 запишем значения середины временного интервала, в С4 - С10 ti, запишем значения эмпирических вероятностей безотказной работы магистрального трубопровода Pэ1(t).

Вызовам мастер диаграмм. Диалоговом окне мастер диаграмм выберем точечный тип  графика. 

Построим точечный график эмпирической работы трубопровода, вид которого приводится на рис5.

Рис5. График вероятность безотказной работы.

 Вычислим значения функции надежности для середины интервала времени t. Которая записана в ячейки В4-В10 электронной таблицы на основание полученной формулы запишем D4:D10 рис6.

 

Рис6. Образ экрана графического метода

Достаточно много статистических моделей описывается экспоненциальным законом распределения случайной величины, поэтому в Excel разработан специальный метод для построения и анализа подобных моделей — с помощью статистической функции ЛГРФПРИБЛ.

Экспоненциальная модель в данном методе описывается уравнением Y=C*mx.

В нашем случае неизвестной зависимой величиной Y соответствует Pτ (t), а величине х соответствует t. Параметр т определяется по формуле: m=e-λ.

Поэтому искомые параметр - интенсивность потока отказов определяется соответствующим выражением через натуральный параметр- интенсивность потока отказов определяется соответствующим выражением через натуральный логарифм: λ=-ln(m).

Данный метод позволяет получит полную статистику  экспоненциальной регрессии которая представляется в виде таблицы, состоящей из пяти строк и двух колонок. Рассмотрим применение данного метода, для которого ранее построили модели надежности трубопровода методами наименьших квадратов и построения линии тренда.

Перейдем на лист 3 скопируем данные в диапазоне  ячеек В4-В10 запишем значения середины временного интервала, в С4 - С10 запишем значения эмпирических вероятностей безотказной работы магистрального трубопровода (t).

Выделим под ожидаемый результат диапазон электронной таблицы размером 5x2 (пять строк и две колонки), содержащий ячейки А17В21.

Значение параметров С и m экспоненциальной регрессии определяются с помощью статистической функции  ЛГРФПРИБЛ. Для этого вызовем вставка функция категория статистическая – ЛГРФПРИБЛ.рис7.

Рис7. Выбор функции ЛГРФПРИБЛ категория « Статические»

Нажмем одновременно три клавиши  Ctrl +Shift+Enter для получения числового массива дополнительной статистики. Результаты вычисления приведены на рис8.

Рис8. Построение уравнения экспоненциальной регрессии с коэффициентом

В ячейки В14 листа Excel, что соответствует G1 табл.2, записан коэффициент С = 18.49362. Округлим результат до двух значащих цифр после запятой и сравним его с результатом, полученным при использовании метода построения линии тренда. Как видно на рис. 5 и 8, результаты вычислений коэффициента С разными методами совпадают.

 

Таблица2. Массив данных дополнительной статистики

номер строки	F	G
1	0,998812	18,49362
2	0,00032	0,331484
3	0,775128	0,401703
4	13,78792	4
5	2,224887	0,64546

В ячейке А14 рабочего листа Excel, что соответствует F1 табл.2, записан параметр m, на основании которого определяется интенсивность отказов по формуле λ=-ln(m).

Вычислим значение в ячейку I4  рабочего листа Excel. Для этого установим курсор этой ячейке, вызовем функцию Ln, в качестве аргумента укажем ячейку А17, в которой содержится вычисленное значение параметра m = 0,998812 (рис. 9). Результате получим = -0,0011885.

 
Рис9. Окончательный результат вычисления построения модели экспоненциальной регрессии с коэффициентом

 В ячейке А19 листа Excel, что соответствует F3 табл. 1.5, записан коэффициент детерминации R2 = 0,775128 .Округлим результат до четырех значащих цифр после запятой и сравним его с результатом, полученным при использовании метода построения линии тренда (см. рис. 5). Как видно на рис.9, результаты вычислений R 2 = 0,775 разными методами совпадают.

Вывод: теоретическая функция надежности (модель надежности) с коэффициентом, полученная третьим способом в результате использования метода экспоненциальной регрессии, полностью совпадает с теоретической функцией, полуденной графическим методом, определяется формулой и является достоверной согласно вычисленному значению коэффициента детерминации R 2 =0,775 

Аналогичным образом можно определить теоретическую функцию надежности трубопровода без коэффициента по формуле (1.1). Отличие будет заключаться в задании значения аргумента Конст функции ЛГРФПРИБЛ, которое приводится на рис. 10. На рис. 11 приводятся окончательные результаты построения моделей надежности трубопровода.