Основные законы и распределения случайных величин. Вероятностные и числовые характеристики случайных величин

 

 

Содержание

 

 

Тема № 1. Основные законы и распределения случайных величин. Вероятностные и числовые характеристики  случайных величин.

Задача № 1.1

Дискретная случайная величина имеет следующее распределение вероятности:

	-8	-6	-4	0	4	8	6	12	16
	0.1	0.1	0.2	0.1	0.1	0.1	0.1	0.1	0.1

 

1. Построить график  функции  распределения Fx(X)=?

2. Найти  математическое ожидание Мx и дисперсию Dx.

 

Решение

1. График  функции распределения Fx(X)

 

2. Матеметическое  ожидание:

 

3. Дисперсия:

D(x)=M(x2)-[M(x)]2= [0,1´(-8)2 +0,1´(-6)2 +0,2´(-4)2 +0,1 42+0,1 62+0,1 82+

+0,1 122+ 0,1 162 ] – 2,42= 64,8 – 5,76 = –59,04

 

 

Задача № 1.2

Плотность распределения непрерывной случайной величины x имеет график (см. рисунок). Написать выражение fx(x) и функции распределения Fx(x), предварительно определив значение коэффициента а. Построить график Fx(x). Найти вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее 1.

 

Решение

Плотность распределения f(x)

    

интеграл от f(x) =1 при х = (- 4; 4) Þ вычислим значение а

тогда

    

Для нахождения функции распределения воспользуемся формулой

Если x £ - 4, то f(x)=0, тогда

Если - 4 < x £ - 2, тогда

Если - 2 < x £  2, тогда

Если 2 < x £  4,

тогда

 

Если 4 < x, тогда

Таким образом получили функцию распределения

    

 

Подставим x =1 в функцию распределения.

 

 

Задача № 1.3

 Непрерывная случайная величина x задана функцией распределения Fx(x). Найти числовые характеристики: математическое ожидание и дисперсию, предварительно аналитически записав функцию распределения.

 

Решение

Функция распределения F(x)

 

 

Найдем плотность распределения f(x)

 

 

Математическое ожидание

так как F(0) = 0,5  Þ   b = - a,  тогда М(Х) = 0.

 

Дисперсия

так как  М(Х) = 0 и b = - a, то в нашем случае

 

 

Задача № 1.4

Непрерывная случайная величина x распределена по нормальному закону с параметрами Norm( ,DT). Найти закон распределения случайной величины  y, если y=ax+b, где a, b - неслучайные величины.

 

Решение

Имеем:

Математическое ожидание – Т

Дисперсию – DT

 

 Имеем  плотность распределения случайной  величины х, распределенной по  нормальному закону:

Пусть случайная величина у являет функцией g(x)

Тогда случайная величина х равна обратной функции g–1(у)

или

Плотность распределения случайная величина у равна:

, где

,

,

следовательно

Так как функция распределения случайной величины равна интегралу от плотности распределения, то

 

Тема № 2. Надежность невосстанавливаемого элемента (НВЭ)

Задача № 2.1

НВЭ подчиняется сложному экспоненциальному закону надежности (см. рисунок). Записать аналитически выражение для интенсивности отказов l(t), найти функцию надежности и среднее время до отказа НВЭ

 

Решение

тогда функция надежности имеет вид:

или

 

 

 

 

 

Задача № 2.2

АЦП функционирует в программно-аппаратной измерительной системе. Время преобразования АЦП t<<То. (То - период дискретизации АЦП). Найти среднее время работы до отказа АЦП , считая, что вероятность отказа при каждом запуске АЦП P0=0,1 и запуски АПЦ производятся независимо  друг от друга.

 

Решение

Так как вероятность отказа при каждом запуске АЦП P0=0.1, то вероятность работоспособности АЦП при каждом запуске равна 0,9.

Среднее время работы до отказа для случая, когда   - дискретная величина, равна:

, где моменты времени запуска  АЦП 

Тогда среднее время работы до отказа

 

 

 

 

 

Тема № 3. Надежность восстанавливаемых элементов

 

Задача № 3.1 

Коэффициент готовности ЭКВВ равен 0.6, длительность безотказного функционирования подчиняется экспоненциальному закону с интенсивностью lT=0,75 (час). Найти среднее время восстановления и вероятность того, что за время длительностью в 100 часов элемент будет работать безотказно на бесконечно большом интервале функционирования (при t®¥).

 

Решение

Найдем среднее время восстановления

где

 

тогда

Вероятность безотказной работы на  интервале равна

 

 

Задача № 3.2

Для ЭКВВ времена работы между отказами Т и восстановлениями Q распределены по нормальному закону с параметрами соответственно и . Найти вероятность того, что за время t=100 (час) элемент восстановится ровно 2 раза.

 

 

Решение

Из асимптотических свойств процесса восстановления ЭКВВ имеем, что

, где 

тогда

 

и

 

Тема № 4. Надежность невосстанавливаемых систем

 

Задача № 4.1

Найти функцию надежности невосстанавливаемой системы (НВС), представленной на рисунке своей структурной схемой надежности, выбрав в качестве особых элементов 2 и 4. Привести эквивалентные структурные схемы.

 

 

 

 

 

 

 

Решение

Рассмотрим несколько случаев для различных состояний особых элементов:

1. Оба особых элемента работоспособны. Тогда заданная схема сводится  к следующей:

 

В результате имеем три блока параллельных соединений, связанных между собой последовательно.

1. Известно, что для параллельного соединения функция надежности равна:

Тогда функция надежности первого блока равна:

P(t)=1– (1 – P1(t)) (1 – P6(t)) = 1 – (1 – P1(t) – P6(t) + P1(t) P6(t)) = P1(t) + P6(t) – P1(t) P6(t)

Соответственно для следующих блоков

P(t)= P2(t) + P7(t) – P2(t) P7(t)

P(t)= P3(t) + P8(t) – P3(t) P8(t)

1. Известно, что для последовательного соединения функция надежности равна:

Тогда функция надежности всей системы равна:

P(t)= [P1(t) + P6(t) – P1(t) P6(t)][P2(t) + P7(t) – P2(t) P7(t)][ P3(t) + P8(t) – P3(t) P8(t)]

 

2. Оба особых  элемента неработоспособны. Тогда  заданная схема сводится к  следующей:

В результате имеем параллельное соединение двух блоков, элементы которых связанных между собой последовательно.

Тогда функция надежности первого блока равна:

P(t)=P1(t) P2(t) P3(t)

Аналогично для второго блока

P(t)=P6(t) P7(t) P8(t)

Тогда функция надежности всей системы равна:

P(t)= 1 – [1– ( P1(t) P2(t) P3(t))][1– ( P6(t) P7(t) P8(t))] =

= P1(t) P2(t) P3(t) + P6(t) P7(t) P8(t) – [P1(t) P2(t) P3(t)][P6(t) P7(t) P8(t)]

 

3. Особый  элемента 4 работоспособен, а особый  элемента 5 - неработоспособен. Тогда  заданная схема сводится к  следующей:

 

Функция надежности параллельного соединения 1 и 6 элементов равна:

P1(t) + P6(t) – P1(t) P6(t)

Функция надежности последовательного соединения 2 и 3 элементов равна: P2(t) P3(t)

Функция надежности последовательного соединения 7 и 8 элементов равна: P7(t) P8(t)

Функция надежности параллельного соединения (2,3) и (7,8) равна:

P2(t) P3(t) + P7(t) P8(t) – (P2(t) P3(t)) P7(t) P8(t))

Тогда функция надежности всей системы равна:

P(t) = [P1(t) + P6(t) – P1(t) P6(t)][ P2(t) P3(t) + P7(t) P8(t) – (P2(t) P3(t)) P7(t) P8(t))]

 

4. Особый  элемента 5 работоспособен, а особый  элемента 4 - неработоспособен. Тогда  заданная схема сводится к  следующей:

Это схема аналогична предыдущей, но имеет другую комбинацию элементов

Тогда функция надежности всей системы равна:

P(t) = [ P1(t) P2(t) + P6(t) P7(t) – (P1(t) P2(t)) P6(t) P7(t))] [P3(t) + P8(t) – P3(t) P8(t)]

 

 

 

Задача № 4.2

Программно-аппаратная подсистема измерений (ПСИ) осуществляют измерение однородных К параметров в процессе проведения испытаний объекта (ОИ) в режиме  реального времени. Длительность работы каждого устройства задана (например, Тиц, ТМП и т.п.). Определить функциональную надежность этой ПСИ, если известно, что для каждого компонента справедлив экспоненциальный закон надежности и известна интенсивность отказов :

Замечание: Функциональная надежность – вероятность того, что система выполнит

возложенные на нее функции за выделенное ей время PФ=P(t)½t=Tи.

Задана структурная схема ПСИ. По ней построить структурную схему надежности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Временная диаграмма приведена на рисунке (опрос следующего канала начинается только тогда, когда информация по предыдущему каналу будет зафиксирована на магнитном носителе в ЭВМ).

 

 

 

 

 

 

 

Решение

Построим функциональную схему надежности

 

 

 

 

 

 

Т.к. ИЦ однородны, то они являются элементами с параллельным соединением. Остальные элементы системы включаются последовательно. 

Учитывая, что опрос следующего канала начинается только после фиксации информации на магнитном носителе в ЭВМ, система за один временной цикл (TЦИ+TМП+TАЦП+TШ+TЭВМ.) выполняет возложенные на нее функции

Функциональная надежность равна:

Согласно экспоненциальному закону надежности имеем

тогда

 

Тема № 5. Надежность восстанавливаемых систем

 

Задача № 5.1.

Система состоит из пяти приборов, причем отказ любого из них ведет к отказу системы в целом. Известно, что первый прибор отказал 34 раза в течение 952 часов, второй – 24 раза в течение 960 часов, а остальные приборы в течение 210 часов работы отказали соответственно 4, 5 и 6 раз. Определить среднее время до отказа системы, если для каждого прибора справедлив экспоненциальный закон надежности

 

Решение

Исходя из условия, что отказ любого из приборов ведет к отказу системы в целом, построим функциональную схему надежности

 

Таким образом, имеем последовательное соединение пяти элементов.

Получаем, что

28 ч.

40 ч.

52,5ч.

42 ч.

35 ч.

Из асимптотических свойств потока восстановления МВС следует, что

Или

 

 

Задача № 5.2.

Построить временную диаграмму функционирования системы, имеющей следующую структурную схему надежности (все элементы системы - МВЭ).

 

 

 

 

Решение

Временная диаграмма функционирования системы имеет следующий вид:

 

 

Тема № 6. Резервирование систем

Задача № 6.1.

Нарисовать временную диаграмму функционирования системы, если она резервируется по следующей схеме и найти в общем виде время работы до отказа этой системы (считать, что законы надежности известны для каждого элемента системы).

Решение

 

 

 

 

 

Для ненагруженного резервирования 

Из приведенной временной диаграммы следует, что время работы до отказа системы равно