Предмет теории игр, ее основные понятия

Основные данные о работе

Версия шаблона	2.1
ЦДОР	Ковровский
Вид работы	Творческое эссе
Название дисциплины	Моделирование систем
Тема	Предмет теории игр, ее основные понятия
Фамилия	Баринов
Имя	Михаил
Отчество	Олегович
№ контракта	15500100602005

 

Основная часть

Предмет теории игр, ее основные понятия

На протяжении всей своей истории существования человечеству приходилось сталкиваться с различного рода ситуациями, то ли это была война или какой-то вид мирной деятельности, в которых встречались две противоборствующие стороны. У каждой из сторон была своя определённая цель, которую они пытались осуществить, и то, кто первым добьется осуществления своей цели, зависело от принятия каждой из сторон определённой стратегии или совокупности действий.  И такого рода ситуации являются конфликтными ситуациями.

В настоящее время конфликтные ситуации встречаются на каждом шагу нашей жизни. В любом виде жизнедеятельности человеку приходится сталкиваться с такого рода ситуациями.  Так конфликтные ситуации могут возникнуть в экономике, судопроизводстве, спорте и других видах деятельности. Например, в экономике эти ситуации возникают между различными торговыми фирмами, промышленными предприятиями, трестами, монополиями. И каждая из фирм стремится к тому, чтобы именно её продукцию покупали чаще. А в спорте противоборствующими сторонами в конфликтных ситуациях являются разные футбольные клубы или сборные стран, которые стремятся добиться большего количества выигранных кубков различного рода Чемпионатов мира, Европы или чемпионатов определённых стран.  Также к такому роду ситуациям можно отнести ведение боевых действий.

Решением такого рода ситуаций занимается специальная наука, которая называется теорией игр. Теория игр – это раздел прикладной математики или точнее исследования операций, занимающийся изучением оптимальных стратегий в играх. И основной целью теории игр, которую преследует эта наука при решении каждой из конфликтных ситуаций, является  нахождение оптимальной стратегии для каждой из конфликтующих сторон, чтобы в результате выйти из неё победителем. 

Любая конфликтная ситуация встречающаяся человеку на протяжении его жизни достаточно не просто подаётся изучению и решению. Это происходит благодаря большому количеству факторов, которые влияют на возможности продвижения и развития этой ситуации. А чтобы не было трудностей в процессе поиска выхода из этой ситуации, нужно создать более простую её модель, благодаря которой можно будет отбросить все незначительные и несущественные факторы, очень слабо сказывающиеся на развитии ситуации.  Именно такие упрощённые модели конфликтных ситуаций носят название игр.

Так как игра представляет собой более простую модель реальной конфликтной ситуации, то между игрой и реальной конфликтной ситуацией есть определённые отличия. Так, например, при создании игры (модели конфликтной ситуации) в отличие от реальной конфликтной ситуации учитываются лишь только важные факторы, очень сильно влияющие на развитие определённой ситуации в целом. В то время как при поиске выхода из реальной конфликтной ситуации, без использования её модели будут задействованы все факторы и важные и несущественные.

Также еще одно отличие игры от реальной ситуации состоит в том, что игра идёт по определённым правилам, которые в ней обязательно соблюдаются, в то время как в реальной конфликтной ситуации соблюдение правил может отвергаться.

В настоящее время люди очень часто пользуются такого рода моделями конфликтных ситуаций. К ним можно отнести такие игры как шашки, шахматы, карточные игры и т.д.  Такого рода игры носят соревновательный характер, проводятся по определённым правилам и результатом таких игр является победа одной стороны и проигрыш других (другой) сторон (ы).

  И на примере таких игр будут  рассмотрены самые основные определения  и понятия теории игр.   Так лица принимающие участие в игре являются игроками, а результатом игры называется выигрыш одного игрока и проигрыш другого.  Одновременно в игре (конфликте) могут принимать участие два и более игрока.  Игру, включающую только двух игроков,  называют парной.  Если же в игре принимают участие более двух игроков, то в этом случае игра называется множественной. Если игроков более двух, то они могут создавать устойчивую коалицию, либо коалицию на какое то определённое время.  Таким образом, множественная игра может стать парной, если в игре будут принимать участие две коалиции игроков. Больше всего на практике в жизни людей встречаются парные игры, поэтому именно они будут подвергнуты более подробному  рассмотрению и изучению.

Так, например, два игрока под именами А и Б принимают участие в парной игре И. При этом каждый из игроков преследуют в результате игры свои определённые цели. Сама игра представляет собой совокупность ходов двух участников игры. Также в игре присутствует определённая система правил, в которой прописана информация о том, какие возможные варианты ходов могут проделывать игроки, что может знать каждый игрок о поведении своего соперника и к какому результату может привести каждая из определённых совокупностей ходов.

Результат игры в основном обозначают в виде числа, хотя кроме числового выражения имеются другие виды обозначения результата (выигрыша или проигрыша).   Так, например, в шахматах выигрыш обозначается цифрой 1, проигрыш цифрой 0, а ничья дробью ?.

Если в результате игры один игрок выиграл столько же, сколько проиграл другой игрок, то в таком случае игру называют игрой с нулевой суммой.

Обозначим а выигрыш игрока А, а b — выигрыш игрока В в игре с нулевой суммой. Так как игрок А выиграл столько же сколько проиграл игрок B, то при анализе такой игры нет необходимости рассматривать оба эти числа — достаточно рассматривать выигрыш одного из игроков; пусть это будет, скажем, А. В дальнейшем мы, для удобства изложения, сторону А будем условно именовать «мы», а сторону В - «противник».

Развитие игры во времени мы будем представлять состоящим из ряда последовательных этапов или «ходов». Ходом в теории игр называется выбор одного из предусмотренных правилами игры действий и его осуществление

Ходы бывают личные и случайные. Личным ходом называется сознательный выбор игроком одного из возможных вариантов действий и его осуществление (пример — любой ход в шахматной игре). Случайным ходом называется выбор из ряда возможностей, осуществляемый не решением игрока, а каким-либо механизмом случайного выбора (бросание монеты, выбор карты из перетасованной колоды и т. п.). Для каждого случайного хода правила игры определяют распределение вероятностей возможных исходов.

Некоторые игры состоят только из случайных ходов (так называемые чисто азартные игры) или только из личных ходов (шахматы, шашки). Большинство карточных игр содержит как личные, так и случайные ходы.

Теория игр занимается анализом только тех игр, которые содержат личные ходы; ее задача — дать указания игрокам при выборе их личных ходов, т. е. рекомендовать им определенные «стратегии».

Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор варианта действий при каждом личном ходе этого игрока в зависимости от ситуации, сложившейся в процессе игры.

Понятие стратегии — одно из основных в теории игр; остановимся на нем несколько подробнее. Обычно, принимая участие в игре, игрок не следует каким-то жестким, фиксированным правилам: выбор (решение) при каждом личном ходе принимается им в ходе игры, в зависимости от сложившейся конкретной ситуации. Однако теоретически дело не изменится, если мы представим себе, что все эти решения приняты игроком заранее («если сложится такая-то ситуация, я поступлю так-то»). В принципе (если не практически) это возможно для любой игры. Если такая система решений будет принята, это будет означать, что игрок выбрал определенную стратегию. Теперь он может и не участвовать в игре лично, а заменить свое участие списком правил, которые за него будет применять незаинтересованное лицо (судья). Стратегия может быть также задана машине-автомату в виде программы (именно так играют в шахматы электронные вычислительные машины).

В зависимости от числа возможных стратегий игры делятся на «конечные» и «бесконечные».

Игра называется конечной, если у каждого игрока имеется только конечное число стратегий, и бесконечной, если хотя бы у одного из игроков имеется бесконечное число стратегий.

Целью теории игр является выработка рекомендаций для разумного поведения игроков в конфликтной ситуации, т. е. определение «оптимальной стратегии» для каждого из них.

Оптимальной стратегией игрока называется такая стратегия, которая при многократном повторении игры обеспечивает данному игроку максимально возможный средний выигрыш (или, что то же, минимально возможный средний проигрыш). При выборе этой стратегии основой рассуждений является предположение, что противник по менышей мере так же разумен, как и мы сами, и делает все для того, чтобы помешать нам добиться своей цели.

В теории игр все рекомендации вырабатываются исходя именно из этих принципов; следовательно, в ней не учитываются просчеты и ошибки игроков, неизбежные в каждой конфликтной ситуации, а также элементы азарта и риска.

Теория игр, как и всякая математическая модель сложного явления, имеет свои ограничения. Важнейшим из них является то, что выигрыш искусственно сводится к одному-единственному числу. В большинстве конфликтных ситуаций при выборе разумной стратегии приходится принимать во внимание не один, а несколько числовых параметров — показателей эффективности.

Стратегия, оптимальная по одному показателю, необязательно будет оптимальной по другим. Сознавая эти ограничения и поэтому не придерживаясь слепо рекомендаций, полученных игровыми методами, можно все же разумно использовать математический аппарат теории игр для выработки, если не в точности оптимальной, то, во всяком случае «приемлемой» стратегии.

Рассмотрим конечную игру, в которой игрок («мы») имеет  m стратегий, а игрок В («противник») — n стратегий. Такая игра называется игрой mxn.   Будем обозначать наши стратегии A^1, A^2, ...., A^m; стратегии противника — B^1, B^2 ...., B^n.  Предположим, что каждая сторона выбрала определенную стратегию: мы выбрали A^i,  противник — B^j. Если игра состоит только из личных ходов, то выбор стратегий A^i, B^j  однозначно определяет исход игры — наш выигрыш (положительный или отрицательный); обозначим его  a^ij.

Если игра содержит кроме личных случайные ходы, то выигрыш при паре стратегий A^i, B^j  есть величина случайная, зависящая от исходов всех случайных ходов. В этом случае естественной оценкой ожидаемого выигрыша является математическое ожидание случайного выигрыша. Мы будем обозначать одним и тем же знаком a^ij как сам выигрыш (в игре без случайных ходов), так и его математическое ожидание (в игре со случайными ходами).

Предположим, что нам известны значения a^ij  при каждой паре стратегий. Эти значения можно записать в виде прямоугольной таблицы (матрицы), строки которой соответствуют нашим стратегиям (A^i), а столбцы — стратегиям противника (B^j).

Такая таблица называется платежной матрицей или просто матрицей игры.

Заметим, что построение платежной матрицы, особенно для игр с большим количеством стратегий, может само по себе представлять весьма непростую задачу.

Например, для шахматной игры число возможных стратегий так велико, что построение платежной матрицы (даже с привлечением вычислительных машин) является пока практически неосуществимым. Однако в принципе любая конечная игра может быть приведена к матричной форме.

 

Список использованных интернет-ресурсов

№ п/п	Наименование интернет-ресурса	Ссылка на конкретную используемую страницу интернет-ресурса
1	Научная библиотека избранных естественно-научных изданий  научная-библиотека.рф	http://stu.sernam.ru/book_rop.php?id=94
2	Вся математика в одном месте!	http://www.allmath.ru/appliedmath/operations/operations21/operations.htm
3	61. Предмет и основные понятия  теории игр	http://tpr08.narod.ru/index/0-69