Програма обчислення визначених інтегралів по квадратурним формулам

Міністерство  освіти і науки України

НАЦІОНАЛЬНИЙ  ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ

«КИЇВСЬКИЙ  ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ»

Кафедра прикладної математики

 

 

 

 КУРСОВА  РОБОТА

по дисципліні:

"Програмування" 2-й семестр

на тему:

 «Програма обчислення визначених інтегралів по квадратурним формулам»

(«формули прямокутників»)

 

Виконала: Щербаченко Л.В.

Група КМ-11 факультет ФПМ

№ залікової  книжки КМ-1121

Допущена до захисту______

 

 

                     Керівник ___________ (Олефір О.С. )

        

                                                 "___" _________ 2012р.

 

Захищена з оцінкою  _________    

 

          

 

КИЇВ

2012

ВСТУПЛЕНИЕ……………………………………………..………………………..3

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ…………………………………………….….……...4

2. ПРОЕКТИРОВАНИЕ ПРОГРАММНЫХ СРЕДСТВ………………….……5

  2.1. Математические методы решения задачи………………………….…….......6

  2.2. Проектирование алгоритмов ………………………………………………..10

2.2.1. Структура программного обеспечения …………………………….....11

2.2.2. Описание разработанных алгоритмов ………………………….…....12

2.2.3. Средства управления программами ……………………………........13

  2.3. Информационное обеспечение…...………………………………………....14

2.3.1. Описание входных данных ……………………………….……..…...15

2.3.2. Описание результатов …………………………………….…………...16

3. ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ……………………………………………..17

3.1. Описание разработанных программ……….….………………………...18

3.2 Требования к аппаратным и программным средствам…………………..19

3.3. Руководство пользователя ………………………………………………..20

4. ИСПЫТАНИЕ РАЗРАБОТАННЫХ ПРОГРАММ ……………………….....25

4.1 Описание контрольных примеров. Результаты тестирования на ЭВМ...25

ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………………….30

ЛИТЕРАТУРА………………………………………………………………..…….31

ПРИЛОЖЕНИЯ ..…………………………………………………………………..32

 

ВСТУПЛЕНИЕ

В данной расчетно-графической работе осуществляется разработка учебной программы по вычислению определённых интегралов(по формулам прямоугольников) с помощью программы Delphi7. Эта программа  помогает вычислять некоторые определённые интегралы. В использовании не требует особого обучения . Это приложение  популярно среди людей нуждающихся в точном подсчёте интегралов . Подсчёт интегралов не занимает много времени, что так же повышает ее популярность.

Разработанная программа   должна удовлетворять следующим условиям:

• иметь удобный, понятный интерфейс;

• выполнять подсчёт интегралов в соответствии с математическими методами и правилами;

• иметь простые процедуры выхода в зависимости от причин прерывания             работы программы и результатов подсчёта;

• должна быть возможность начать ввод данных для функции сначала;

 

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Основной  целью разработки данной программы  является вычисление определённых интегралов по квадратурным формулам (формулам правых, левых и центральных прямоугольников). Эта программа должна получить входные данные (начало, конец отрезка, коэффициенты функций), введённые пользователем или сгенерированные компьютером (начальные значения). После чего проверить их на соответствие требованиям, которых нужно придерживаться (контроль введения символа, удовлетворение области допустимых значений функции), потом в случае удовлетворяющих входных данных программа обрабатывает их, после чего выдаёт результат в виде действительного или целого числа.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. ПРОЕКТИРОВАНИЕ ПРОГРАММНЫХ СРЕДСТВ

 Реализация поставленной задачи должна быть выполнена программным языком Delphi7, поэтому главным программным средством для написания кода, его компиляции и сборки программы будут средства, включенные в среду программирования Delphi7, в частности будут использоваться модули Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms, Dialogs, StdCtrls, ExtCtrls, xpman, jpeg, Menus.

 Необходимо отметить, что главным режимом работы программы будет интерфейсный режим, инициализированный самой программой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.1 Математические методы решения задачи

Квадратурные  формулы с равностоящими узлами

Квадратурные формулы  с равностоящими узлами применяются  для вычисления интеграла:

                                                  

с постоянной функцией и  конечным отрезком интегрирования.

Пусть на отрезке  задана функция .Введем сетку, разбивающую отрезок на N равностоящих узлов.

Где , шаг и обозначим

                                

Выберем на каждом сегменте серединную точку  и обозначим

Точность  вычислений (при заданном количестве узлов)

Количество  точек разбиения удваивается  и производится оценка точности вычислений:

Е=| S_2n-S_n | или считается сумма между результатами подсчёта по формулам  левых и правых прямоугольниках, после чего полученное выражение делится на два и от результата отнимается результат подсчёта по формулам  центральных прямоугольников.  

Квадратурные  формулы левых и правых прямоугольников

Самый простой  метод приближённого вычисления площадей узких полосок -- заменить их площадями прямоугольников, основанием которых служит отрезок на оси , а высотой -- отрезок, задающий значение функции в одном из концов основания, то есть либо в точке , либо в точке . Тогда в первом случае площадь равняется , а во втором . Суммируя по всем отрезкам разбиения, то есть по от до , получаем в первом случае квадратурную формулу левых прямоугольников:

а во втором случае квадратурную формулу правых  прямоугольников:

Рис.1.1

Квадратурная  формула центральных прямоугольников

Снова рассмотрим отрезки разбиения  , где и , , и выберем в качестве точек разметки середины каждого из этих отрезков, то есть точки

(Мы будем эти середины обозначать  .) Возьмём за приближённое значение интеграла интегральную сумму, построенную по такому размеченному разбиению. Каждое слагаемое в этой сумме, равное

выражает площадь прямоугольника с основанием и высотой, равной значению функции в середине этого отрезка (см. рис.1.2):

Рис.1.2

 

Получим тогда квадратурную формулу:

называемую формулой центральных прямоугольников.

Если  взять все отрезки разбиения  равной длины  , то эта квадратурная формула принимает вид

Заметим, что в этом случае

Для выяснения характера ошибки , возникающей при замене на заметим, что если функция f(x) дифференцируема, то прямоугольник площади Si равновелик трапеции, верхней стороной которой служит касательная к графику y = f(x) (см. рис.1.3):

Рис.1.3

 
 
Действительно, заштрихованные на рисунке  треугольники равны, отчего равны площади  прямоугольника и трапеции .

Отсюда  следует, что если функция  имеет вторую производную, то при график является выпуклым кверху и (так как из чертежа видно, что площадь трепеции, равная , больше площади под графиком функции, а при график является выпуклым книзу и . Значит, при на получаем , а при  -- .

 

 

 

 

 

 

2. Проектирование алгоритмов

При разработке алгоритмов бралось во внимание наличие  стандартных компонентов среды  программирования Delphi 7. Поэтому они широко использовались при написании программы. В расчетно-графической работе представлен структурный алгоритм, который схематически описывает деятельность программы, а также более подробный алгоритм функционирования программы.

Подробное описание разработанных алгоритмов представлено в разделах 2.2.1. «Структура программного обеспечения», 2.2.2. «Описание  разработанного алгоритма», 2.2.3. «Средства  управления программой».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2.1. Структура программного обеспечения

Вся программа  была разделена на 13 форм. При запуске программы загружается заставка, отображение какой продолжается 5 секунд. 

 

 

 

       На рисунке изображена структурная схема разрабатываемой программы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2.2. Описание разработанных алгоритмов

Блок-схема  процедуры тестирования (осуществляется при нажатии на кнопку «Подсчёт» после заполнения коэффициентов функции):

 

 

 

 

 

 

 

 

                               Да                                                                   Нет

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычисление интеграла:

 

 

 

 

 

 

 

2.2.3. Средства управления программами

Тип главного меню – меню пользователя. В меню главной формы содержатся пункты: «Задача», «Выход»,  «О программе».

При нажатии на пункт «Задача» мы перейдём к другому окну, в котором написана задача данной программы.

При нажатии на пункт «О программе» мы перейдём к окну, в котором приведены короткие сведения о программе.

  Выход с окна происходит при нажатии пункта меню «Выход» или красного крестика на панели задач. Пользователь по собственному желанию может закрыть программу в любой момент.

При нажатии кнопки «Выбрать» в  главном окне программы происходит проверка, выбрал ли пользователь какой либо пункт из списка. Если пользователь ничего не выбрал, то появляется  сообщение об ошибке. Иначе происходит  вывод окна в котором пользователь должен ввести коэффициенты (таких различных окон 7).

После ввода коэффициентов пользователь нажимает на кнопку «Подсчёт» для  подсчёта интеграла или  «Вернуться к главному меню». После того как  пользователь нажмёт  на кнопку «Подсчёт»  у нас появится окно с результатом  интегрирования, если пользователь правильно ввёл данные, иначе появится сообщение об ошибке. При нажатии на кнопку «Вернуться к главному меню» программа выведет форму главного меню.

 

 

 

 

 

3. Информационное обеспечение

В состав информационного обеспечения программы  будут входить необходимые для  ее работы программные средства:

• файлы, содержащие изображения с расширением *.jpg;
• сама программа и ее компоненты.

В ходе написания  конечного продукта возможны некоторые  изменения в алгоритмах, цель которых  – повышение стабильности работы, уменьшение требований к аппаратному  обеспечению. Также возможны изменения  в интерфейсе и средствах управления программой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Описание входных данных

 

Входными данными в ходе выполнения программы будут коэффициенты функций, начало и конец отрезка интегрирования типа real. В поля для ввода можно вводить только действительные или целые числа. В действительном числе количество значащих цифр после запятой 3. Набор коэффициентов и отрезка интегрирования не должен задавать функцию с значениями больше чем максимальное число в типе real .В любом другом случае программа покажет сообщение о ошибке(например если вы введёте «абв» - строку; «122-», «12..» - неприводимый к real тип данных, «1222333334444444444» - слишком большое число, «0,000000000000000000001» - слишком маленькое число и др.).

     Некоторые из ошибок, которые  могу возникнуть при вводе  данных (в данном случае действительных  чисел):

• Подлогарифмическое выражение должно быть больше 0;
• Конец отрезка должен быть больше, чем начало;
• Введены неправильные данные;
• Подкоренное выражение должно быть больше 0;
• B должно быть больше 0;
• Не существует котангенс в точке 0;
• Для данной функции коэффициенты должны принадлежеть отрезку [1000, 1000];
• В данной точке не существует tg(x) или ctg(x) и другие.