Решение задач теории электромагнитного поля методом интегрирования. Решение дифференциальных функций Гринна аналитическим и численным м
Автор работы: Пользователь скрыл имя, 01 Марта 2015 в 00:47, курсовая работа
Описание работы
В 1864 г. Дж. Максвелл создаѐт теорию электромагнитного поля, согласно которой электрическое и магнитное поля существуют как взаимосвязанные составляющие единого целого – электромагнитного поля. Эта теория с единой точки зрения объясняла результаты всех предшествующих исследований в области электродинамики, и, кроме того, из неѐ вытекало, что любые изменения электромагнитного поля должны порождать электромагнитные волны, распространяющиеся в диэлектрической среде (в том числе, в пустоте) с конечной скоростью, зависящей от диэлектрической и магнитной проницаемости этой среды.
Эта теория существенно изменила представления о картине электрических и магнитных явлений, объединив их в единое целое. Основные положения и выводы этой теории следующие.
Содержание работы
Введение....................................................................................................................................................... 3
Теоретическая часть ................................................................................................................................. 5
1. Элементы векторного анализа .................................................................................................... 5
2. Электрические токи и заряды ............................................................................................................ 9
3. Векторная модель электромагнитного поля. Расчет полей методом интегрирования ............... 11
Расчетная часть........................................................................................................................................ 14
Постановка задачи ................................................................................................................................. 14
Решение ................................................................................................................................................... 15
Рабочая программа ................................................................................................................................. 16
Графические результаты работы программы ...................................................................................... 20
Заключение ............................................................................................................................................... 21
Использованная литература.................................................................................................................. 22
Файлы: 1 файл
Южный федеральный университет
Институт нанотехнологий, электроники и приборостроения
Кафедра радиотехнической электроники
Пояснительная записка
к курсовой работе
по курсу «Методы математического моделирования»
Решение задач теории электромагнитного поля методом интегрирования.
Решение дифференциальных функций Гринна аналитическим и
численным методами
Выполнил студент группы ЭПсо5-3
Смяцкий А.В.
Руководитель
Голосов П.Г.
Таганрог – 2014
2
Содержание
Введение.......................................................................................................................................................3
Теоретическая часть.................................................................................................................................5
1. Элементы векторного анализа ....................................................................................................5
2. Электрические токи и заряды ............................................................................................................9
3. Векторная модель электромагнитного поля. Расчет полей методом интегрирования ...............11
Расчетная часть........................................................................................................................................14
Постановка задачи .................................................................................................................................14
Решение...................................................................................................................................................15
Рабочая программа.................................................................................................................................16
Графические результаты работы программы......................................................................................20
Заключение...............................................................................................................................................21
Использованная литература..................................................................................................................22
3
Введение
В 1864 г. Дж. Максвелл создаѐт теорию электромагнитного поля, согласно которой электрическое
и магнитное поля существуют как взаимосвязанные составляющие единого целого –
электромагнитного поля. Эта теория с единой точки зрения объясняла результаты всех
предшествующих исследований в области электродинамики, и, кроме того, из неѐ вытекало, что
любые изменения электромагнитного поля должны порождать электромагнитные волны,
распространяющиеся в диэлектрической среде (в том числе, в пустоте) с конечной скоростью,
зависящей от диэлектрической и магнитной проницаемости этой среды.
Эта теория существенно изменила представления о картине электрических и магнитных явлений,
объединив их в единое целое. Основные положения и выводы этой теории следующие.
• Электромагнитное поле реально и существует независимо от того, имеются или нет проводники
и магнитные полюса, обнаруживающие его. Максвелл определял это поле следующим образом:
«...электромагнитное поле - это та часть пространства, которая содержит в себе и окружает тела,
находящиеся в электрическом или магнитном состоянии».
• Изменение электрического поля ведет к появлению магнитного поля и наоборот.
• Векторы напряженности электрического и магнитного полей перпендикулярны. Это положение
объясняло, почему электромагнитная волна исключительно поперечна.
• Передача энергии происходит с конечной скоростью. Таким образом обосновывался принцип
близкодействия.
• Скорость передачи электромагнитных колебаний равна скорости света (с). Из этого следовала
принципиальная тождественность электромагнитных и оптических явлений. Оказалось, что
различия между ними только в частоте колебаний электромагнитного поля.
4
Экспериментальное подтверждение теории Максвелла в 1887 г. в опытах Г. Герца произвело
большое впечатление на физиков. И с этого времени теория Максвелла получает признание
подавляющего большинства ученых, но тем не менее долгое время она представлялась физикам
лишь совокупностью математических уравнений, конкретный физический смысл которых был
совершенно непонятным. Физики того времени говорили: «Теория Максвелла — это уравнения
Максвелла».
После создания теории Максвелла стало понятно, что существует только один эфир — носитель
электрических, магнитных и оптических явлений, значит, судить о природе эфира можно на
основе электромагнитных опытов. Но этим проблема эфира не была разрешена, а наоборот, еще
больше усложнилась — надо было объяснять распространение электромагнитных волн и все
электромагнитные явления. Сначала эту задачу пытались решить, в том числе и сам Дж.К.
Максвелл, на пути поисков механистических моделей эфира.
В конце концов, после множества безуспешных попыток построить механическую модель эфира,
стало ясно, что эта задача не выполнима, а электромагнитное поле представляет собой особую
форму материи, распространяющуюся в пространстве, свойства которой не сводимы к свойствам
механических процессов. Поэтому к концу XIX в. главное внимание с проблемы построения
механистических моделей эфира было перенесено на вопрос о том, как распространить систему
уравнений Максвелла, созданную для описания покоящихся систем, на случай движущихся тел
(источников или приемников света).
5
Теоретическая часть
1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА
1.1.1. Для описания электромагнитного поля и процессов, происходящих в нем, принято
использовать его математические модели. В качестве таких моделей выступают скалярные и
векторные поля: поле скалярных потенциалов , поле вектора напряженности электрического
поля E и т. п. Как правило, упомянутые поля меняются от точки к точке, то есть являются
функциями координат.
Положение каждой точки в пространстве можно задать ее радиусом-вектором r , что в
декартовой системе с ортами
k
j
i
,
,
соответствует трем координатам (x,y,z).
В то же время положение точки можно задать через три другие независимые координаты
(x
1
,x
2
,x
3
),
причем
легко догадаться, что новые координаты должны быть связаны с x,y,z
некоторыми соотношениями, ибо положение точки не меняется: x
i
=x
i
(x,y,z). Упорядоченные
таким образом тройки чисел (x
1
,x
2
,x
3
) образуют, в общем случае, новую систему так называемых
криволинейных координат x
i
(x,y,z) с ортами
3
2
1
,
,
x
x
x
l
l
l
.
Итак, система криволинейных координат в трехмерном евклидовом пространстве ставит в
соответствие каждой точке с координатами (x,y,z)
упорядоченную тройку чисел: x
i
= x
i
(x,y,z) , где i=1, 2, 3.
Уравнения вида x
i
(x,y,z) = const, i = 1, 2, 3 определяют координатные поверхности этой
системы, а линии пересечения координатных поверхностей суть координатные линии (рис. 1.1).
Положение точки в такой системе задается пересечением либо трех координатных линий,
либо трех координатных поверхностей.
Единичные векторы, касательные к
координатным линиям (иногда нормальные
к координатным поверхностям) в каждой
точке M(x
1
,x
2
,x
3
) системы, образуют ее
локальный базис.
Если векторы локального базиса и,
следовательно,
координатные
линии
системы во всех точках пространства
взаимно
перпендикулярны, система
координат
называется
ортогональной
криволинейной.
В
теории
электромагнитного поля рассматриваются
только ортогональные системы координат.
Длина элементарной дуги dl в обобщенной ортогональной системе координат определяется
выражением
2
3
3
2
2
2
2
1
1
dx
h
dx
h
dx
h
dl
,
(1.0)
где dx
i
- приращение i-й координаты; h
i
- метрические коэффициенты системы (коэффициенты
Ламе) - величины, в общем случае зависящие от координат.
1.1.2.
Любая однозначно определенная векторная функция
,
x,
x,
x
a
3
2
1
может быть
представлена в виде суммы ее физических координат (проекций, компонент) в заданном
локальном базисе
3
2
1
3
3
x
3
2
1
2
2
x
3
2
1
1
1
x
3
2
1
x,
x,
x
a
1
x,
x,
x
a
1
x,
x,
x
a
1
x,
x,
x
a
,
где a
i
(x
1
,x
2
,x
3
) i-я физическая координата (проекция) вектора, по сути своей, скалярная функция
координат (x
1
,x
2
,x
3
). В дальнейших выкладках для сокращения записей мы будем опускать эту
зависимость, помня, однако, что она существует.
1.1.3. К основным операциям векторной алгебры в обобщенной криволинейной ортогональной
системе координат относятся:
x
2
=const
x
1
=const
x
3
=const
M
2
x
1
x
1
x
2
x
3
3
x
1
Рис. 1.1
1
x
1
6
- сложение и вычитание двух векторов:
3
3
3
x
2
2
2
x
1
1
1
x
b
a
1
b
a
1
b
a
1
b
a
; (1.1)
- скалярное произведение двух векторов:
3
3
2
2
1
1
,
cos
)
(
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
; (1.2)
- векторное произведение двух векторов:
3
2
1
3
2
1
3
x
2
x
1
x
b
b
b
a
a
a
1
1
1
b
a
b,
a
1
2
2
1
3
x
3
1
1
3
2
x
2
3
3
2
1
x
b
a
b
a
1
b
a
b
a
1
b
a
b
a
1
(1.3)
- смешанное (векторно-скалярное) произведение трех векторов:
b
a
c
a
c
b
c
b
a
; (1.4)
- двойное векторное произведение:
ba
c
ca
b
c,
b
,a
(1.5)
1.1.4. Для описания электромагнитного поля используются векторные дифференциальные
операторы.
Запишем в обобщенной ортогональной криволинейной системе координат операторы, часто
используемые в теории электромагнитного поля. К таким операторам относятся:
- градиент скалярной функции (x
1
,x
2
,x
3
)
3
3
3
x
2
2
2
x
1
1
1
x
x
h
1
x
h
1
x
h
1
grad
; (1.6)
- дивергенция векторной функции
3
2
1
x,
x,
x
a
3
3
2
1
2
2
3
1
1
1
3
2
3
2
1
x
a
h
h
x
a
h
h
x
a
h
h
h
h
h
1
a
div
; (1.7)
- ротор векторной функции
a
:
;
1
1
1
1
1
1
)
(
2
1
1
1
2
2
2
1
3
1
3
3
3
1
1
3
1
2
3
2
2
2
3
3
3
2
1
3
3
2
2
1
1
3
2
1
2
1
3
3
1
2
3
2
1
x
a
h
x
a
h
h
h
x
a
h
x
a
h
h
h
x
a
h
x
a
h
h
h
a
h
a
h
a
h
x
x
x
h
h
h
h
h
h
a
rot
x
x
x
x
x
x
(1.8)
- оператор Лапласа (лапласиан) скалярной функции :
2
2
3
1
2
1
1
3
2
1
3
2
1
2
x
h
h
h
x
x
h
h
h
x
h
h
h
1
+
3
3
2
1
3
x
h
h
h
x
; (1.9)
- оператор Лапласа (лапласиан) векторной функции a :
).
a
rot
(
rot
)a
div
(
grad
a
Приведенная форма записи дифференциальных векторных операторов справедлива в любой
ортогональной системе (декартовой, цилиндрической, сферической и т. д.), для которой известны
коэффициенты Ламе.
7
Таблица 1.1
Параметры обобщенной и канонических ортогональных систем координат
Вид системы
координат
Обобщ
ен-
ная
криво-
линейн
ая
СК
Декартова
cистема
координат
Цилиндри-
ческая
система
координат
Сферическа
я система
координат
Координаты
x
1
x
2
x
3
x
y
z
Z
r
Локальный
базис
3
x
2
x
1
x
1
1
1
z
Y
X
1
1
1
z1
1
1
1
1
1
r
Коэффи-
Циенты
Ламэ
h
1
h
2
h
3
1
1
1
1
r
1
1
r
rsin
Элементы
линейного
приращения
3
2
1
dx
dx
dx
dz
dy
dx
dz
d
d
.
d
r
d
r
dr
).
sin(
.
.
Элемент
поверхности
S
d
dxdy
1
dxdz
1
dydz
1
z
y
x
dr
d
dz
d
dz
d
z
r
.
.
1
.
1
.
.
1
d
d
r
r
.
.
sin
1
2
Элемент
объема
dV
dxdydz
.
..
..
..
dz
d
d
r
2
sindrdd
Рис. №
Рис.1.1 Рис.1.2
Рис.1.3
Рис.1.4
Полярная система координат в плоскости основания цилиндра
1
1
8
r=
2
2
2
z
y
x
; x=r*sin(
.
)*cos( );
cos( )=
2
2
2
z
y
x
z
; y=r*sin( )*sin( );
tg(
. )=
x
y
; z=r*cos( ).
1.1.5. Переход от записи того или иного оператора в обобщенной системе к записи его в трех
наиболее употребительных канонических системах координат (декартовой, цилиндрической и
сферической) легко осуществить, воспользовавшись данными табл. 1.1. Здесь же приводятся
выражения для элементов координатных поверхностей и элементов объема в рассматриваемых
системах.
1.1.6. Для описания электромагнитного поля используются векторные дифференциальные
операторы. Запишем в цилиндрической системе координат операторы, часто используемые в
теории электромагнитного поля.[1]. К таким операторам относятся:
- градиент скалярной функции Ф( ,
z
,..
):
z
i
z
Ф
i
Ф
i
Ф
Ф
grad
Ф
.
.
1
.
)
(
.
(1.11)
9
- дивергенция векторной функции F ( ,
z
,..
) => скаляр:
z
F
F
F
F
div
F
z
1
)
(
1
)
(
*
(1.12)
- ротор векторной функции F ( ,
z
,..
) векторное произведение => вектор:
z
z
z
z
z
I
F
F
I
F
z
F
I
z
F
F
F
F
F
z
I
I
I
F
rot
Fx
.
.
.
.
.
.
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
)
(
.
(1.13)
- оператор Лапласа (лапласиан) скалярной функции
Ф(r,
z
,..
):
2
2
2
2
2
2
.
1
)
(
1
z
Ф
Ф
Ф
Ф
Ф
(1.14)
- оператор Лапласа (лапласиан) векторной функции F ( ,
z
,..
):
).
(
)
(
F
rot
rot
F
div
grad
F
(1.15)
1.1.7.
Для описания электромагнитного поля используются векторные дифференциальные
операторы. Запишем в сферической системе координат операторы, часто используемые в теории
электромагнитного поля.
К таким операторам относятся:
- градиент скалярной функции Ф (r,
,.
) => вектор:
.Ф=
I
Ф
r
I
Ф
r
I
r
Ф
Ф
grad
r
)
sin(
.
1
1
.
.
)
(
; (1.16)
- дивергенция векторной функции F (r,
,..
) => скаляр:
F
r
F
r
F
r
r
r
F
div
F
r
)
sin(.
.
1
))
sin(.
.
(
)
sin(.
.
1
)
.
(
1
)
.(
.
2
2
(1.17)
- ротор векторной функции F (r,
,..
) => вектор:
I
F
r
F
r
r
I
r
F
r
F
r
I
F
F
r
F
rot
F
x
r
r
r
.
.
.
.
1
.
.
.
.
)
sin(.
1
1
.
.
)
sin(.
.
)
sin(.
.
1
)
(
.
.
(1.18
- оператор Лапласа (лапласиан) скалярной функции
Ф (r,
,.
)
2
2
2
2
2
2
2
2
)
(.
sin
.
1
)
).
(sin(.
)
sin(.
.
1
)
.
.
(
1
Ф
r
Ф
r
r
Ф
r
r
r
Ф
Ф
; (1.19)
- оператор Лапласа (лапласиан) векторной функции
F (r,
,..
):
).
(
)
(
F
rot
rot
F
div
grad
F
2. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ТОКИ И ЗАРЯДЫ
2.1. Классическая электродинамика рассматривает законы взаимодействия и движения
электрических зарядов, то есть теорию электромагнитного поля, осуществляющего эти
взаимодействия. Фундамент классической электродинамики образуют уравнения Максвелла и
представления об атомно-электронной структуре вещества.
10
Реальный электрический заряд, будучи свойством элементарных частиц, в пространстве
распределен дискретно и всегда занимает некоторый объем. В зависимости от соотношения
линейных размеров этого объема можно в некотором приближении говорить об объемном (все
три линейные размеры области имеют одинаковый порядок), поверхностном (два линейных
размера области много больше третьего) и линейном (два линейных размера области много
меньше третьего) распределениях заряда.
Основным допущением макроскопической (классической)
теории
электромагнитного поля является замена
реального дискретно распределенного заряда фиктивным
эквивалентным
реальному
непрерывным
зарядом,
распределенным в области D
(рис. 2.1):
- с объемной плотностью
dV
dq
, Кл/м
3
;
- с поверхностной плотностью
dS
dq
, Кл/м
2
;
- с линейной плотностью
dl
dq
, Кл/м ,
где dq алгебраическая сумма зарядов всех частиц,
содержащихся в физически малом объеме dV, выделенном в окрестности точки наблюдения в
области D; dS и dl проекции такого объема на поверхность S и контур l при поверхностном и
линейном
распределении заряда
(рис. 2.1). В общем случае плотности , и являются
функциями координат (изменяются от точки к точке внутри области D и на ее границах) и
функциями времени.
Заряд, заключенный в физически малом элементе области, будем рассматривать как
точечный и обозначать
,
.
;
.
;
.
dV
dS
dl
pdg
dq
(2.1)
где p обобщенная плотность заряда (, , ); dg физически малый элемент данной области (dV,
dS, dl) .
Упорядоченное движение (течение) электрических зарядов образует электрический ток. (Следует
помнить, что некоторыми свойствами электрического тока обладает переменное во времени
электрическое поле, именуемое в этом случае током смещения). Интегральной характеристикой
электрического тока является его сила
dt
dq
I
, A,
где dq алгебраическая сумма заряда, сместившегося в заданном направлении
через
рассматриваемое сечение области за время dt, а дифференциальной - плотность тока.
dV
V
dS
Рис. 2.1
l
dl
а
б
в
11
Плотность объемного тока
Sd
dI
1
j
j
, А/м
2
(dI сила тока
через элементарную площадку dS, выделенную в окрестности
точки наблюдения и перпендикулярную к направлению движения
заряда, обозначенному ортом
j
1 ) связана с силой этого тока через
произвольную поверхность
S (рис. 2.2) соотношением
S
S
dj
I
,
(2.2)
где
dS
1
S
d
n
- элемент поверхности S;
n
1 единичный вектор
положительной нормали к S в точке интегрирования.
В случае поверхностного тока сечением области является
линия l, лежащая на поверхности S (рис. 2.3). Сила поверхностного тока I
S
связана с его
плотностью
S
j интегральным соотношением
l
n
S
S
ld
,1
j
I
, (2.3)
Рис. 2.3
I
S
S
n
1
j
S
I
S
dl
l
N
1
l
1
где
ld
dI
1
j
S
j
S
S
, А/м вектор плотности поверхностного тока (здесь dI
S
сила поверхностного
тока через элемент dl, выделенный в окрестности точки наблюдения, лежащий на поверхности S и
перпендикулярный направлению движения зарядов;
dl
1
ld
l
элемент контура интегрирования;
l
n
N
1,
1
1
;
n
1 орт нормали к S в точке интегрирования).
По аналогии с элементом заряда вводится понятие об обобщенном элементе тока
векторной величине, модуль которой определяется силой эквивалентного линейного тока в весьма
малом отрезке dl, а направление направлением тока
.
dV
j
j
;
dS
j
;l
Id
dg
j
CM
S
(2.4)
3. ВЕКТОРНАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ.
РАСЧЕТ ПОЛЕЙ МЕТОДОМ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
3.1. В основе макроскопической электродинамики лежат законы электромагнитного
взаимодействия. Они были сформулированы для сил, возникающих при взаимодействии
электрических зарядов и токов в воздухе (практически в вакууме). Эти законы известны в физике
как: закон Кулона, закон электромагнитной индукции Фарадея и закон Ампера. Несмотря на то,
что упомянутые законы исторически были получены для точечных зарядов и линейных токов, с
позиций
современной физики их можно обобщить на случай произвольного распределения зарядов и токов
в пространстве. Более того, законы электромагнитного взаимодействия (за исключением закона
электромагнитной индукции) были сформулированы для статических зарядов и постоянных
Рис. 2.2
dS
I
I
S
n
1
j
12
токов, а современные знания позволяют обобщить их на случай переменных во времени зарядов и
токов.
В качестве объекта приложения сил электромагнитного взаимодействия рассматривается
так называемое пробное тело: положительный точечный заряд q
0
, движущийся со скоростью
0
v
и находящийся в точке наблюдения
)r
(
M
. Со стороны зарядов и токов, распределенных в
некоторой области D (рис. 3.1) с обобщенными плотностями p и j, на пробное тело действует
сила, равная векторной сумме трех сил, определяемых тремя законами: законом Кулона
K
F
,
законом электромагнитной индукции Фарадея
F
и законом Ампера
A
F
A
K
F
F
F
F
(3.1)
C целью описания электромагнитных процессов строится векторная модель
электромагнитного поля, согласно которой в каждой точке области, в которой существует
электромагнитное поле, и в каждый момент времени определены и взаимосвязаны два вектора:
напряженность электрического поля E и магнитная индукция B.
x
dg
j,
pdg
r
r
r
0
v
q
0
0
D
Рис. 3.1
r
Y
Z
Поскольку E есть величина, равная силе, действующей на единичный точечный
положительный неподвижный заряд в данной точке пространства, то она имеет две
составляющие: кулоновскую и фарадеевскую
E
E
q
F
F
E
K
0
K
,
где
D
3
0
K
r
r
pdg
)r
r(
4
1
E
, В/м;
(3.2)
D
0
r
r
dg
j
t
4
E
, В/м.
(3.3)
На движущийся заряд дополнительно действует сила, определяемая законом Ампера.
Величина этой силы зависит не только от величины, но и от направления вектора скорости
v
0
пробного тела. Исходя из закона Ампера, можно показать, что магнитная индукция определяется
соотношением
D
3
0
r
r
r
r,
dg
j
4
B
, Тл = Вс/м
2
. (3.4)
В выражениях (3.2) ... (3.4) использованы следующие обозначения: pdg обобщенный элемент
заряда в области D; dg
j
обобщенный элемент тока; r - радиус-вектор точки наблюдения; r
радиус-вектор точки интегрирования;
r
r
расстояние между точками наблюдения и
интегрирования;
)
10
36
(
1
9
0
, Ф/м электрическая постоянная;
7
0
10
4
, Гн/м
магнитная постоянная.
Если все источники данного электромагнитного поля заданы в явном виде, т.е. известны их
плотность и размещение в пространстве, а также известна функция искомого поля, создаваемого в
рассматриваемых условиях элементарным (точечным) источником (это так называемая функция
13
Грина), то это поле можно определить методом интегрирования. Суть метода заключается в
интегрировании функции точечного источника по области, занятой источниками.
В случае, когда источники распределены в ограниченной по размерам области
неограниченного пространства, заполненного однородной линейной изотропной средой с
проницаемостями
a
a
,
, в качестве функции Грина, как это следует из (3.2)... (3.4), могут
выступать:
- напряженность кулоновского электрического поля
3
a
r
r
pdg
)r
r(
4
1
)r(
E
d
, В/м; (3.5)
- напряженность магнитного поля
3
r
r
)r
r(,
dg
j
4
1
)r(
H
d
, А/м (3.6)
;(Здесь векторное произведение)
- скалярный электрический потенциал
r
r
pdg
4
1
)r(
d
a
, В;
(3.7)
- векторный магнитный потенциал
r
r
dg
j
4
)r(
A
d
a
, Вс/м .
(3.8)
Необходимо помнить два обстоятельства:
1. Если источники изменяются с течением времени, то зависимость поля от времени
учитывается либо простой временной функцией, например,
r
r
dg
)t(
p
4
1
)t,
r(
d
a
, В
(3.9)
в случае анализа медленно меняющихся (квазистационарных) полей, либо запаздывающей
волновой функцией, например,
r
r
dg
)v
/
r
r
t,
r(
p
4
1
)t,
r(
d
a
, В
(3,10)
в дальней (волновой) зоне источников (здесь
a
a
1
v
скорость распространения
электромагнитного возмущения в данной среде).
2. Если среда неоднородна, то есть в ней имеются границы раздела областей с разными
a
a
, вид функции точечного источника будет меняться с переходом к очередной однородной
подобласти, ибо эта функция, как и решение в целом, должна удовлетворять граничным условиям
на всех границах исследуемой области как внешних, так и внутренних.
Решение задач теории электромагнитного поля методом интегрирования заключается,
как правило, в последовательном выполнении нескольких этапов:
1. Выбирается система координат, в которой решение поставленной задачи
представляется наиболее простым.
2. В области, занятой источниками, выбирается произвольно расположенный элементарный
источник и записывается функция Грина для искомого поля в выбранной ранее системе
координат. Если эта функция есть вектор, меняющий свое направление в зависимости от
положения элементарного источника в области, ее необходимо выразить с помощью физических
координат (проекций) обязательно в некотором неизменном базисе.
3. Интегрируется функция точечного источника (или ее физические координаты) по
области, занятой источниками.
4. Проводится анализ полученного решения.
14
Расчетная часть
Вариант № 06
3.2.6. Задача. Определить магнитную индукцию
B и напряженность магнитного поля H ,
создаваемого отрезком 2l прямолинейного постоянного тока силой I в произвольной точке
пространства, если
окружающая среда однородный линейный изотропный магнитодиэлектрик с параметрами
a
a
,
.
Найти напряженность магнитного поля, создаваемого этой нитью в произвольной точке
пространства. Определить магнитную индукцию B. Результаты представить в графическом виде.
M(R,z)
R
z
z
l
z
Id
1
z
l
0
Р и с. 3.6
I
r
r
r
15
Решение. Выберем такую ЦСК (рис.1.3), чтобы нить тока была ориентирована вдоль оси z и
располагалась симметрично относительно начала координат (рис. 3.6).
В силу осевой симметрии задачи индукция B будет функцией R и z и не будет зависеть от
угловой координаты =
. Как видно из рис. 3.6,
;z
Id
1
l
Id
dj
j
z
z
1
r
z
;
;z
1
R
1
r
z
R
;
1
1
z
z
R
r
r
Z
R
2
2
z
z
R
r
r
.
Следовательно, из функции Грина (3.6) получим
D
3
a
r
r
r
r,
dg
j
4
B
l
l
2
3
2
2
a
l
l
2
3
2
2
z
R
z
a
z
z
R
zd
4
RI
1
z
z
R
z
z
1
R
1,
z
Id
1
4
2
2
2
2
a
l
z
R
l
z
l
z
R
l
z
R
4
I
1
, Вс/м
2
.
2
2
2
2
0
l
z
R
l
z
l
z
R
l
z
R
4
I
1
B
H
, А/м.
Магнитное поле имеет особенность
)
H
(
при R=0, что объясняется условностью
модели: рассматриваемый линейный ток реально протекает в канале, поперечные размеры
которого хотя и во много раз меньше длины 2l, но имеют конечные значения. Если таким каналом
является, например, круглый проводник радиусом R
0
2l, то полученное решение справедливо
для всех точек R>R
0
при любых z. Значения B и H внутри проводника описываются другими
соотношениями.
16
Рабочая программа
#include <graphics.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#include <conio.h>
#include <dos.h>
#include <math.h>
#include <bios.h>
#include <STRING.H>
#define ff 185
#define x_raz 20
#define y_raz 10
#define kum 30
//#define mas 30
#define km 20
#define im 10
#include <graphics.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#include <conio.h>
float huge fi[ff][ff];
float u[ff],r[ff],z[ff];
int ktr,ktz,n,nn,nk,kq;
float uu,uu1,du,up,dup,umax=0,umin=1e10;
int far getmaxx(void);
int far getmaxy(void);
float tfc,x0=kum,y0=300;
int i,j,k,l,ll,xm,ym;
float uo,ue,u1,u2,u3,hz,hr,rr,zz;
double t,y,x,shag=0.002,mx=kum,my=kum, ar, is;
char str[10];
FILE *in, *out;
#define pi 3.14159265;
float ur[km][im];
int GD,GM,ErC;
int kvad(void)
{ /* request auto detection */
char txt[15];
int n1;
/* draw the bar */
for(n1=0;n1<15;n1++){
setfillstyle(1, 1+n1);
bar(x0+n1*40, 20, x0+(n1+1)*40, 60);
sprintf(txt,"%i",n1);
outtextxy(x0+n1*40+10, 20, txt); }}
void screen(void){//GD=IBM8514;GM=IBM8514LO;
GD=DETECT;
initgraph(&GD,&GM,"");
ErC=graphresult();
if(ErC!=grOk){
17
getch();
exit(1);}}
float max(float a, float b)
{ if (a>b) return a; else return b;}
float min(float a, float b)
{ if (a<b) return a; else return b;}
void showpot(float p,int c)
{ int x,y,t;
// x0= 40; y0=250;
float mi,ma,p1,p2,dx,dy,knt=30;
for(x=0;x<x_raz-1;x++) // x_raz= 25
for(y=0;y<y_raz-1;y++) // y_raz=200
{ mi=min(min(ur[x][y],ur[x+1][y]),min(ur[x][y+1],ur[x+1][y+1]));
ma=max(max(ur[x][y],ur[x+1][y]),max(ur[x][y+1],ur[x+1][y+1]));
if(p>mi && p<ma)
{ for(t=0;t<knt;t++)
{ p1=ur[x][y]+(ur[x+1][y]-ur[x][y])*t/knt;
p2=ur[x][y+1]+(ur[x+1][y+1]-ur[x][y+1])*t/knt;
if((p1>p && p>p2) || (p1<p && p<p2))
{ dy=(p-p1)/(p2-p1);
putpixel(x0+(x+t/knt)*kum,y0+(y+dy)*kum,c);
putpixel(x0+(x+t/knt)*kum,y0-(y+dy)*kum,c); }
p1=ur[x][y]+(ur[x][y+1]-ur[x][y])*t/knt;
p2=ur[x+1][y]+(ur[x+1][y+1]-ur[x+1][y])*t/knt;
if((p1>p && p>p2) || (p1<p && p<p2))
{ dx=(p-p1)/(p2-p1);
putpixel(x0+(x+dx)*kum,y0+(y+t/knt)*kum,c);
putpixel(x0+(x+dx)*kum,y0-(y+t/knt)*kum,c); }}}}}
void show(void)
{ kvad();
dup=(umax-umin)/60;
gcvt(1,2,str);
outtextxy(80,150,str);
for(n=0;n<=15;n++)
{ up=umin+dup*n;
showpot(up,n);
gcvt(up,2,str);
outtextxy(n*40+5,45,str); }
getch();
kvad();
gcvt(2,2,str);
outtextxy(80,200,str);
for(n=16;n<=30;n++)
{ up=umin+dup*n;
showpot(up,n-15);
gcvt(up,3,str);
outtextxy((n-15)*40+5,45,str);} getch();
kvad();
gcvt(3,2,str);
outtextxy(80,250,str);
for(n=31;n<=45;n++)
{ up=umin+dup*n;
showpot(up,n-30);
gcvt(up,2,str);
outtextxy((n-30)*40+5,45,str);
} getch();
kvad();
18
gcvt(4,2,str);
outtextxy(80,300,str);
for(n=46;n<=60;n++)
{ up=umin+dup*n;
showpot(up,n-45);
gcvt(up,2,str);
outtextxy((n-45)*40+5,45,str); }
getch(); }
void shoqa1()
{ setcolor(14);
for(n=82;n<=140;n++)
line(x0+z[126]*kum,y0-r[126]*kum,x0+z[n]*kum,y0-r[n]*kum);
}
void trafor(void)
{ // screen();
setcolor(15);
line( 0,y0, 60,y0); line( 70,y0,130,y0); line(140,y0,200,y0);
line(210,y0,270,y0); line(280,y0,340,y0); line(350,y0,420,y0);
line(430,y0,480,y0); line(490,y0,550,y0); line(560,y0,640,y0);
line(x0,10,x0,y0);
outtextxy(30,10,"0-R ");
outtextxy(600,y0+25,"0-Z ");
for(t=0;t<=ym;t+=50)
{ gcvt(t,5,str);
outtextxy(10,t+5,str);
line(2,t,22,t);
line(2,t+1,23,t+1); }
setcolor(10);
line(0,0,xm-2,0);
setcolor(10);
line(xm-2,0,xm-2,ym);
line(0,ym-2,xm-2,ym-2);
for(t=0;t<=xm;t+=100)
{ gcvt(t,5,str);
outtextxy(t-35,3,str); // 0-X
line(t,ym-5,t,ym-5);
line(t+1,0,t+1,15);
line(t,0,t,15); }
setcolor(11);
setcolor(1);
for(t=x0;t<=xm;t+=kum) // t+=40
{ line(t,5,t,y0-5); }
for(t=kum;t<=y0;t+=kum) // t+=30
{
line(x0+5,t,xm,t); // 0-Z}
setcolor(15);
for(t=x0;t<=xm;t+=kum) // t+=30
{ line(t,y0-1,t,y0+5);
gcvt((t-x0)/kum,4,str);
outtextxy((t-x0)+x0,y0+15,str); // R }
for(t=kum;t<=y0;t+=kum) // t+=30
{ line(x0-5,t,x0+2,t);
gcvt((y0-t)/kum,4,str);
19
outtextxy(x0-20,t,str); } }
void prab()
{ float rn,R=0.2;
is=50;
getch();
ktz=x_raz; ktr=y_raz; kq=10;
for(i=0;i<ktr;i++)
{ for(k=0;k<ktz;k++)
{ uu=0;
for(j=-5;j<=5;j++)
{ if( (i==0)&&((k-kq-j)==0) ) continue;
rn=sqrt(( k-kq-j)*(k-kq-j)+(i*R)*(i*R));
uu=uu+is*(i+R)/(rn*rn*rn); }
uu=uu/4/pi;
if (uu>umax) umax=uu;
if (uu<umin) umin=uu;
ur[k][i]=uu; } }
gotoxy(20,4); printf("\n umax=%g",umax);printf("\n umin=%g",umin);
bar(x0+(kq-5)*kum,y0-3, x0+(kq+5)*kum,y0+3);
getch(); }
void main()
{ float t; int kn,inn,ikk;
screen();
moveto(getmaxx() / 2, getmaxy() / 2);
xm=getmaxx(); ym=getmaxy();
y0=300;
trafor();
getch();
shoqa1();
prab();
getch();
setcolor(14);
show();
setfillstyle(1,14);
x0+(kq+5)*kum/3,y0+3);
getch();
20
Графические результаты работы программы
21
Заключение
В ходе курсового проекта мною были изучены: метод интегрирования применяемый для решения
задач теории электромагнитного поля, аналитический и численный метод решения
дифференциальных функций Гринна. Была решена задача 3.2.6, написана рабочая программа на
языке программирования С++ и получены графические результаты работы программы.
22
Использованная литература
1. Голосов Петр Георгиевич, Лабынцев Виктор Александрович, Лабынцев Алексей Викторович
Методические рекомендации по решению задач в курсах «Теория электромагнитного поля,
Электродинамика».
2. Земсков Ю.В. Qt 4 на примерах.
Информация о работе Решение задач теории электромагнитного поля методом интегрирования. Решение дифференциальных функций Гринна аналитическим и численным м