Сети систем массового обслуживания

Министерство  образования и науки РФ

 

Факультет дистанционного образования

 

ТОМСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И  РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

 

 

 

Кафедра автоматизации обработки информации (АОИ)

 

 

 

 

 

 

 

Курсовая  работа

По  предмету: «Моделирование систем»

по теме: «Сети систем массового обслуживания»

Вариант №14

 

 

 

 

 

Выполнил:

Панкратов П.В.

 

Постановка  задачи.

1. В телеателье  существуют две службы: ремонт  телевизоров на дому и ремонт  телевизоров в ателье. Заявки  на ремонт поступают в ателье  в среднем каждые 40 минут. Около  40 % из них требуют ремонта телевизора в ателье, на обслуживание такой заявки в среднем затрачивается 3 часа. Заявки на ремонт на дому выполняются мастером в течение 1.5 часов (включая дорогу), причем после этого выполненными являются около 40 % заявок, 30 % заявок требуют повторного прихода мастера, а остальные 30 % — ремонта телевизора в ателье.

2. Определить  аналитическим путем вероятность  того, что очереди во всех СМО  будут одинаковыми. 

 

Содержание

Введение 4

1. Интенсивности потоков и стационарность режима 5

2. Аналитические расчеты характеристик сети 8

2.1. Расчет характеристик каждой СМО. 8

2.2. Расчет характеристик сети СМО. 10

3. Проверка адекватности вычислительной модели. 11

3.1. Проверка по среднему времени нахождения заявки в сети. 12

3.2. Проверка по среднему количеству заявок в сети. 12

3.3. Проверка по среднему времени нахождения заявки в очереди СМО2. 13

3.4. Проверка по среднему времени нахождения заявки в очереди СМО3. 14

4. Расчет вероятности заданного состояния сети 16

Заключение 17

Список литературы 18

Приложения 19

 

Введение

 

Основной целью данной работы является исследование работы сети СМО с помощью построения аналитической и вычислительной моделей, получение оценок всех важнейших характеристик сети, а также проверка адекватности модели.

Для построения аналитической модели сети необходимо формализовать описание заданной сети СМО посредством построения графа передач и матрицы передач сети. Также, если сеть нестационарна, то необходимо добиться стационарности путем увеличения числа каналов обслуживания на соответствующих СМО. Вычислительная модель сети строится при помощи языка GPSS.

Далее данные, полученные в результате аналитических  расчетов характеристик, и данные, полученные в результате прогонов вычислительной модели, используются для проверки адекватности моделей. Для проверки адекватности здесь достаточно проверить гипотезу о равенстве средних по некоторым. В данном случае сравнивается расчетное (теоретическое среднее) и модельное (выборочное среднее) значения характеристик.

 

1. Интенсивности потоков и стационарность режима

Граф передач:

 

На основе вышеописанной графической схемы  сети СМО можно составить матрицу  передач:

,

где

0 ≤ θ_ij ≤ 1, ,

, m – количество СМО в сети.

Рассчитаем  интенсивности потоков в сети СМО.

Выбрав источник заявок в качестве базовой СМО, можно определить систему уравнений для нахождения интенсивностей потоков:

Отсюда

λ₁ = λ₀,

λ₂₁ = 0.6λ₀,

λ₂₂ = 0.3·(0.6λ₀) = 0.18λ₀,

λ₃ = 0.4λ₀ + 0.3(0.6λ₀) = 0.58λ₀.

Так как заявки на ремонт поступают в среднем каждые 40 минут, интенсивность входного потока сети

λ₀ = 1/40 = 0.025 з./мин.

Интенсивности потоков:

λ₁ = 0.025,

λ₂₁ = 0.6 · 0.025 = 0.015,

λ₂₂ = 0.18 · 0.025 = 0.0045,

λ₃ = 0.58 · 0.025 = 0.0145.

СМО1 (прием заявок) в данном случае является условной, поэтому ее можно опустить из расчетов. С учетом того, что СМО21 и СМО22 составляют единую систему, т.к. обслуживаются одними и теми же специалистами, интенсивность СМО2 (ремонт на дому) равна λ₂₁ + λ₂₂ = 0.015+0.0045 = 0.0195.

Таким образом,

λ₀ = 0.025, λ₂ = 0.0195, λ₃ = 0.0145.

Условие стационарности режима:

, где 

λ_i – интенсивность i-го потока заявок,

– время обслуживания заявки в i-й СМО,

s_i – количество каналов обслуживания в i-й СМО.

Определение количества каналов в каждой системе, необходимое для установившегося  режима:

=> => s₂ = 2;

=> => s₃ = 3.

Следовательно, для установившегося режима сети требуется два мастера для ремонта на дому и три мастера – для ремонта в ателье.

 

2. Аналитические расчеты характеристик сети

2.1. Расчет характеристик каждой СМО.

Для получения  сетевых характеристик необходимо сначала рассчитать характеристики по отдельным СМО.

Обе СМО многоканальные с ожиданием.

 

Среднее количество заявок в очереди  СМО 

, где

коэффициент использования  СМО (среднее число занятых каналов)

;

вероятность простоя

,

s – количество каналов.

СМО2:

;

;

.

СМО3:

;

;

.

 

Среднее время нахождения заявки в  очереди СМО 

.

СМО2:

мин.

СМО3:

мин

 

Среднее количество заявок в СМО 

.

СМО2:

.

СМО3:

.

 

Среднее время нахождения заявки в  СМО 

.

СМО2:

мин.

СМО3:

мин.

2.2. Расчет характеристик сети СМО.

Среднее количество заявок в очереди сети

;

Среднее время  нахождения заявки в очереди сети

;

Среднее количество заявок в сети

;

Среднее время  нахождения заявки в сети

.

 

3. Проверка адекватности  вычислительной модели.

Проверка  осуществляется по среднему времени нахождения заявки в сети и по количеству заявок в сети в целом.

Кроме этого, по каждой отдельной СМО проверяется равенство характеристик очередей. Масштаб времени выбран так, что числовые значения среднего времени нахождения заявки в очереди больше среднего количества заявок в очередях. Следовательно, лучше проводить сравнение по временным характеристикам очередей.

Для проверки гипотезы о равенстве средних  в данной ситуации необходимо получить выборки из соответствующих оценок путем многократного прогона  модели. Из полученных выборок определяем значения выборочного среднего и выборочной дисперсии. В качестве известного математического ожидания берется расчетное значение характеристики. Тогда при выборе критерия учитывается: математическое ожидание известно, дисперсия неизвестна.

Табличное значение для сравнения  находится по таблице распределения  Стьюдента при количестве степеней свободы k = N - 1 и значимости a=0.05, т.е. t_табл = 2.26.

Формулы, используемые для расчетов:

выборочное среднее

, где N – объем выборки;

несмещенная оценка выборочной дисперсии

;

, где M₀ – математическое ожидание.

3.1. Проверка по среднему времени нахождения заявки в сети.

Xi
463.736
541.024
555.647
597.958
736.548
582.586
588.408
888.435
522.821
441.484

 

.

.

.

t_расч < t_табл.

3.2. Проверка по среднему количеству заявок в сети.

Xi
11.299
13.704
13.613
14.820
19.095
14.585
14.790
22.882
13.107
10.704

 

.

.

.

t_расч < t_табл.

3.3. Проверка  по среднему времени нахождения  заявки в очереди СМО2.

Xi
199.924
301.846
205.836
210.057
470.144
252.997
282.570
480.809
235.223
174.123

 

.

.

.

t_расч < t_табл.

 

3.4. Проверка  по среднему времени нахождения  заявки в очереди СМО3.

Xi
234.936
240.850
386.915
439.496
344.910
368.684
339.085
581.786
290.479
227.732

 

.

.

.

t_расч < t_табл. 

4. Расчет вероятности заданного состояния сети

Необходимо определить аналитическим путем вероятность того, что очереди во всех СМО будут одинаковыми.

Общая вероятность того, что очереди во всех СМО будут одинаковыми, будет складываться из ряда несовместных событий: «в очереди обеих СМО нет заявок» (P_оч2=0*P_оч3=0), «в очереди обеих СМО одна заявка» (P_оч2=1*P_оч3=1), «в очереди обеих СМО две заявки»(P_оч2=2*P_оч3=2) и так далее, теоретически до бесконечности, на практике достаточно взять порядка 20 слагаемых.

В результате получается:

P_оч.од. = Р_оч2=0*Р_оч3=0 + Р_оч2=1*Р_оч3=1 + Р_оч2=2*Р_оч3=2 + Р_оч2=3*Р_оч3=3 + …

Вероятность того, что в очереди  нет заявок, также складывается из ряда несовместных событий. Так как  СМО 2 трехканальная, то для нее такими несовместными событиями будут  являться: «в СМО нет заявок», «в СМО одна заявка», «в СМО две заявки», «в СМО три заявки». Таким образом, P_оч2=0 = P₀₂ + P₁₂ + P₂₂ + P₃₂. Для СМО 3 – аналогично: P_оч3=0 = P₀₃ + P₁₃ + P₂₃.

Далее события «в очереди СМО  одна (и более) заявка» описываются  вероятностями P_оч=i = P_s+i, т.е., например, P_оч2=1 = P₄₂ и P_оч3=1 = P₃₃.

В результате:

P_оч.од.= (P₀₂ + P₁₂ + P₂₂ + P₃₂)*( P₀₃ + P₁₃ + P₂₃) + P₄₂* P₃₃ + P₅₂* P₄₃ + ...

Проведя расчеты для 20 слагаемых  с использованием формул

,

получаем P_оч.од. ≈ 0.125897.

 

Заключение

Результатом данной работы стало построение программы, моделирующей процесс функционирования заданной сети систем массового обслуживания. Также были рассчитаны аналитически основные  характеристики данной сети:

• количество каналов в каждой СМО, необходимое для стационарности сети;
• среднее время нахождения заявки в каждой СМО и в сети в целом;
• среднее количество заявок в каждой СМО и в сети в целом;
• среднее количество заявок в очередях по каждой СМО и по сети в целом;
• среднее время нахождения заявки в очередях по каждой СМО и по сети в целом.

В результате проверки адекватности имитационной модели выяснено, что  модель адекватна аналитическим  расчетам с небольшими погрешностями, что можно объяснить погрешностью, допускаемой в аналитических  расчетах.

Также была аналитически рассчитана вероятность нахождения в очередях каждой СМО одинакового количества заявок. Рассчитанное значение является приблизительным, так как теоретически ряд несовместных событий, составляющих данную вероятность, бесконечен.

 

Список  литературы

1. Боев  В.Д. Моделирование систем. Инструментальные средства GPSS World. - СПб.: БХВ-Петербург, 2004. - 368 c.
2. Решетникова Г.Н. Моделирование систем : Учебное пособие для вузов / Г. Н. Решетникова; Федеральное агентство по образованию, Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники. - Томск: Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники, 2005. - 260 с.: ил. - Библиогр.: с. 259-260.
3. Салмина Н.Ю. Моделирование систем. Язык моделирования GPSS: Учебное методическое пособие. — Томск: Томский межвузовский центр дистанционного образования, 2009. — 112 с.
4. Смыслова З.А. Математика IV. Основы теории вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие. - Томск: Томский межвузовский центр дистанционного образования,  2000. - 130 с.
5. Советов Б.Я. Моделирование систем. Практикум.: Учебное пособие для вузов/Б.Я. Советов, С.А. Яковлев - 3-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2005. - 295 с.
6. Шевченко Н.Ю. Моделирование систем: Учебное пособие. - Томск: Томский межвузовский центр дистанционного образования,  2002. - 175 с.
7. Шрайбер Т. Дж. Моделирование на GPSS. М.: Машиностроение, 1980 г. - 592 с.