Задача динамического программирования

Курсовая работа по теории оптимального управления экономическими системами.

Тема : Задача динамического программирования.

 

I.Основные понятия и обозначения.

 

Динамическое программирование –  это математический метод поиска оптимального управления, специально приспособленный к многошаговым процессам. Рассмотрим пример такого процесса.

Пусть планируется  деятельность группы предприятий на N лет. Здесь шагом является один год. В начале 1-го года на развитие предприятий выделяются средства, которые должны быть как-то распределены между этими предприятиями. В процессе их функционирования выделенные средства частично расходуются. Каждое предприятие за год приносит некоторый доход, зависящий от вложенных средств. В начале года имеющиеся средства могут перераспределяться между предприятиями : каждому из них выделяется какая-то доля средств.

Ставится  вопрос : как в начале каждого года распределять имеющиеся средства между предприятиями, чтобы суммарный доход от всех предприятий за N лет был максимальным?

Перед нами типичная задача динамического программирования, в которой рассматривается управляемый процесс – функционирование группы предприятий. Управление процессом состоит в распределении (и перераспределении) средств. Управляющим воздействием (УВ) является выделене каких-то средств каждому из предприятий в начале года.

УВ на каждом шаге должно выбираться с учетом всех его последствий в будущем. УВ должно быть дальновидным, с учетом перспективы. Нет смысла выбирать на рассматриваемом шаге наилучшее  УВ, если в дальнейшем это помешает получить наилучшие результаты других шагов. УВ на каждом шаге надо выбирать “c заглядыванием в будущее”, иначе возможны серьезные ошибки.

Действительно, предположим, что в рассмотренной  группе предприятий одни заняты выпуском предметов потребления, а другие производят для этого машины. Причем целью является получение за N лет максимального объема выпуска предметов потребления. Пусть планируются капиталовложения на первый год. Исходя их узких интересов данного шага (года), мы должны были бы все средства вложить в производство предметов потребления, пустить имеющиеся машины на полную мощность и добиться к концу года максимального объема продукции. Но правильным ли будет такое решение в целом? Очевидно, нет. Имея в виду будущее, необходимо выделить какую-то долю средств и на производство машин. При этом объем продукции за первый год, естественно, снизится, зато будут созданы условия, позволяющие увеличивать ее производство в последующие годы.

В формализме решения задач методом динамического  программирования будут использоваться следующие обозначения:

N – число шагов.

– вектор,описывающий состояние системы на k-м шаге.

– начальное состояние, т. е. cостояние на 1-м шаге.

– конечное состояние, т. е. cостояние на последнем шаге.

X_k – область допустимых состояний на k-ом шаге.

– вектор УВ на k-ом шаге, обеспечивающий переход системы из состояния x_k-1 в состояние x_k.

U_k –  область допустимых УВ на k-ом шаге.

W_k – величина выигрыша, полученного в результате реализации k-го шага.

S – общий выигрыш за N шагов.

  – вектор оптимальной стратегии управления или ОУВ за N шагов.

S_k+1( ) – максимальный выигрыш, получаемый при переходе из любого состояния в конечное состояние при оптимальной стратегии управления начиная с (k+1)-го шага.

S₁( ) – максимальный выигрыш, получаемый за N шагов при переходе системы из начального состояния в конечное при реализации оптимальной стратегии управления . Очевидно, что S = S₁( ), если –фиксировано.

Метод динамического  программирования опирается на условие  отсутствия последействия и условие аддитивности целевой функции.

Условие отсутствия последействия. Состояние , в которое перешла система за один k-й шаг, зависит от состояния и выбранного УВ и не зависит от того, каким образом система пришла в состояние , то есть

 

Аналогично, величина выигрыша W_k зависит от состояния и выбранного УВ , то есть

 

Условие аддитивности целевой функции. Общий выигрыш за N шагов вычисляется по формуле

 

Определение. Оптимальной стратегией управления называется совокупность УВ , то есть , в результате реализации которых система за N шагов переходит из начального состояния в конечное и при этом общий выигрыш S принимает наибольшее значение.

Условие отсутствия последействия позволяет сформулировать принцип оптимальности Белмана.

Принцип оптимальности. Каково бы ни было допустимое состояние системы   перед очередным i-м шагом, надо выбрать допустимое УВ на этом шаге так, чтобы выигрыш W_i на i-м шаге плюс оптимальный выигрыш на всех последующих шагах был максимальным.

В качестве примера постановки задачи оптимального управления продолжим рассмотрение задачи управления финансированием группы предприятий. Пусть в начале i-го года группе предприятий выделяются соответственно средства:  совокупность этих значений можно считать управлением на i-м шаге, то есть . Управление процессом в целом представляет собой совокупность всех шаговых управлений, то есть .

Управление  может быть хорошим или плохим, эффективным или неэффективным. Эффективность управления  оценивается показателем S. Возникает вопрос: как выбрать шаговые управления  , чтобы величина S обратилась в максимум ?

Поставленная  задача является задачей оптимального управления, а управление, при котором показатель S достигает максимума, называется оптимальным. Оптимальное управление многошаговым процессом состоит из совокупности оптимальных шаговых управлений:

 

Таким образом, перед нами стоит задача: определить оптимальное управление на каждом шаге  (i=1,2,...N) и, значит, оптимальное управление всем процессом .

 

II. Идеи метода динамического программирования

Мы отметили, что планируя многошаговый процесс, необходимо выбирать УВ на каждом шаге с учетом его будущих последствий на еще предстоящих шагах. Однако, из этого правила есть исключение. Среди всех шагов существует один, который может планироваться без "заглядыва-ния в будущее". Какой это шаг? Очевидно, последний — после него других шагов нет. Этот шаг, единственный из всех, можно планировать так, чтобы он как таковой принес наибольшую выгоду. Спланировав оптимально этот последний шаг, можно к нему пристраивать предпоследний, к предпоследнему — предпредпоследний и т.д.

Поэтому процесс динамического  программирования на 1-м этапе разворачивается от конца к началу, то есть раньше всех планируется последний,

N-й шаг. А как его спланировать, если мы не знаем, чем кончился предпоследний? Очевидно, нужно сделать все возможные предположения о том, чем кончился предпоследний, (N — 1)-й шаг, и для каждого из них найти такое управление, при котором выигрыш (доход) на последнем шаге был бы максимален. Решив эту задачу, мы найдем условно оптимальное управление (УОУ) на N-м шаге, т.е. управление, которое надо применить, если (N — 1)-й шаг закончился определенным образом.

Предположим, что эта процедура выполнена, то есть для каждого исхода

(N — 1)-го шага мы знаем УОУ на N-м шаге и соответствующий ему условно оптимальный выигрыш (УОВ). Теперь мы можем оптимизировать управление на предпоследнем, (N — 1)-м шаге. Сделаем все возможные предположения о том, чем кончился предпредпоследпий, то есть (N — 2)-й шаг, и для каждого из этих предположений найдем такое управление на (N — 1)-м шаге, чтобы выигрыш за последние два шага (из которых последний уже оптимизирован) был максимален. Далее оптимизируется управ чение на (N — 2)-м шаге, и т.д.

Одним словом, на каждом шаге ищется такое управление, которое обеспечивает оптимальное продолжение процесса относительно достигнутого в данный момент состояния. Этот принцип выбора управления , называется принципом оптимальности. Само управление, обеспечивающее оптимальное продолжение процесса относительно заданного состояния, называется УОУ на данном шаге.                             

    Теперь  предположим, что УОУ на каждом  шаге нам известно: мы знаем, что делать дальше, в каком бы состоянии ни был процесс к началу каждого шага. Тогда мы можем найти уже не "условное", а дейсгвительно оптимальное управление на каждом шаге.                        |

Действительно, пусть нам известно начальное состояние процесса. Теперь мы уже знаем, что делать на первом шаге: надо применить УОУ, найденное для первого шага и начального сосюяния. В результате этого управления после первого шага система перейдет в другое состояние; но для этого состояния мы знаем УОУ и г д. Таким образом, мы найдем оптимальное управление процессом, приводящее к максимально возможному выигрышу.

Таким образом, в процессе оптимизации управления методом динамического программирования многошаговый процесс "проходится" дважды:

— первый раз — от конца к началу, в  результате чего находятся УОУ| на каждом шаге и оптимальный выигрыш (тоже условный) на всех шагах,  начиная с данного и до конца процесса;                           

• второй раз — от начала к концу, в результате чего находятся оптимальные управления на всех шагах процесса.        

Можно сказать, что процедура построения оптимального управления

методом динамического  программирования распадается на две  стадии:

предварительную и окончательную. На предварительной стадии для каждого шага определяется УОУ, зависящее от состояния системы (достигнутого в результате предыдущих шагов), и условно оптимальный выигрыш на всех оставшихся шагах, начиная с данного, также зависящий от состояния. На окончательной стадии определяется (безусловное) оптимальное управление для каждого шага. Предварительная (условная) оптимизация производится по шагам в обратном порядке: от последнего шага к первому; окончательная (безусловная) оптимизация — также по шагам, но в естественном порядке: от первого шага к последнему. Из двух стадий оптимизации несравненно более важной и трудоемкой является первая. После окончания первой стадии выполнение второй трудности не представляет: остается только "прочесть" рекомендации, уже заготовленные на первой стадии.

 

III.  Пример задачи динамического программирования

                  Выбор состава оборудования технологической линии.

Есть  технологическая линия , то есть цепочка, последовательность операций.

На каждую операцию можно назначить оборудование только каго-то одного вида, а оборудования, способного работать на данной  операции,  - несколько видов.

Исходные  данные для примера

i	1		2		3
j	1	2	1	2	1	2
	10	8	4	5	8	9
	12	8	4	6	9	9
	20	18	6	8	10	12

Стоимость сырья 

Расходы , связанные с использованием единицы оборудования j-го типа на i-ой операции

Производительности, соответственно, по выходу и входу и для  j-готипа оборудования, претендующего на i-ую операцию.

 

Решение:

Для того, чтобы решить данную задачу методом динамического программирования введем следующие обозначения:

N = 3 – число шагов.

 - Технологическая линия.

=  (0,0,0)

= (                   )

 – выбор оборудования для  i-ой операции.

U_i – область допустимых УВ на i-м шаге.

т.е.

W_i – оценка минимальной себестоимости, полученная в результате реализации i-го шага.

S – функция общего выигрыша  т. е. минимальная себестоимость .

 

                         - вектор – функция, описывающая переход системы из состояния               в состояние   под действием УВ.

          

- вектор УВ на i-ом шаге, обеспечивающий переход системы из состояния x_i-1 в состояние x_{i ,} т.е. оптимальный выбор оборудования за N  шагов.

S_i+1( ) – максимальный выигрыш ( в нашем случае минимальная себестоимость), получаемый при переходе из любого состояния в конечное состояние при оптимальной стратегии управления начиная с (k+1)-го шага.

S₁( ) – максимальный выигрыш, получаемый за N шагов при переходе системы из начального состояния в конечное при реализации оптимальной стратегии управления . Очевидно, что S = S₁( ), если = 0.

 

Запишем вектора допустимых значений

 

 

 

Запишем вектора допустимых управляющих воздействий

 

 

 

Запишем вектор – функцию, описывающую переход системы из состояния                  в состояние   под действием УВ.

 

 

 

 

Запишем основное функциональное уравнение

 

 

 

1) Обратный проход

Для  i=3

 

 

 

 

Учитывая  то, что этот шаг у нас последний и следующей операции

уже не будет, а также то, что мы на обратном проходе, вместо функции

          возьмем стоимость сырья                    

при                                                                              =       

 

 

при                                                                              =