Расчет аналоговых и цифровых фильтров

Основное достоинство метода частотной выборки заключается в том, что он позволяет довольно просто рассчитать КИХ фильтр с линейной ФЧХ и произвольной АЧХ, заданной на сетке частот . Для этого требуется построить комплексный коэффициент передачи фильтра на заданной сетке частот, и взять от него обратное дискретное преобразование Фурье. Однако при всей простоте данного метода, он хранит в себе недостатки.

При усечении импульсной характеристики наблюдается сильная неравномерность АЧХ в полосе пропускания фильтра, и высокий уровень боковых лепестков в полосе заграждения.

Данный эффект носит название эффекта Гиббса и возникает ввиду ограничения количества отсчетов импульсной характеристики.

Физический смысл эффекта Гиббса заключается в следующем: при дискретизации АЧХ задаем точки через которые должна пройти АЧХ рассчитанного фильтра, однако не задано ограничений на поведение АЧХ в других точках. При расчете получем набор коэффициентов КИХ фильтра как разложение в ряд Фурье комплексного коэффициента передачи. Эти коэффициенты разложения рассчитываются через обратное дискретное преобразование Фурье. Поскольку ограничено количество коэффициентов разложения (количество коэффициентов КИХ фильтра), то получен усеченный ряд, который лишь аппроксимирует идеальную АЧХ. Аппроксимация будет тем лучше, чем больше коэффициентов импульсной характеристики, т. е. чем чаще мы будем дискретизировать идеальную АЧХ. Эффект Гиббса – негативный эффект, который не позволяет получить КИХ фильтр высокой избирательности. Поэтому было предложено использовать для расчета КИХ фильтров аппарат весовых окон, которые были рассмотрены при спектральном анализе ограниченных во времени сигналов. Использование весовых окно позволяет улучшить частотные характеристики КИХ фильтров.

С целью уменьшения эффекта Гиббса необходимо умножить полученную импульсную характеристику на оконную весовую функцию :

     (2.13)

 

2.1 Порядок расчет второго задания

1. Провести дискретизацию периодической  АЧХ и ФЧХ и привести их  графики. Пусть  .

Рисунок 2.6 – График ФЧХ

Анализ результатов на рисунке 2.6  показал что происходит резкий линейный скачок на 25 отчете, от   -79 до +79.

Рисунок 2.7 – График АЧХ

На данном графике происходит периодическое колебание с резким линейным спадом амплитуды, стремящейся к нулю.

2. Определим отсчеты комплексного коэффициента передачи использую выражение (2.14). Значения реальной и мнимой частей комплексного коэффициента передачи представлены в таблице 3 для первых десяти значений.

     (2.14)

Таблица 3 - Значения реальной и мнимой частей комплексного коэффициента передачи

1	0,8100	0,0000i
2	-0,8850	-0.0560i
3	0,9906	0.1258i
4	-0,8951	-0.1717i
5	0,7847	0.2026i
6	-0,8602	-0.2811i
7	0,9132	0.3636i
8	-0,7325	0.3467i
9	0,8250	0.4564i
10	-0,0528	-0.0337i

 

3. Вычислены отчеты импульсной характеристики цифрового КИХ фильтра используя выражение (18) ОДПФ от комплексного коэффициента передачи для первых десяти значений. Результат расчета импульсной характеристики КИХ фильтра с линейной ФЧХ приведены в таблице 4.

Таблица 4 - Результат расчета импульсной характеристики КИХ фильтра с линейной ФЧХ

1	0.3813	0.5747i
2	-0.0999	0.2568i
3	0.0050	0.2978i
4	0.5781	-0.4241i
5	0.9670	0.0611i
6	0.7230	0.6480i
7	0.1114	0.7119i
8	-0.1927	0.2252i
9	0.1170	-0.2171i
10	0.6257	-0.0991i

 

В общем случае результат при обратном дискретном преобразовании Фурье является комплексным, поэтому в таблице приведена как реальная, так и мнимая части импульсной характеристики. Однако, поскольку воспользовались свойствами симметрии дискретного преобразования Фурье при дискретизации комплексного коэффициента передачи фильтра, в частности его линейной ФЧХ, то мнимая часть в нашем случае равна нулю (на практике она отличается от нуля ввиду ошибок округления при расчете, но имеет очень маленькие значения и меньше) и импульсная характеристика чисто вещественная.

4. Построен график импульсной характеристики рассчитанного фильтра.

Рисунок 2.8 – график импульсной характеристики рассчитанного фильтра

5. С целью уменьшения эффекта  Гиббса необходимо получить новую  импульсную характеристику с помощью умножения полученной импульсной характеристики на оконную весовую функцию используя выражение (2.15). Привести график оконной функции .

     (2.15)

Необходимо выбрать количество коэффициентов КИХ фильтра для обеспечения заданной переходной полосы и оконную функцию для обеспечения заданного подавления в полосе заграждения .

Первый шаг – выбор оконной функции для обеспечения заданного подавления в полосе заграждения. У оконной функции есть параметр   задающий уровень боковых лепестков спектрального окна. Необходимо выбрать оконную функцию у которой

дБ     (2.16)

-23 < -13.98

Теперь надо рассчитать требуемое количество коэффициентов импульсной характеристики фильтра по формуле:

     (2.17)

N≥1.5*2*3.14/0.4=23.55

где – параметр оконной функции, задающий расширение переходный полосы (приведен в таблице 5).

Таблица 5 - Свойства оконной функции

Наименование окна
Синус-окно	3	1,23	1,5	-23	-3,93

 

На рисунке 2.9 проведен график синус окна функции имеющий на 25 отчете максимальное значение равное 1.

Рисунок 2.9 – График оконной функции

При рассмотрении графика оконной функции наблюдается та же зависимость, как и на графике импульсной характеристики, а именно, на 25-ом периоде, достигнуто максимальное значение, после чего следует плавное затухание.

6. Расчет значений измененной импульсной характеристики рассчитанного фильтра с использованием оконных функций.

Рисунок 2.10 – График импульсной характеристики

рассчитанного фильтра с использованием оконных функций

Анализ результатов проведённых на рисунке 2.10, показал, что при применении оконной функции наблюдается уменьшение эффекта Гиббса.

 

2.2 Анализ полученных результатов

В ходе выполнения второго задания был рассмотрен порядок расчета КИХ фильтра по заданным амплитудно-частотным характеристикам (АЧХ) с линейной ФЧХ методом частотной выборки с использованием окон.

При усечении импульсной характеристики наблюдалась сильная неравномерность АЧХ в полосе пропускания фильтра, и высокий уровень боковых лепестков в полосе заграждения, но при применении оконной функции удалось достичь уменьшения эффекта Гиббса.

 

Заключение

При расчёте первой части курсовой работы, были получены параметры коридора АЧХ = 0,4843; = 4,8990; = 0,9151; = 13,9794; = 0,7143;

= 0,0989; и фильтров Баттерворта и Чебышева. Исходя из полученных параметров, был построен график АЧХ с применением фильтра нижних частот указанного в задании курсовой работы. При анализе полученных результатов был выбран фильтр Чебышева соответствующий максимальному, порядку указанному в задании к курсовой работе.

В второй части курсовой работы был рассмотрен порядок расчета КИХ фильтра по заданным амплитудно-частотным характеристикам (АЧХ) полученным при расчёте первой части работы. Полученный график имел сильную неравномерность АЧХ в полосе пропускания фильтра и высоким уровнем искажения амплитуды боковых лепестков в полосе заграждения. Для уменьшения эффекта Гиббса была использована оконная функция «Синус окно», при применении которой, наблюдалась уменьшение искажения амплитуды боковых лепестков.

 

Библиографический список

1. Рабинер Л., Гоулд Р. Теория  и применение цифровой обработки  сигналов. М.: Мир, 1978.

2. Опенгейм А., Шафер Р. Цифровая  обработка сигналов. М.: Связь, 1979.

3. Голденберг Л. М., Матюшкин Б. Д., Поляк М. Н. Цифровая обработка  сигналов: Учеб. пособие для вузов. М.: Радио и связь, 1990.

4. Куприянов М. С., Матюшкин Б. Д. Цифровая обработка сигналов. Процессоры, алгоритмы, средства проектирования.  СПб.: Политехника, 1998.

5. Дьяконов В. П., Абраменкова И. В. МATLAB 5.0/5.3. Система символьной математики. М.: Нолидж, 1999.

6. Потемкин В. Г. MATLAB 5 для студентов. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1998.

7. Рудаков П. И., Сафонов В. И. Обработка  сигналов и изображений.  
М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 2000.