Расчет КЧХ объекта в требуемом диапазоне тчастот

 

Содержание

 

1. Задание на проектирование

 

2. Расчет КЧХ объекта в требуемом диапазоне частот

 

3. Расчет параметров настройки ПИ и ПИД-регуляторов

 

4. Определение устойчивости замкнутой АСР

 

5. Оценка качества управления и выбор регулятора

 

6. Список использованной литературы

 

7. Приложение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 1. Задание на проектирование

 

№ объекта	Wоб(iω1)		Wоб(iω2)		Wоб(iω3)		Wоб(iω4)
	A(ω1)	φ(ω1)	A(ω2)	φ(ω2)	A(ω3)	φ(ω3)	A(ω4)	φ(ω4)
1	0,7535	-1,4148	0,5637	-2,0014	0,3594	-2,6442	0,2243	-3,1526

 

№ объекта	ω1	ω2	ω3	ω4	Чувствительность DF
1	3	4,5	6,5	8,5	190

 

По данным таблицам рассчитать и построить на графике КЧХ  исследуемого объекта. Затем по этим же данным выполнить расчет оптимальных  значений параметров настройки ПИ и ПИД-регуляторов.    Проанализировать замкнутые системы с этими регуляторами на устойчивость и оценить также их запас устойчивости. Далее, следует определить качество управления, обеспечиваемое при использовании ПИ и ПИД-регуляторов, и выбрать из них наилучший.

 

2. Расчет КЧХ объекта в требуемом диапазоне частот

 

Для лучшего представления  области частот, в которой исследуются динамические свойства управляемого объекта необходимо построить на комплексной плоскости годограф КЧХ Wоб(iω). Для этого на мнимой и вещественной осях системы координат в одинаковом масштабе откладываются значения величин ImWоб(iωk) и ReWоб(iωk) для каждого из значений ωk, , представленных в таблице.

Для определения по вышенаписанным таблицам значений величин ImWоб(iω) и ReWоб(iω) КЧХ объекта Wоб(iω), представим выражение : в виде: , сопоставив это выражение с выражением: выясним что: ; .

Для выполнения этих расчётов использовалась программа CHASTXAR.

  С помощью этой программы определяем промежуточные значения величин ImWоб(iω) и ReWоб(iω)

ReWоб(iω)	Imоб(iω)	ω
0,1171	-0,7444	3
-0,0288	-0,5714	3,5
-0,1284	-0,5121	4
-0,2353	-0,5122	4,5
-0,3540	-0,5115	5
-0,4497	-0,4633	5,5
-0,4615	-0,3468	6
-0,3159	-0,1715	6,5
0,0610	-0,0229	7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На основании данных таблицы на рисунке №1 построен годограф КЧХ объекта.

 

 

Рис №1

 

Как видно из рисунка  фрагмента годографа КЧХ объекта (важный с точки зрения влияния на качество управления) полностью располагается в третьем квадранте системы координат на комплексной плоскости и поэтому можно сделать вывод о том, что система является устойчивой.

 

3. Расчет параметров настройки ПИ и ПИД-регуляторов

 

Цель расчёта заключается  в определении таких значений параметров настройки регулятора, при которых обеспечивалось бы  выполнение условия и ограничения на запас устойчивости ,где предельно допустимое значение величины .

Обычно считают что  система является устойчивой, если показатель колебательности находиться в интервале (1.45…1.62)

.На практике часто принимают, что =1,62. При выполнении указанных расчётов использовался метод вспомогательной функции, реализованный на основе компьютерных программ PIREG и PIDREG, написанных на Турбо Паскале. Листинги этих программ приводятся в приложении к курсовому проекту.

 

PIREG	PIDREG
Kp = 1,0314	Kp = 3,0122
Tи = 0,2728	Ти = 0,1758
Kp/Tи = 3,7809	Kp/Ти = 17,1385
Резонансная частота Wp = 4,3590	Резонансная частота Wp = 5,6959
	Тд = 0,1582
	Частота WF = 7,4358

 

На основании представленных здесь результатов расчета можно  сделать вывод, что для рассматриваемого объекта применение ПИД-регулятора позволяет в несколько раз увеличить отношение Кр/Ти по сравнению со случаями использования ПИ регулятора. На основании выражения: , определим значение следующего отношения:

,

где и - значение ошибки управления при использовании ПИ и ПИД-регуляторов. Следовательно, в рассматриваемом случае переход от ПИ- регуляторов к ПИД-регулятору позволяет уменьшить математическое ожидание ошибки управления более чем в 4.5 раза. Это очень высокий показатель.

При использовании метода вспомогательной функции заданный запас устойчивости обеспечивается автоматически, для повышения надежности результатов расчета необходимо дополнительно убедиться в том, что система не только устойчива, но и обладает необходимым запасом устойчивости..

 

4. Определение  устойчивости замкнутой АСР

 

Для того чтобы автоматическая система регулирования могла  выполнять свои функции, она должна, прежде всего, удовлетворять требованию устойчивости, то есть возвращаться к равновесному состоянию после снятия возмущения, нарушившего его равновесие.

Согласно динамической теории устойчивости линейных систем, основы которой сформулированы А.М.Ляпуновым, устойчивость линейной системы зависит от корней её характеристического уравнения. Линейная АСР является устойчивой только в том случае, если все действительные корни и вещественные части комплексно-сопряжённых корней её характеристического уравнения будут отрицательными.

Определение корней характеристического уравнения обычно связано с трудоёмкими вычислениями и далеко не всегда возможно, т.к. для реальных объектов часто не удаётся построить достаточно достоверные параметрические математические модели, описывающие их динамику. Поэтому для практических расчётов, как правило, пользуются косвенными признаками, позволяющими без определения корней характеристического уравнения исследовать систему на устойчивость. Такие признаки получили название критериев устойчивости.

Наиболее часто употребляемыми критериями устойчивости являются алгебраические критерии Рауса-Гурвица, а также Михайлова и Найквиста, основанные на частотных представлениях. В настоящем курсовом проекте использован критерий Найквиста.

Критерий Найквиста основан  на рассмотрении КЧХ разомкнутой  системы , по виду которой можно судить об устойчивости замкнутой АСР. Это обусловлено наличием однозначной зависимости между передаточной функцией разомкнутой системы и характеристическим уравнением замкнутой АСР.

Критерий Найквиста формулируется  следующим образом:

Система регулирования, устойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчива и в замкнутом состоянии, если годограф комплексной частотной характеристики разомкнутой системы не охватывает точку с координатами (-1, i0).

Для того чтобы воспользоваться  критерием Найквиста, необходимо определить КЧХ регулятора и рассчитать по данным таблиц  КЧХ объекта, а затем найти КЧХ разомкнутой системы по  формуле: .

Для ПИД и ПИ регуляторов КЧХ  задаются выражениями:

; соответственно.

В данном курсовом проекте  для определения КЧХ объекта, КЧХ разомкнутой системы с  ПИ и ПИД-регуляторами, АЧХ замкнутой  системы с ПИ и ПИД-регуляторами (по каналу от входа до выхода - запас устойчивости) я воспользовался таблицами и представленными в листинге программами CHASTXAR, PIDREG и PIREG.

 

 

ПИ
ReWоб(iω)	Imоб(iω)	Ω
-0,8173	-0,9153	3
-0,7771	-0,6705	3,5
-0,7285	-0,4807	4
-0,6731	-0,3306	4,5
-0,6128	-0,2118	5
-0,5499	-0,1186	5,5
-0,4867	-0,0469	6
-0,4255	0,0069	6,5
-0,3681	0,0457	7
-0,3158	0,0728	7,5
-0,2697	0,0908	8

 

Применяя критерий Найквиста  к фрагменту годографа КЧХ  разомкнутой системы, представленному  на рисунке №2, можно сделать вывод об устойчивости замкнутой системы с ПИ – регулятором, т. к. данный годограф не охватывает точку с координатами (-1, i0).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПИД
ReWоб(iω)	Imоб(iω)	ω
-2,8345	-2,7434	3
-2,3194	-1,9558	3,5
-1,8958	-1,4619	4
-1,5607	-1,1516	4,5
-1,3043	-0,9544	5
-1,1131	-0,8246	5,5
-0,9734	-0,7332	6
-0,8723	-0,6623	6,5
-0,7992	-0,6018	7
-0,7460	-0,5468	7,5
-0,7074	-0,4958	8

 

Об устойчивости замкнутой  системы с ПИД – регулятором  можно сделать вывод из рисунка №3 т. к. и в этом случае данный годограф КЧХ разомкнутой системы не охватывает точку с координатами (-1, i0).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определим, выполняются  ли ограничения на запас устойчивости для замкнутой системы: , ; где ; Считается, что замкнутая система обладает требуемым запасом устойчивости, если выполняется следующее ограничение:

, где  - предельно допустимое значение величины , на практике часто принимают, что =1,62.

С этой целью необходимо построить график АЧХ замкнутой  системы 

 

ПИ	ПИД	ω
1,3148	1,1953	3
1,4525	1,2860	3,5
1,5810	1,3963	4
1,6127	1,5143	4,5
1,4688	1,6134	5
1,2084	1,6643	5,5
0,9487	1,6610	6
0,7407	1,6238	6,5
0,5854	1,5783	7
0,4710	1,5340	7,5
0,3866	1,5004	8