RLC-цепи при гармоническом воздействии

Федеральное агентство по образованию

Уральский Федеральный университет

имени первого Президента России Б.Н. Ельцина

 

 

 

 

 

 

 

 

Электротехника.

 

 

 

 

 

 

 

 

Расчетно-графическая работа

 

Тема: RLC-цепи при гармоническом воздействии

 

 

 

Вариант 20.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Студент:  Маркова М.

 

Группа:  Фт-200802

Преподаватель: Никифоров С.В.

Дата:  21.12.2011

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Екатеринбург

2011

Задача 1

Рассчитать зависимости от времени напряжений и токов на всех элементах электрической цепи, представленной на рисунке. Построить векторные диаграммы токов и напряжений. Параметры элементов цепи:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В цепи 7 ветвей, но 2 ветви содержат только источники ЭДС и одна только источник тока, значит, получаем систему уравнений электрического равновесия из 11 уравнений,из них:

 

5 уравнений по I-му закону Кирхгофа:

I₂-I₃=J

I₃=I₅=I₆

I₇=I₁=I₂

(1) I₂=I₃+J (I₄=J)

(2)I₁₌ I₂

(3) I₃=I₅ 

(4) I₅=I₆

(5)I₁=I₇

 

2 Уравнения по II-му закону Кирхгофа:

Для контура I

U₇+U₂+U₃+U₆ = E₁+E₂

Для контура II

-U₆-U₃+U₄=E₂

 

4 компонентных уравнения:

U₆=L  для L

U₇=I₇*R₁  для R₁

I₂=C   для C

U₃ = I_3* R₂  для R₂

Получаем систему уравнений электрического равновесия:

I₃-I₂=J

I₃=I₅=I₆

I₇=I₁=I₂

U₇+U₂+U₃+U₆ = E₁+E₂

-U₆-U₃+U₄=E₂

U₆=L  

U₇=I₇*R₁  

I₂=C   

U₃ = I_3* R₂ 

 

Расcчитаем

2πf = 2*3,14*2*10⁵=1,3*10⁶

Рассчитаем сопротивления  всех ветвей

Z₁₌ R₁

Z₂₌ 1/j c

Z₃₌ R₂

Z₄₌ 0 

Z₅₌ R₂

Z₆₌ j L

 

 

 

 

 

   

 U₁₌ I_1* R₁

 U₂₌ I_1* Z₂

     U₃₌ I_3* R₂

  U₄₌ 0

 U₅₌ I_3* R₂

 U₆₌ I_3* Z₆

 U₇₌ I_1* R₁

 

Расcчитаем величины E₁, E₂ и J:

Е₁=25cos(ωt-34⁰)= 25*e^-34j = 25*(cos(34^o)-j*sin(34^o)) =20,7+13,9j,В

Е₂=18cos(ωt-138⁰)= 18*e^-138j=25*(cos(138^o)-j*sin(138^o)) =-13,37-12j, B

J=20cos(ωt+20⁰)= 20*e^42j=20*(cos(20^o)+j*sin(20^o))=18,8+6,18j, мА = 0,0188+0,00618j, A

Решим уравнение

U₇+U₂+U₃+U₆ = E₁+E₂

I_1* R₁+ I_1* Z₂+ I_3* R₂+ I_3* Z₆ = E₁+E₂

I₁-I₃  =0,0188+0,00618j

I_1* 2000-I_1* 513j+ I_3* 2300+ I_3* 23400j =20,7+13,9j  -13,37-12j

 

Решим данную систему в  MathCad:

 

 

 

 

 

Find(I1,I3)=

 

I₁=0,018+0,00192j , A

I₃₌-0,0008+0,0013j, A

 

 

 Получаем:

I₁=0,018+0,00748j , A

I₂=0,018+0,00748j , A

I₃₌-0,0008+0,0013j, A

I₄=J=0,019+0,00618j, A

I₅₌-0,0008+0,0013j, A

I₆=-0,0008+0,0013j, A

I₇₌0,018+0,00748j , A

Найдем напряжения:

 U₁₌ (0,018+0,00748j) _*2000

U₂₌ -(0,018+0,00748j)  _* 513j

  U₃₌(-0,0008+0,0013j) _* 2300

  U₄₌ 0

  U₅₌ (-0,0008+0,0013j _)* 2300

  U₆₌ (-0,0008+0,0013j) _* 23400j

  U_{7= (}0,018+0,00748j)  _*2000

 

U₁=36+14,96j ,В

U₂=3,83-9,234j , В

U₃ =-1,84+3j, В

U₄=0, В

U₅=-1,84+3j, В

U₆= -30,42-18,72 j,В

U₇=36+14,96j ,В

Преобразуем полученые значения токов и напряжений:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Построим векторную диаграмму:

 

 

 

 

 

Задача 2

Рассчитать методом контурных  токов зависимости от времени  напряжений и токов на всех элементах  электрической цепи, представленной на рисунке. Параметры элементов  цепи:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В данной цепи 3 контура.

Обозначим контурные токи I_k1, I_k2 и I_k3

Составим систему уравнений в матричной форме:

Расcчитаем величины E₁, E₂, E₃, E₄, E₅, E₆ и ω:

ω = 2πf = 753,6 * 10³, Гц

E₁ = 3*(cos(10^o)+j*sin(10^o))=2,95+0,52j , B

E₂ = 8*(cos(69^o)-j*sin(69^o))=2,86-7,47j , B

E₃ = 7*(cos(240^o)-j*sin(240^o))=-3,5-6,06j , B

E₄ = 8, B

E₅ = 6,B

E₆ = 1,5,B

 

По Крамеру:

1-я матрица принимает  вид

 

Решим систему в Mathcad:

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдены контурные токи:

I_k1=- 0,61-0,37j мА

I_k2= -0,48-0,67j мA

I_k3=0,58+0,66j мА

Найдем токи ветвей:

I_L2= I_K1-I_k2=I_E6= -1,09+0,3j , мА

I_R2=I_E5=I_k1=-0,61-0,37j мА

I_L1=I_K1-I_k3= I_E2=1,19-1,03j , мA

I_R1= I_k3= I_E1=0,58+0,66j мА

I_C1=I_E3 =I_k2+I_k3= 0,1-0.01j , мА

I_C2=I_K2=I_E4 =-0,48-0,67j мA

 

Зная токи ветвей, можем  расcчитать напряжения элементов ветвей:

Для резисторов:

U_R1=I_R1*R1=(0,58+0,66j) *12=6,96+8j,В

U_R2=I_R2*R2=(-0,61-0,37j) *18=11+6,66j,В

 

Для катушек индуктивности:

U_L1=I_L1*jωL₁= (1,19-1,03j) *3768j= 3881+4484j,В

U_L2=I_L2*jωL₂=  (-1,09+0,3j) *6028j= -1808-6570,5j,В

Для конденсаторов:

U_C1=I_C1/jωC₁= (0,1-0.01j) *(-1327j)=-13,27-132,7j,В

U_C2=I_C2/jωC₂= (-0,48-0,67j) *(-3,583j)= -2,4+1,72j,В

Для источников ЭДС U=0.

U_E1= 0, B

U_E2=0, B

U_E3=0, B

U_E4=0, B

U_E5=0, B

U_E6=0, B

U_L1=3881+4484j,B

U_L2=-1808-6570,5j,B

U_C1=-13,27-132,7j,B

U_C2=-2,4+1,72j,B

U_R1= б,96+8j,B

U_R2= 11+6,6j,B

 

 

 

Ответ:

I_E1=0,58+0,66j мА

I_E2=0,03+0,29j , мA

I_E3=0,08-0.01j , мА

I_E4=-0,48-0,67j мA

I_E5=-0,61-0,37j мА

I_E6=-1,09-1,74j , мА

I_L1=0,03+0,29j , мA

I_L2=-1,09-1,74j , мА

I_C1=0,08-0.01j , мА

I_C2=-0,48-0,67j мA

I_R1=0,58+0,66j мА

I_R2=-0,61-0,37j мА

 

Задача 3

Рассчитать методом узловых  напряжений зависимости от времени  напряжений и токов на всех элементах  электрической цепи, представленной на рисунке. Параметры элементов  цепи:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J1=38*(cos(46^o)+j*sin(46^o))=26.3+27,3j, =

=0.0263+0.0273j A

J2=

=45*(cos(22^o)+j*sin(22^o))=41.7+16.8j,0.0417+0.0168j, A

ω = 2πf=910,6* 10³, Гц

Составим систему уравнений в матричной форме, используя Mathcad:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Получаем:

 

 

 

 

 

 

Расcчитаем напряжения на элементах цепи:

 

Получаем:

 

 UL1=U1=-23,918+0,057j

UR1=U2=-1,444-0,351j

UC1=U2=-1,444-0,351j

UR2=U3-U2=1,618-4,313j

UC2=U3-U1=24,092-59,669j

UL2= U3-U2=1,618-4,313j

Найдем токи:

IL1=UL1/jwL1

IL2=UL2/jwL2

IR1=UR1/R

IR2=UR2/R

IC1=j*w*C1*UC1

IC2= j*w*C2*UC2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

IL1=0.00273+0.75j, мА

IL2=-0.0148+0.06j, мА

IR1=-0.0111-0.027j, А

IR2=0.231-0.616j, А

IC1=0.16-0.657j, мА

IC2=0.043+0.018j, А

 

 

UL1 =-23,918+0,057j

UL2 =1,618-4,313j

UR1= -1,444-0,351j

UR2= 1,618-4,313j

UC1 =-1,444-0,351j

UC2= 24,092-59,669j

UL2 =1,618-4,313j