Аналитические показатели ряда динамики в изучении развития рынка товаров и услуг

2)при неравных интервалах – средняя арифметическая взвешенная

 

у=∑yt/∑t, (2.11,б)

 

гдеt – промежуток времени.

Средний уровень моментного ряда динамики с равностоящими уровнями определяется по формуле средней  хронологической моментного ряда:

 

у=(Ѕ*у₁+у₂+…+Ѕу_n)/n-1, (2.12,а)

 

гдеу₁,…,у_n – уровни периода,

n – число уровней,

n-1 – длительность периода времени.

В моментном ряду с неравными  интервалами расчет среднего уровня ведется по формуле средней хронологической  взвешенной:

 

у=(∑Ѕ(у_н+у_к)*t)/∑t, (2.12,б)

 

гдеу_н – начальный уровень ряда динамики,

у_к – конечный уровень ряда динамики,

t – интервал времени между смежными уровнями.

Обобщающий показатель скорости изменения  уровней во времени – среднее  абсолютное изменение, представляющее собой обобщенную характеристику индивидуальных абсолютных приростов ряда динамики. По цепным данным об абсолютных приростах за ряд лет можно рассчитать среднее абсолютное изменение как среднюю арифметическую простую:

 

Δу=∑Δу_ц/n. (2.13,а)

 

Также среднее абсолютное изменение  определяется через базисный абсолютный прирост:

 

Δу=Δу_б/n. (2.13,б)

 

Свободной обобщающей характеристикой  интенсивности изменения уровней  ряда динамики служит средний темп роста, показывающий во сколько раз  в среднем за единицу времени  изменяется уровень ряда динамики.

Средний темп роста – это обобщенная характеристика индивидуальных темпов роста ряда динамики. В качестве основы и критерия правильности исчисления среднего темпа роста применяется  определяющий показатель – произведение цепных темпов роста, равное темпу роста за весь рассматриваемый период. Поэтому, если значение признака образуется как произведение отдельных вариантов, то согласно правилу нужно применять среднюю геометрическую:

 

Т_р=(ⁿ√Т₁/100*Т₂/100*…*Т_n/100)*100%. (2.14,а)

 

Если известны уровни динамического ряда, то расчет среднего темпа роста упрощается. Так как произведение цепных темпов роста равно базисному, то в подкоренное выражение подставляется базисный темп роста. Базисный темп роста получается как частное от деления уровня последнего периода у_n на уровень базисного периода у₀:

 

Т_р=(ⁿ√у_n/у₀)*100%. (2.14,б)

 

Средние темпы прироста рассчитываются на основе средних темпов роста, вычитанием из средних темпов роста 100%:

 

Т_пр=Т_р-100%. (2.15)

 

Если уровни ряда динамики снижаются, то средний темп роста будет меньше 100%, а средний темп прироста – отрицательной величиной. Отрицательный темп прироста представляет собой средний темп сокращения и характеризует среднюю относительную скорость снижения уровня.

 

1.3 Статистические методы, применяемые при изучении рядов динамики

 

Одной из важнейших задач  статистики является определение в рядах динамики общей тенденции развития явления.

В некоторых случаях  закономерность изменения явления, общая тенденция его развития явно и отчетливо отражается уровнями динамического ряда.

Однако время от времени  уровни ряда динамики могут испытывать случайные колебания, которые скрывают основное направление развития – тренд и общая тенденция развития неясна.

На развитие явления  во времени оказывают влияние  факторы, различные по характеру  и силе воздействия. Одни из них оказывают  практически постоянное воздействие и формируют в рядах динамики определенную тенденцию развития. Воздействие же других факторов может быть кратковременным или носить случайный характер.

Для того чтобы устранить  влияние случайных обстоятельств, уровни ряда динамики обрабатывают соответствующим образом. С этой целью ряды динамики подвергаются обработке методами укрупнения интервалов, скользящей средней и аналитического выравнивания.

Одним из наиболее простых  методов изучения основной тенденции  в рядах динамики является укрупнение интервалов. Он основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда динамики. Средняя, исчисленная но укрупненным интервалам, позволяет выявлять направление и характер (ускорение или замедление роста) основной тенденции развития.

Выявление основной тенденции  может осуществляться также методом  скользящей средней. Сущность его состоит  в том, что исчисляется средний  уровень из определенного числа, обычно нечетного, первых по счету уровней  ряда, затем – из такого же числа  уровней, но начиная со второго по счету, далее – начиная с третьего и т.д. Таким образом, средняя как бы скользит по ряду динамики, передвигаясь на один срок.

Метод скользящей средней  проиллюстрирую по данным динамики выпуска  продукции Х.

 

Таблица 3.1 Динамика выпуска продукции Х

Месяц	Выпуск, тыс. шт.
Январь	20
Февраль	18
Март	22
Апрель	26
Май	28

 

Результат оформлю в  таблице 3.2.

 

Таблица 3.2 Расчет скользящих средних

Месяц	Выпуск, тыс. шт.	Расчет  скользящей средней	Скользящие  средние по выпуску, тыс. шт.
Январь	20	-	-
Февраль	18	(20+18+22)/3	20
Март	22	(18+22+26)/3	22
Апрель	26	(22+26+28)/3	25,3
Май	28	-	-

 

По этому примеру видно, что  скользящие средние, освобожденные  от случайных колебаний, неуклонно  возрастают, характеризуя явную тенденцию  к росту.

Недостатком сглаживания динамических рядов является «укорачивание» сглаженного  ряда по сравнению с фактическим, следовательно, потеря информации.

Эти два метода дают возможность  определить лишь общую тенденцию  развития явления. Однако получить обобщенную статистическую модель тренда посредством этих методов нельзя.

Для того чтобы дать количественную модель, выражающую основную тенденцию  изменения уровней динамического  ряда во времени, используется аналитическое  выравнивание ряда динамики.

Основным содержанием метода аналитического выравнивания в рядах динамики является то, что общая тенденция развития рассчитывается как функция времени:

 

ŷ_t=ѓ(t), (3.1)

 

где ŷ_t – уровни динамического ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени t.

Определение теоретических уровней  ŷ_t производится на основе так называемой адекватной математической модели, которая наилучшим образом отражает основную тенденцию ряда динамики.

Простейшими моделями (формулами), выражающими тенденцию развития, являются:

• линейная функция – прямая

 

ŷ_t=a₀+а₁t

 

где а₀, а₁ – параметры уравнения;

t – время;

• показательная функция

 

ŷ_t=а₀*а₁^t;

 

• степенная функция – кривая второго порядка (парабола)

 

ŷ_t=а₀+а₁t+a₂t².

 

В тех случаях, когда  требуется особо точное изучение тенденции развития, при выборе вида адекватной функции можно использовать специальные критерии математической статистики.

Расчет параметров функции  обычно производится методом наименьших квадратов, в котором в качестве решения принимается точка минимума суммы квадратов отклонений между теоретическими и эмпирическими уровнями:

 

∑( ŷ_t-у_i)²→min, (3.2)

 

где ŷ_t – выравненные (расчетные) уровни;

у_i – фактические уровни.

Параметры уравнения  а_i, удовлетворяющие этому условию, могут быть найдены решением системы нормальных уравнений. На основе найденного уравнения тренда вычисляются выравненные уровни. Таким образом, выравнивание ряда динамики заключается в замене фактических уровней у_i плавно изменяющимися уровнями ŷ_t, наилучшим образом отражающими статистические данные.

Задача состоит в  определении параметров а₀ и а₁ методом наименьших квадратов отклонений выравненных уровней ряда от фактических. Если показатель времени обозначается так, что ∑t=0 (-2, -1, 0, +1, +2 – при нечетном числе уровней, -2, -1, +1, +2 и т. д. – при четном числе уровней), то параметры исчисляются по формулам

 

а₀=∑у/n; (3.3)

а₁=∑уt/∑t².

 

Для иллюстрации этого  метода я использую данные таблицы 3.1.

 

Таблица 3.3 Расчет параметров линейного тренда выпуска продукции Х

Месяц	Выпуск, тыс. шт. (у)	t	yt	t2	yt
Январь	20	-2	-20	4	18
Февраль	18	-1	-18	1	20,4
Март	22	0	0	0	22,8
Апрель	26	1	26	1	25,2
Май	28	2	56	4	27,6
Сумма	114	0	24	10	114

 

а₀=114/5=22,8 тыс. шт.;

а₁=24/10=2,4 тыс. шт.

Тренд имеет вид :у_t=22,8+2,4t.

Придавая конкретные значения t можно получить выровненные значения выпуска продукции. При этом а₁=2,4 означает, что год от года выпуск продукции в среднем возрастает на 2,4 тыс. шт. Это выровненная, устойчивая, неуклонно возрастающая от месяца к месяцу тенденция. Если вычислить значения среднего абсолютного изменения, среднего темпа роста, то можно узнать прогнозные значения выпуска продукции на несколько месяцев вперед. Так, прогноз выпуска на июнь можно определить двумя способами:

• на основе среднего абсолютного прироста

 

у_июнь=у_май+Δу;

на основе среднего темпа  роста

 

у_июнь=у_май*Т.

 

Фактические и расчетные  значения выпуска продукции представлю в виде графика (рис. 3.1).

 

Рис. 3.1. Уровни выпуска  продукции Х

 

Соединив точки, построенные  по фактическим данным, получается ломаная линия, на основании которой  затруднительно сделать вывод о  характере общей тенденции в  изменении выпуска продукции.

Тенденция роста выпуска  продукции Х в данном периоде  отчетливо проявляется в результате построения выровненной прямой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. РАСЧЕТНАЯ ЧАСТЬ

 

С целью изучения расходов населения на платные услуги в отчетном периоде по региону была произведена 20%-ная механическая выборка, в результате которой получены следующие данные:

 

№ района п/п	Численность населения (тыс. чел.)	Объем платных услуг (млн. руб.)	№ района п/п	Численность населения (тыс. чел.)	Объем платных услуг (млн. руб.)
1	29,7	118,6	16	23,1	92,4
2	23,5	94,8	17	32,2	128,5
3	17,2	70,5	18	23,7	94,9
4	25	93,1	19	12,5	50,1
5	21,3	85,9	20	24,4	97,6
6	21	84,8	21	23,3	93,3
7	11,2	55,4	22	22,5	89,6
8	23,8	95,2	23	17,3	69,2
9	22,8	91,9	24	25,7	102,7
10	18,6	74,3	25	22,6	90,5
11	22,1	88,4	26	23,9	95,1
12	26,7	106,9	27	20,1	83,4
13	26,8	76,4	28	11,6	46,7
14	27,8	111,3	29	31,6	100,2
15	19,2	76,8	30	20,4	80,5

 

Задание 1

По исходным данным:

1. Постройте статистический ряд распределения районов по признаку – численность населения, образовав пять групп с равными интервалами.
2. Рассчитайте характеристики интервального ряда распределения: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, моду и медиану.

Сделайте выводы по результатам  выполнения задания.

Решение

1. Для этого необходимо:

а) Построить ранжированный ряд по численности населения и составить новые ряды:

 

Таблица 1 Ранжированный ряд по группировочному признаку

 

б) Определить шаг группировки:

 

h=(x_max-x_min)/n,

 

где n=5

h=(32.2-11.2)/5=4.2;

в) Определить границы групп:

1 группа – (11,2+4,2)=15,4;

2 группа – (15,4+4,2)=19,6;

3 группа – (19,6+4,2)=23,8;

4 группа – (23,8+4,2)=28,0;

5 группа – (28,0+4,2)=32,2;

г) Оформить результаты группировки в виде таблицы:

 

Таблица 2 Простая группировка

 

д) Сделать вывод:

По результатам этой группировки очень сложно сделать правильный и точный вывод, т.к. при росте численности населения объем платных услуг сначала начинает увеличиваться, а затем снова идет на убыль.

 

2.х_ар=^∑хf/∑f;

 

х=(13,3*152,2+17,5*290,8+21,7*1070,4+25,9*778,3+30,1*347,3):2639=23,1;

 

б=√∑(х-х)²f/_∑f;

 

б=√((13,3-23,1)²*152,2+(17,5-23,1)²*290,8+(21,7-23,1)²*1070,4+(25,9-23,1)²*778,3+(30,1-23,1)²*347,3):2639=4,3;

υ=б/х*100;

υ=4,3/23,1*100=18,6%;

М_о=х₀+ι*((f_m-f_m-1)/(f_m-f_m-1)+(f_m+f_m+1)),

 

гдех₀ – нижняя граница модального интервала;

ι – величина модального интервала;

f_m – частота модального интервала;

f_m-1 – частота интервала перед модальным;

f_m+1 – интервала после модального.

М_о=19,6+4,2*((1070,4-290,8)/(1070,4-290,8)+ (1070,4+ 778,3))= 19,6+ 4,2* 0,3=20,9;

 

М_е=х₀+ι*((½∑f-S_m-1)/f),

 

гдех₀ – нижняя граница медианного интервала;

ι – величина медианного интервала;

∑f – сумма накопленных частот;

S_m-1 – сумма накопленных частот до медианного интервала;

f – частота медианного интервала.

М_e=19,6+4,2*((1319,5-443)/1070,4)=19,6+4,2*0,82=23,04.

Задание 2

По исходным данным:

1. Установите наличие и характер связи между признаками – численность населения и объем платных услуг методом аналитической группировки, образовав пять групп с равными интервалами по факторному признаку.
2. Измерьте тесноту корреляционной связи между названными признаками с использованием коэффициента детерминации и эмпирического корреляционного отношения.