Использование дисперсионного анализа при факторном исследовании экономических явлений и процессов

Примечание – Источник: [5]

 

 

К большинству сложных систем применим принцип Парето, согласно которому 20 % факторов определяют свойства системы на 80 %. Поэтому первоочередной задачей исследователя имитационной модели является отсеивание несущественных факторов, позволяющее уменьшить размерность задачи оптимизации модели.

Анализ дисперсии оценивает отклонение наблюдений от общего среднего. Затем вариация разбивается на части, каждая из которых имеет свою причину. Остаточная часть вариации, которую не удается связать с условиями эксперимента, считается его случайной ошибкой. Для подтверждения значимости используется специальный тест - F-статистика.

Дисперсионный анализ определяет, есть ли эффект. Регрессионный анализ позволяет прогнозировать отклик (значение целевой функции) в некоторой точке пространства параметров. Непосредственной задачей регрессионного анализа является оценка коэффициентов регрессии.

Слишком большая размерность выборок затрудняет проведение статистических анализов, поэтому имеет смысл уменьшить размер выборки.

Применив дисперсионный анализ можно выявить значимость влияния различных факторов на исследуемую переменную. Если влияние фактора  окажется несущественным, то этот фактор можно исключить из дальнейшей обработки.

 

3.1  Методы факторного анализа

 

 

Факторный анализ включает совокупность методов, которые на основе реально существующих связей признаков (или объектов) позволяют выявлять латентные обобщающие характеристики организационной структуры и механизма развития изучаемых явлений и процессов.

Понятие латентности в определении ключевое. Оно означает неявность характеристик, раскрываемых при помощи методов факторного анализа. Вначале имеется дело с набором элементарных признаков Xj, их взаимодействие предполагает наличие определенных причин, особенных условий, т.е. существование некоторых скрытых факторов. Последние устанавливаются в результате обобщения элементарных признаков и выступают как интегрированные характеристики, или признаки, но более высокого уровня. Естественно, что коррелировать могут не только тривиальные признаки Xj, но и сами наблюдаемые объекты Ni поэтому поиск латентных факторов теоретически возможен как по признаковым, так и по объектным данным.

Если объекты характеризуются достаточно большим числом элементарных признаков (m > 3), то логично и другое предположение - о существовании плотных скоплений точек (признаков) в пространстве n объектов. При этом новые оси обобщают уже не признаки Xj, а объекты ni, соответственно и латентные факторы Fr будут распознаны по составу наблюдаемых объектов:

 

Fr = c1n1 + c2n2 + ... + cNnN,

 

где ci - вес объекта ni в факторе Fr.

В зависимости от того, какой из рассмотренных выше тип корреляционной связи - элементарных признаков или наблюдаемых объектов - исследуется в факторном анализе, различают R и Q - технические приемы обработки данных.

Название R-техники носит объемный анализ данных по m признакам, в результате него  получают  r  линейных  комбинаций  (групп) признаков: Fr=f(Xj), (r=1..m). Анализ по данным о близости (связи) n наблюдаемых объектов называется Q-техникой и позволяет определять r линейных комбинаций (групп) объектов: F=f(ni), (i = l .. N).

Набор методов факторного анализа в настоящее время достаточно велик, насчитывает десятки различных подходов и приемов обработки данных. Чтобы в исследованиях ориентироваться на правильный выбор методов, необходимо представлять их особенности. Разделим все методы факторного анализа на несколько классификационных групп [5]:

- Метод главных компонент. Строго говоря, его не относят к факторному анализу, хотя он имеет с ним много общего. Специфическим является, во-первых, то, что в ходе вычислительных процедур одновременно получают все главные компоненты  и  их число первоначально равно числу элементарных признаков. Во-вторых, постулируется возможность полного разложения дисперсии элементарных признаков, другими словами, ее полное объяснение через латентные факторы (обобщенные признаки).

- Методы факторного анализа. Дисперсия элементарных признаков здесь объясняется не в полном объеме, признается, что часть дисперсии остается нераспознанной как характерность. Факторы обычно выделяются последовательно: первый, объясняющий наибольшую долю вариации элементарных признаков, затем второй, объясняющий меньшую, вторую после первого латентного фактора часть дисперсии, третий и т.д. Процесс выделения факторов может быть прерван на любом шаге, если принято решение о достаточности доли объясненной дисперсии элементарных признаков или с учетом интерпретируемости латентных факторов.

Методы факторного анализа целесообразно разделить дополнительно на два класса: упрощенные и современные аппроксимирующие методы. 
Простые методы факторного анализа в основном связаны с начальными теоретическими разработками. Они имеют ограниченные возможности в выделении латентных факторов и аппроксимации факторных решений. К ним относятся:

- однофакторная модель. Она позволяет  выделить только один генеральный латентный и один характерный факторы. Для возможно существующих других латентных факторов делается предположение об их незначимости;

- бифакторная модель. Допускает  влияние на вариацию элементарных  признаков не одного, а нескольких латентных факторов (обычно двух) и одного характерного фактора;

- центроидный метод. В нем корреляции  между переменными рассматриваются  как пучок векторов, а латентный  фактор геометрически представляется  как уравновешивающий вектор, проходящий  через центр этого пучка. Метод позволяет выделять несколько латентных и характерные факторы, впервые появляется возможность соотносить факторное решение с исходными данными, т.е. в простейшем виде решать задачу аппроксимации.

Современные аппроксимирующие методы часто предполагают, что первое, приближенное решение уже найдено каким либо из способов, последующими шагами это решение оптимизируется. Методы отличаются сложностью вычислений. К этим методам относятся:

- групповой метод. Решение базируется  на предварительно отобранных каким-либо образом группах элементарных признаков;

- метод главных факторов. Наиболее  близок методу главных компонент, отличие заключается в предположении  о существовании характерностей;

- метод   максимального   правдоподобия,   минимальных   остатков,         а-факторного анализа канонического факторного анализа, все оптимизирующие.

Эти методы позволяют последовательно улучшить предварительно найденные решения на основе использования статистических приемов оценивания случайной величины или статистических критериев, предполагают большой объем трудоемких вычислений. Наиболее перспективным и удобным для работы в этой группе признается метод максимального правдоподобия.

Основной задачей, которую решают разнообразными методами факторного анализа, включая и метод главных компонент, является сжатие информации, переход от множества значений по m элементарным признакам с объемом информации n х m к ограниченному множеству элементов матрицы факторного отображения (m х r) или матрицы значений латентных факторов для каждого наблюдаемого объекта размерностью n х r, причем обычно r < m.

Методы факторного анализа позволяют также визуализировать структуру изучаемых явлений и процессов, а это значит определять их состояние и прогнозировать развитие. Наконец, данные факторного анализа дают основания для идентификации объекта, т.е. решения задачи распознавания образа.

Методы факторного анализа обладают свойствами, весьма привлекательными для их использования в составе других статистических методов, наиболее часто в корреляционно-регрессионном анализе, кластерном анализе, многомерном шкалировании и др.

 

3.2  Парная регрессия. Вероятностная природа регрессионных моделей

 

 

Если рассмотреть задачу анализа расходов на питание в группах с одинаковыми доходами, например в $10.000(x), то это детерминированная величина. А вот Y - доля этих денег, затрачиваемая на питание - случайна и может меняться от года к году. Поэтому для каждого i-го индивида:

 

 

где εi - случайная ошибка;

α и β - константы (теоретически), хотя могут меняться от модели к модели.

Предпосылки для парной регрессии:

- X и Y связаны линейно;

- Х - неслучайная переменная с  фиксированными значениями;

- ε - ошибки нормально распределены N(0,σ2);

- ;

- .

 

На рисунке 3.1 представлена модель парной регрессии.

 

 

Рисунок 3.1 – Модель парной регрессии

Примечание – Источник: [3]

 

Эти предпосылки описывают классическую линейную регрессионную модель.

Если ошибка имеет ненулевое среднее, исходная модель будет эквивалентна новой модели и другим свободным членом, но с нулевым средним для ошибки.

Если выполняются предпосылки, то МНК оценки и являются эффективными линейными несмещенными оценками

 

 

 

Если обозначить:

то что математическое ожидание и дисперсии коэффициентов и будут следующие:

 

 

 

 

Ковариация коэффициентов:

 

Если то и распределены тоже нормально:

 

 

 

 

Отсюда следует, что:

- Вариация β полностью определяется  вариацией ε;

- Чем выше дисперсия X - тем лучше  оценка β.

 

Полная дисперсия определяется по формуле:

 

Дисперсия отклонений в таком виде - несмещенная оценка и называется стандартной ошибкой регрессии. N-2 - может быть интерпретировано как число степеней свободы.

Анализ отклонений от линии регрессии может представить полезную меру того, насколько оцененная регрессия отражает реальные данные. Хорошая регрессия та, которая объясняет значительную долю дисперсии Y и наоборот плохая регрессия не отслеживает большую часть колебаний исходных данных. Интуитивно ясно, что всякая дополнительная информация позволит улучшить модель, то есть уменьшить необъясненную долю вариации Y. Для анализа регрессионной модели проводят разложение дисперсии на составляющие, определяют коэффициент детерминации R2.

Отношение двух дисперсий распределено по F-распределению, т. е. если проверить на статистическую значимость отличия дисперсии модели от дисперсии остатков, можно сделать вывод о значимости R2.

Проверка гипотезы о равенстве дисперсий этих двух выборок:

 

Если гипотеза Н0 (о равенстве дисперсий нескольких выборок) верна, t имеет F-распределение с (m1,m2)=(n1-1,n2-1) степенями свободы.

Посчитав F – отношение как отношение двух дисперсий и сравнив его с табличным значением, можно сделать вывод о статистической значимости R2 [7].

 

4 Применение дисперсионного анализа в статистических исследованиях

 

С помощью дисперсионного анализа исследуют влияние одной или нескольких независимых переменных на одну зависимую переменную (одномерный анализ) или на несколько зависимых переменных (многомерный анализ). В обычном случае независимые переменные принимают только дискретные значения (и относятся к номинальной или порядковой шкале); в этой ситуации также говорят о факторном анализе. Если же независимые переменные принадлежат к интервальной шкале или к шкале отношений, то их называют ковариациями, а соответствующий анализ — ковариационным.

Применим для исследования пакет прикладных программ SPSS.

В рамках SPSS предлагается может выполнение дисперсионного анализа в рамках двух подходов [1]:

- при помощи традиционного "классического" метода по Фишеру (Fisher);

- при помощи нового метода "обобщенной линейной модели".

Первый подход сводится к разложению по методу наименьших квадратов (МНК); в однофакторном случае совокупная дисперсия всех наблюдаемых значений раскладывается на дисперсию внутри отдельных групп и дисперсию между группами. В основе обобщенной линейной модели напротив, лежит, корреляционный или регрессионный анализ.

Дисперсионный анализ может быть вызван посредством выбора меню Analyze (Анализ) General Linear Model (Общая линейная модель). Можно провести одномерный дисперсионный анализ (Univariate...), многомерный дисперсионный анализ (Multivariate...), многомерный дисперсионный анализ с учетом повторных измерений (Repeated Measures...). И, наконец, в данном меню имеется один пункт для расчёта компонентов дисперсии (Variance Components...).

Возможно также проведение дисперсионного анализа по традиционному "классическому" методу Фишера. Однако такой анализ выполним только за счёт использования программного синтаксиса (процедура ANOVA). 

 

 

4.1  Статистическое исследование  удельного веса мужчин по областям  Республики Беларусь с помощью  одномерного дисперсионного анализа