Контрольная работа по "Эконометрика"

Получаем R = 49,69 / 5,93 = 8,38, т.к. R  больше табличного значения                     F-критерия 5,05 при 5%-ном уровне значимости для числа степеней свободы 5 для каждой остаточной суммы квадратов ((24 – 6 – 4*2) / 2), то условие Голдфельда-Квандта не выполняется, т.е.  не подтверждается гомоскедастичность остатков.

4. Проверим полученную модель на наличие автокорреляции остатков  помощью теста Дарбина-Уотсона.

Построим вспомогательную  таблицу:

Таблица №8

ei	ei-1	(ei - ei-1)^2	(ei)^2
1,790689805			3,20657
1,212351757	1,79069	0,334474898	1,469797
0,405921312	1,212352	0,650330062	0,164772
1,045605195	0,405921	0,40919547	1,09329
0,095870732	1,045605	0,901995551	0,009191
-1,4064696	0,095871	2,257026466	1,978157
-2,27200717	-1,40647	0,749155294	5,162017
-1,84562984	-2,27201	0,18179763	3,40635
-0,77494548	-1,84563	1,146365005	0,60054
-0,23304391	-0,77495	0,293657307	0,054309
1,829073393	-0,23304	4,252327772	3,345509
5,919066869	1,829073	16,72804664	35,03535
-1,1740676	5,919067	50,31255666	1,378435
-1,26067668	-1,17407	0,007501132	1,589306
-0,67087525	-1,26068	0,347865725	0,450074
-4,35852294	-0,67088	13,59874549	18,99672
-1,41641823	-4,35852	8,655980107	2,006241
-2,79134265	-1,41642	1,89041716	7,791594
-1,30987375	-2,79134	2,194750123	1,715769
0,551649133	-1,30987	3,465267431	0,304317
2,84153927	0,551649	5,243596841	8,074345
4,066646367	2,841539	1,500887399	16,53761
3,56552621	4,066646	0,251121412	12,71298
-3,81006694	3,565526	54,39937426	14,51661
	СУММА	169,7724358	141,5999

При проверке независимости уровней ряда остатков определяется отсутствие в ряду остатков систематической составляющей. Это проверяется с помощью d – критерия Дарбина-Уотсона, в соответствии с которым вычисляется коэффициент d:

.

d = 1,198959

По таблице критических  точек распределения Дарбина–Уотсона  для заданного уровня значимости , числа наблюдений и количества объясняющих переменных m определить два значения: d_н- нижняя граница и d_в - верхняя граница.

В нашем случае модель содержит 3 объясняющие переменные (m=3), нижняя и верхняя границы равны соответственно d_н = 1,10 и d_в = 1,66.

Расчетное значение d-статистики лежит в интервале 0≤d≤d_н. Следовательно, в ряду остатков существует положительная автокорреляция.

5. Проверим адекватность предположения об однородности исходных данных в регрессионном смысле. Можно ли объединить две выборки (по первым 12 и остальным наблюдениям) в одну и рассматривать единую модель регрессии Y по Х?

Для проверки предположения об однородности исходных данных в регрессионном смысле применим тест Чоу.

Разделим совокупность наблюдений на две группы: первые 12 наблюдений и последние 12 наблюдений. Определим по каждой из групп уравнение  регрессии и остаточной суммы  квадратов.

Таблица №9

Уравнения регрессии	Х1	Х2	Х4	Y	Ŷ	E	E2
Первая группа с первыми 12 месяцами Y = - 68,82+0,52Х1 + 0,87Х2 - 1,08Х3	117,7	81,6	6,026	72,9	70,17	-2,73	7,4513
	123,8	73,2	6,072	67	66,12	-0,88	0,7754
	126,9	75,3	6,106	69,7	69,60	-0,10	0,0095
	134,1	71,3	6,133	70	69,93	-0,07	0,0052
	123,1	77,3	6,164	69,8	69,41	-0,39	0,1501
	126,7	76	6,198	69,1	70,21	1,11	1,2213
	130,4	76,6	6,238	70,7	72,71	2,01	4,0254
	129,3	84,7	7,905	80,1	80,97	0,87	0,7499
	145,4	92,4	16,065	105,2	104,90	-0,30	0,0892
	163,8	80,3	16,01	102,5	103,97	1,47	2,1539
	164,8	82,6	17,88	108,7	108,51	-0,19	0,0362
	227,2	70,9	20,65	134,8	134,01	-0,79	0,6218
Сумма							17,29
Вторая  группа с оставшимися 12 месяцами Y = - 180,51+0,48Х1+ 1,48Х2 + 3,88Х3	164	89,9	22,6	116,7	118,64	1,94	3,7566
	183,7	81,3	22,86	117,8	116,28	-1,52	2,3051
	195,8	83,7	24,18	128,7	130,73	2,03	4,1131
	219,4	76,1	24,23	129,8	130,90	1,10	1,2075
	209,8	80,4	24,44	133,1	133,52	0,42	0,1723
	223,3	78,1	24,22	136,3	135,68	-0,62	0,3783
	223,6	79,8	24,19	139,7	138,23	-1,47	2,1529
	236,6	82,1	24,75	151	150,01	-0,99	0,9765
	236,6	83,2	25,08	154,6	152,92	-1,68	2,8117
	248,6	80,8	26,05	160,2	158,85	-1,35	1,8343
	253,4	81,8	26,42	163,2	164,05	0,85	0,7252
	351,4	68,3	27	191,7	192,99	1,29	1,6589
Сумма							22,09

Таким образом, С₁ = 17,29, С₂ = 22,09.

Остаточная сумма квадратов  по кусочно-линейной модели:

С_кл = С₁ + С₂ = 17,29 + 22,09 = 39,38

Соответствующее ей число  степеней свободы составит 16

Остаточная сумма квадратов  единого уравнения тренда: С = 147,69

Сокращение остаточной дисперсии при переходе от единого уравнения к кусочно-линейной модели можно определить следующим образом:

ΔС = С – С_кл = 147,69 – 39,38 = 108,31

Далее в соответствии с предложенной Г. Чоу методикой  определим фактическое значение F-критерия по следующим дисперсиям на одну степень свободы вариации:

F_рас = = = 11,0

Получили F_рас >  F_табл = 3,01      значит, гипотеза о структурной стабильности тенденции не  принимается, а влияние структурных изменений на динамику Y признаем значимым.

Задача 2.

Модель макроэкономической производственной функции описывается  следующим уравнением:

                                lnY = -3,52 + 1,53lnK + 0,47lnL + ε ,               R² = 0,875.

     (2,43)       (0,55)    (0,09)                         F = 237,4

В скобках указаны  значения стандартных ошибок для  коэффициентов регрессии.

Задание:

1. Оцените значимость коэффициентов модели по t-критерию Стьюдента и сделайте вывод о целесообразности включения факторов в модель.
2. Запишите уравнение в степенной форме и дайте интерпретацию параметров.
3. Можно ли сказать, что прирост ВНП в большей степени связан с приростом затрат капитала, нежели с приростом затрат труда?

Решение:

1. Коэффициент детерминации  =0,875, показывает, что данная модель объясняет 87,5% вариацию  ВНП, а необъясненные факторы – 12,5%.

Значимость коэффициентов  модели  b₀, b₁, b₂ оценим с использованием             t-критерия Стьюдента: 

t _b0 = -3,52 / 2,43 = -1,45 

t _b1 = 1,53 / 0,55 = 2,78              

t _b2 = 0,47 / 0,09 = 5,22           

Табличное значение t - критерия при 5% уровне значимости составляет 2,16. так как выполняется только для коэффициентов b₁ и b₂ , то коэффициенты модели b₁ и b₂ существенны (значимы).

Таким образом, целесообразно включение в модель обоих факторов (затраты капитала и затраты труда).

 2. Запишем уравнение в степенной форме:

Y = е ^-3,52 * К^1,53 * L^0,47 * ε¹

Интерпретация параметров:

b ₁ = 1,53, значит при увеличении только затрат капитала на 1% ВНП в среднем увеличится на 1,5% (1,01^1,53 = 1,015);

b ₂ = 0,47, значит при увеличении только затрат труда на 1% ВНП вырастет в среднем на 0,5% (1,01^,47 = 1,005).

3. Прирост ВНП в  большей степени связан с приростом  затрат капитала, нежели с приростом  затрат труда, это видно из интерпретации параметров.

Задача 3.

Структурная форма модели имеет вид:

где: C_t – совокупное потребление в период  t,

Y_t  – совокупный доход в период  t,

I_t  – инвестиции в период  t,

Т_t – налоги в период  t,

G_t – государственные расходы в период  t,

Y_t-1 – совокупный доход в период  t-1.

Задание:

1. Проверьте каждое уравнение модели на идентифицируемость, применив необходимое и достаточное условия идентифицируемости.
2. Запишите приведенную форму модели.
3. Определите метод оценки структурных параметров каждого уравнения.

Решение:

1 уравнения – функция потребления

2 уравнения – функция  инвестиций

3 уравнения – функция  налога

4 уравнения – тождество  дохода

Модель представляет собой систему одновременных  уравнений. Проверим каждое уравнения системы на необходимое и достаточное условия идентифицируемости.

В  модели четыре эндогенные переменные (С_t, I_t, T_t, Y_t) и две предопределенных переменных – одна экзогенная (G_t) и одна лаговая (Y_t-1). Последнее уравнение представляет собой тождество, поэтому практически статистическое решение необходимо только для первых трех уравнений системы, которые необходимо проверить на идентифицируемость.

1. Обозначим через  Н число эндогенных переменных  в уравнении системы и через D число экзогенных переменных, отсутствующих в уравнении системы.

1 уравнения

С_t = а₁ + b₁₁Y_t + b₁₂T_t + e₁

В рассматриваемой эконометрической модели первое уравнение системы  неидентифицируемо, ибо оно содержит Н = 3 и D = 2, и выполняется необходимое условие (D + 1 = Н), однако, не выполняется достаточное условие идентификации,  ранг матрицы равен 2 < 3, что видно в следующей таблице:

Уравнения	It	Gt	Yt-1
2	-1	0	b21
3	0	0	0
4	1	1	0

 

2 уравнения

I_t  = а₂ + b₂₁Y_t-1 + e₂

Второе уравнение системы  сверхидентифицируемо: Н = 1 и D = 1, т.е. счетное правило выполнено: D + 1 > Н, также выполнено достаточное условие идентификации: ранг матрицы 3 и определитель не равен 0:

Уравнения	Сt	Yt	Тt	Gt
1	-1	b21	b12	0
3	0	b31	- 1	0
4	1	0	0	1

 

3 уравнения

T_t = а₃ + b₃₁Y_t  + e₃

Третье уравнение системы также сверхидентифицируемо: Н = 2 и D = 2, т.е. счетное правило выполнено: D + 1 > Н, также выполнено достаточное условие идентификации: ранг матрицы 3 и определитель не равен 0:

Уравнения	Сt	It	Gt	Yt-1
1	-1	0	0	0
2	0	- 1	0	b21
4	1	1	1	0

 

Таким образом, структурная  модель неидентифицируема, поскольку  в системе имеются неидентифицируемые уравнения.

2. Запишем приведенную форму модели.

     С_t = δ₁ +  δ₁₁ G_t + δ₁₂ Y_t-1+ ζ₁

     I_t  = δ₂ +  δ₂₁ G_t + δ₂₂ Y_t-1+ ζ₂

     T_t = δ₃ +  δ₃₁ G_t + δ₃₂ Y_t-1+ ζ₃

     Y_t = δ₄ +  δ₄₁ G_t + δ₄₂ Y_t-1+ ζ₄

3. Метод оценки структурных параметров первого уравнения системы –  метод максимального правдоподобия, а второго и третьего уравнений системы - двухшаговый метод наименьших квадратов.