Контрольная работа по "Эконометрика"

Задача 1

Изучается модель вида

C_t = a₁+b₁₁Y_t+b₁₂C_t-1+ε₁

I_t = a₂ + b₂₁r_t + b₂₂I_t-1 + ε₂

r_t = a₃ + b₃₁Y_t + b₃₂M_t + ε₂

Y_t = C_t + I_t + G_t

где  C_t – расходы на потребление в период  t ,  Y_t –  совокупный доход в период t, I_t  – инвестиции в период t,  r_t - процентная ставка в период t, M_t -денежная масса в период t , G_t – государственные расходы в период t , C_t-1 – расходы на потребление в период t-1, I_t-1 - инвестиции в период

Первое уравнение –  функция потребления, второе уравнение  – функция инвестиций, третье уравнение  – функция денежного рынка, четвертое  уравнение – тождество дохода.

Модель представляет собой  систему одновременных уравнений.

Проверим каждое ее уравнение  на идентификацию. Модель  включает  четыре  эндогенные  переменные C_t, I_t, Y_t, r_t, четыре предопределенные переменные (две экзогенные переменные – M_t и G_t  и две лаговые переменные – C_t-1 и I_t-1).

Проверим необходимое условие идентификации для каждого из уравнений модели.

Первое уравнение: C_t = a₁+b₁₁Y_t+b₁₂C_t-1+ε₁

Это уравнение содержит две эндогенные переменные  C_t и Y_t и одну предопределенную переменную C_t-1 . Таким образом, H = 2 , а D = 4 – 1 = 3, т.е. выполняется условие D + 1 > H . Уравнение сверхидентифицируемо.

Второе уравнение: I_t = a₂ + b₂₁r_t + b₂₂I_t-1 + ε₂

Оно  включает  две эндогенные  переменные I_t  и r_t и одну экзогенную переменную I_t-1.

Выполняется условие D + 1 = 3 + 1 > H = 2.

Уравнение сверхидентифицируемо.                    

Третье  уравнение: r_t = a₃ + b₃₁Y_t + b₃₂M_t + ε₂

Оно  включает  две эндогенные  переменные Y_t и r_t и  одну  экзогенную  переменную M_t.

Выполняется условие D + 1 = 3 + 1 > H = 2. Уравнение сверхидентифицируемо.

Четвертое уравнение: Y_t = C_t + I_t + G_t

Оно представляет собой тождество, параметры которого известны. Необходимости в идентификации нет.

Проверим для каждого  уравнения достаточное условие  идентификации.

Для этого составим матрицу  коэффициентов при переменных модели.

	Ct	It	rt	Yt	Ct-1	It-1	Mt	Gt
I уравнение	–1	0	0	b11	b12	0	0	0
II уравнение	0	–1	b21	0	0	b22	0	0
III уравнение	0	0	–1	b31	0	0	b32	0
Тождество	1	1	0	–1	0	0	0	1

В соответствии с достаточным условием идентификации ранг матрицы коэффициентов при переменных, не входящих в исследуемое уравнение, должен быть равен числу эндогенных переменных модели без одного.

Первое уравнение. Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

	It	rt	It-1	M t	Gt
II уравнение	–1	b21	b22	0	0
III уравнение	0	–1	0	b32	0
Тождество	1	0	0	0	1

 

Ранг данной матрицы равен трем, так как определитель квадратной подматрицы 3x3 не равен нулю:

 

Достаточное условие идентификации для данного уравнения выполняется.

Второе уравнение. Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

	Ct	Yt	Ct-1	M t	Gt
I уравнение	–1	b11	b12	0	0
III уравнение	0	b31	0	b32	0
Тождество	1	–1	0	0	1

 

Ранг данной матрицы равен трем, так как определитель квадратной подматрицы 3x3 не равен нулю:

 

 

Достаточное условие идентификации для данного уравнения выполняется. Третье уравнение. Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид:

	Ct	It	Ct-1	It-1	Gt
I уравнение	–1	0	b12	0	0
II уравнение	0	–1	0	b22	0
Тождество	1	1	0	0	1

 

Ранг данной матрицы равен трем, так как определитель квадратной подматрицы 3x3 не равен нулю:

 

Достаточное условие идентификации для данного уравнения выполняется.

Таким образом, все уравнения модели сверхидентифицируемы.

Приведенная форма модели в общем виде будет выглядеть следующим образом:

 

 

 

Задача 2

Исследуется зависимость спроса и  предложения некоторого товара от его цены, дохода и процентной ставки:

 
 
 
 
 где 

 - предложение в момент времени t

 - спрос в момент времени t

 
p_t - цена товара в момент времени t

R_t - процентная ставка в момент времени t

Y_t - доход в момент времени t

Y_t-1- доход предшествующего периода

Информация за 8 лет  о приростах всех показателей  представлена в таблице.

год	Qt	Rt	Yt	Yt-i	Pt
1	35	3,0	19	17	8
2	40	3,5	17	15	8
3	45	4,0	18	11	6
4	35	3,5	19	17	7
5	30	2,5	20	19	7
6	35	3,0	21	15	9
7	45	3,5	17	17	10
8	40	4,0	20	19	7

 

Для данной модели была получена система приведенных уравнении:

Q_t = 24,4730+5,2374R_t+0,1652Y_t-0,0116Y_t-1

p_t = -4,4268+1,9746R_t+0,1915Y_t-0,1065Y_t-1

Задание:

1. Проведите идентификацию модели.

2. Рассчитайте параметры  уравнения структурной модели

 

Решение:

Отметим, что в этой модели цена и величина спроса-предложения определяются одновременно, в связи с чем эти переменные должны считаться эндогенными. В отличие от них доход Y_t является экзогенной переменной.

Проведем идентификацию  модели. В данной модели две эндогенные переменные (Q, p_t) и три экзогенные переменные (R_t, Y_t, Y_t-1).

Первое уравнение точно идентифицировано, так как содержит две эндогенные переменные (Q_t и p_t), Н=2, и не содержит две экзогенных переменных из системы (Y_t, Y_t-1), D = 1. Иными словами для первого уравнения имеем по счетному правилу идентификации равенство Н=D+1 (2=1+1)

Второе уравнение сверхидентифицированно. В этом уравнении содержится две эндогенных переменных (Q_t и p_t), Н=2. В данном уравнении две экзогенных переменных (Y_t, Y_t-1) , D =2.

По счетному правилу идентификации  получаем: H<D+1 (2<2+1)

Так как одно из уравнений  системы точно идентифицируемо, а другое сверхидентифицируемо, то данная система сверхидентифицированна. Для определения параметров сверхидентифицированной модели используется двухшаговый метод наименьших квадратов.

Шаг 1. На основе системы приведенных уравнений  по точно идентифицированному первому уравнению определим теоретические значения эндогенных переменных Q_t и p_t. Для этого в приведенные уравнения

Q_t = 24,4730+5,2374R_t+0,1652Y_t-0,0116Y_t-1

p_t = -4,4268+1,9746R_t+0,1915Y_t-0,1065Y_t-1

подставим значения R, Y_t, Y_t-1.

Получим:

Qt	Pt
43,1268	3,325
45,4383	4,1423
48,2686	5,7471
45,7455	4,3123
40,6501	2,3162
43,4804	3,921
45,4151	3,9293
48,5062	5,2781

 

Тогда для первого  структурного уравнения имеем набор показателей:

год	Qt	Rt	Pt
1	43,1268	3,0	3,325
2	45,4383	3,5	4,1423
3	48,2686	4,0	5,7471
4	45,7455	3,5	4,3123
5	40,6501	2,5	2,3162
6	43,4804	3,0	3,921
7	45,4151	3,5	3,9293
8	48,5062	4,0	5,2781

 

Для получения коэффициентов  первого структурного уравнения

 

Воспользуемся пакетом  Excel – «Данные» - «Анализ данных» - «Регрессия»

Поучим:

 

 

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,998369
R-квадрат	0,996741
Нормированный R-квадрат	0,995438
Стандартная ошибка	0,177954
Наблюдения	8
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	48,42895	24,21448	764,6473	6,06E-07
Остаток	5	0,158338	0,031668
Итого	7	48,58729
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	29,18964	0,694914	42,0047	1,44E-07
Переменная X 1	0,487653	0,211651	2,304039	0,069422
Переменная X 2	4,112421	0,436851	9,413776	0,000228