Контрольная работа по "Методам количественного анализа"

 

Институт экономики  и финансов «Синергия»

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Дата				код
1 декабря   2012г.				хххх
Дисциплина
«Методы количественного анализа»
Программа
МВА (дистанционная форма обучения)

 

__Цвид Лариса Анатольевна группа ДО-_67

 

 

 

Содержание

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 1

Менеджер по управлению персоналом компании собрал имеющиеся данные о текущей годовой зарплате и других параметрах по 52 служащим компании.

а) Постройте таблицу распределения частот и гистограмму по возрастам сотрудников. Как вы могли охарактеризовать распределение по возрастам?

б) Постройте таблицу распределения частот и гистограмму по зарплатам сотрудников. Как вы могли охарактеризовать распределение по зарплатам?

Решение:

а) Число групп приближенно определяется по формуле Стэрджесса:

n = 1 + 3.3 х log n

n = 1 + 3.3 х log(52) ≈ 7

Ширина интервала составит:

h = (Xmax – Xmin) / n

h = (63 – 20) / 7 = 6.14

Xmax - максимальное значение  группировочного признака в совокупности. В нашем случае – 63 года.

Xmin - минимальное значение группировочного признака. В нашем случае - 20 лет.

Определим границы группы.

Номер группы	Нижняя граница	Верхняя граница
1	20	26.14
2	26.14	32.28
3	32.28	38.42
4	38.42	44.56
5	44.56	50.7
6	50.7	56.84
7	56.84	63

Одно и тоже значение признака служит верхней и нижней границами двух смежных (предыдущей и последующей) групп.

Результаты группировки  оформим в виде таблицы (табл.1), которая и будет таблицей распределения для нашего сгруппированного ряда:

Таблица 1

Таблица распределения частот по возрастам сотрудников

Группы	Частота fi
20 - 26.14	8
26.14 - 32.28	9
32.28 - 38.42	11
38.42 - 44.56	7
44.56 - 50.7	8
50.7 - 56.84	6
56.84 - 63	3

 

Гистограмма представлена на рис. 1.

Рисунок 1 – Гистограмма интервального ряда  
по возрасту сотрудников

 

Вид гистограммы позволяет  говорить о нормальном распределении  исследуемого признака возраста с некоторой  асимметрией в правой части.

б) Аналогично пункту а) находим  число групп. Поскольку количество респондентов (исследуемых) одинаково, то и число групп будет одинаковым, т.е. равным 7.

Ширина интервала составит:

 

 

Определим границы групп.

Номер группы	Нижняя граница	Верхняя граница
1	14.37	27.93
2	27.93	41.49
3	41.49	55.05
4	55.05	68.61
5	68.61	82.17
6	82.17	95.73
7	95.73	109.29

 

Результаты группировки  оформим в виде таблицы (табл. 2):

Таблица 2

Таблица распределения частот по зарплатам сотрудников

Группы	Частота fi
14.37 - 27.93	10
27.93 - 41.49	16
41.49 - 55.05	15
55.05 - 68.61	1
68.61 - 82.17	1
82.17 - 95.73	8
95.73 - 109.29	1

 

Гистограмма представлена на рис. 2.

Рисунок 2 – Гистограмма интервального ряда  
по заработной плате сотрудников

 

Вид гистограммы не позволяет  однозначно интерпретировать вид распределения  исследуемого признака.

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 2

Предположим, что сумма, потраченная покупателем в некотором  супермаркете, имеет нормальное распределение  со средним значением 25 $ и стандартным  отклонением 8 $.

а) Какова вероятность того, что выбранный случайным образом покупатель потратит меньше 35 $?

б) Какова вероятность того, что выбранный случайным образом покупатель потратит более 10 $?

в) Какова вероятность, что выбранный случайным образом покупатель потратит от 15 $ до 35 $?

г) Определите ту сумму, не более которой тратят 75% покупателей.

д) Определите ту сумму, не менее  которой тратят 80% покупателей.

е) Определите две суммы равноудаленных от среднего значения 25 $, такие, что 90% покупателей тратят сумму, заключенную по величине между данными значениями.

Решение:

Для случайной величины X, распределенной по нормальному закону, вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (α; β), вычисляется по формуле:

Ф(х) – функция Лапласа.

В нашем случае а = 25, σ = 8.

а) α = 0, β = 35

Таким образом, вероятность того, что случайным образом выбранный покупатель потратит меньше 35 $, составляет 89%.

б) α = 10, β = ∞

Таким образом, вероятность  того, что случайным образом выбранный  покупатель потратит больше 10 $, составляет 97%.

в) α = 15, β = 35

Таким образом, вероятность  того, что случайным образом выбранный  покупатель потратит от 15 $ до 35 $, составляет 79%.

г) В данном случае решаем обратную задачу, т.е. по известной вероятности  определяем интервал.

Таким образом, сумма, не более которой тратят 75% покупателей, составляет 30,44 $.

д)

Таким образом, сумма, не менее которой потратят 80% покупателей, составляет 18,28 $.

е) Вероятность отклонения нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания менее чем на δ равна:

В нашем случае Р = 0,9 и  σ = 8.

Тогда,

Таким образом, первая сумма будет 25 – 13,2 =11,8 $, а вторая сумма будет 25 + 13,2 = 38,2 $. В интервале этих денежных значений совершают покупки 90% покупателей.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 3

Некоторый популярный отель  имеет 300 одинаковых номеров. Так же как и крупные авиакомпании, отель  придерживается стратегии избыточного  резервирования с целью максимально  полного использования имеющихся  номеров. Предположим, что каждый потенциальный клиент, зарезервировавший номер, независимо от других клиентов, снимает бронь или просто не приезжает с вероятностью 0.15.

а) Найдите максимально возможное количество принятых заявок на бронь при котором с вероятностью 0.95 каждый из прибывших в отель получит номер.

б) Пусть отель принимает количество заявок найденное в первой задаче. Определить вероятность, с которой не менее 90% номеров будут заняты.

в) Пусть отель принимает количество заявок найденное в первой задаче. Определить вероятность, с которой будут заняты не более 80% номеров.

г) Как изменится результат в первой задаче, если изменить требуемую вероятность с 0.95 на 0.97 и 0.99?

д) Как будет меняться результат первой задачи при изменении вероятности отказа от брони с 5% до 25%?

Решение:

а) Предельная ошибка выборки определяется по формуле

Здесь , n=300.

Значение  находим по таблице функции Лапласа из соотношения т.е. Функция Лапласа принимает значение 0.475 при

Следовательно, предельная ошибка:

Доверительный интервал:

Итак, с вероятностью 0.95 можно гарантировать, что доля клиентов, которые не приедут или снимут бронь, будет находиться в интервале от 0.11 до 0.19.

Следовательно, максимально возможное количество принятых заявок на бронь, при котором с вероятностью 0.95 каждый из прибывших в отель получит номер равно:

Получаем, что отель примет 370 заявок.

б) Определим вероятность, с которой не менее 90% номеров будут заняты.

90% номеров – 300*0,9=270 номеров

Вероятность того, что  при 370 заявках более 270 номеров будут  занятыми равна (по интегральной формуле Муавра – Лапласа):

в) Определим вероятность, с которой будут заняты не более 80% номеров.

80% номеров – это  300*0.8 = 240 номеров.

Вероятность того, что  при 370 заявках не более 240 номеров будут занятыми равна (по интегральной формуле Муавра – Лапласа):

г) При вероятности 0,97 получаем:

Следовательно, предельная ошибка  ,

доверительный интервал

Итак, с вероятностью 0.97 можно гарантировать, что доля клиентов, которые не приедут или снимут бронь, будет находиться в интервале от 0.105 до 0.195.

Следовательно, максимально возможное количество принятых заявок на бронь, при котором с вероятностью 0.95 каждый из прибывших в отель получит номер равно:

Получаем, что отель  примет 373 заявки.

При вероятности 0,99 получаем:

Следовательно, предельная ошибка 

доверительный интервал

Итак, с вероятностью 0.99 можно гарантировать, что доля клиентов, которые не приедут или снимут бронь, будет находиться в интервале от 0.097 до 0.203.

Следовательно, максимально возможное количество принятых заявок на бронь, при котором с вероятностью 0.99 каждый из прибывших в отель получит номер равно:

Получаем, что отель  примет 376 заявок.

д) При вероятности отказа брони 5% получаем:

Следовательно, предельная ошибка 

доверительный интервал

Итак, с вероятностью 0.95 можно гарантировать, что доля клиентов, которые не приедут или снимут бронь, будет находиться в интервале от 0.025 до 0.075.

Следовательно, максимально возможное количество принятых заявок на бронь, при котором с вероятностью 0.95 каждый из прибывших в отель получит номер равно:

Получаем, что отель  примет 324 заявки.

При вероятности отказа брони 25% получаем:

Следовательно, предельная ошибка 

доверительный интервал

Итак, с вероятностью 0.95 можно гарантировать, что доля клиентов, которые не приедут или снимут бронь, будет находиться в интервале от 0.201 до 0.299.

Следовательно, максимально возможное количество принятых заявок на бронь, при котором с вероятностью 0.95 каждый из прибывших в отель получит номер равно: