Контрольная работа по "Методам оптимальных решений"

Министерство образования и  науки Российской Федерации

Федеральное государственного бюджетное образовательного учреждения высшего профессионального образования

Финансовый  Университет при правительстве  РФ

Брянский филиал

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине

Методы оптимальных решений

Вариант 8

 

 

 

ВЫПОЛНИЛ(А)	Беспаленкова  Ю.С.
СТУДЕНТ(КА)	2 курса
НАПРАВЛЕНИЕ	Бакалавр экономики (день)
№ ЗАЧ. КНИЖКИ	11флд10458
ПРЕПОДАВАТЕЛЬ	Дадон В.А.

 

 

 

 

Брянск — 2012

ЗАДАЧА 1

Решить графическим  методом типовую задачу оптимизации

1.11. Для изготовления двух наименований изделий И₁ и И₂ предприятию требуются три вида ресурсов: трудовые («труд»), сырьевые («сырье») и технологические («оборудование»). Запасы ресурсов, нормы их расхода и цены реализации продукции приведены в таблице:

 

Ресурсы	Нормы расхода ресурсов на одно изделие		Запасы  ресурсов
	И1	И2
I. Труд, человеко-час	1	2	110
II. Сырье, кг	3	4	240
III. Оборудование, машино-час	8	5	504
Цена одного изделия, руб.	90	70	—

 

Какое количество изделий каждого наименования следует производить, чтобы выручка от реализации была наибольшей?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему?

 

Решение. Данная задача оптимизации является задачей линейного программирования. Обозначим количество выпускаемых изделий И₁ и И₂ через х₁ и х₂ соответственно. Целевой функцией задачи является общая выручка от реализации, которая должна быть наибольшей. Число ограничений задачи равно числу ресурсов, необходимых для изготовления изделий — 3. Дополнительно вводится условие неотрицательности переменных. Зная цены изделий, нормы их расхода и запасы ресурсов, можно сформулировать математическую модель задачи линейного программирования:

Задачу решаем графическим  методом.

Строим область допустимых решений задачи (см. рисунок). Данные для ее построения приведены в таблице:

 

Ограничение	Граничная прямая	Точки для построения граничной прямой				Неравенство	Выполнение неравенства  в контрольной точке (0; 0)
		Точка 1		Точка 2
		x1	x2	x1	x2
I		0	55	110	0		(да)
II		0	60	80	0		(да)
III		0	100,8	63	0		(да)

 

Стоим вектор-градиент целевой функции задачи. За его начало принимаем точку (0; 0), тогда концом вектора-градиента будет являться точка с координатами, равными коэффициентам целевой функции по соответствующим координатным осям — (90; 70). Перпендикулярно вектору-градиенту через точку его начала строится линия нулевого уровня целевой функции — прямая, в каждой точке которой целевая функция принимает нулевое значение: f(X)=0.

  Для определения положения точки максимума целевой функции линия, параллельная линии нулевого уровня, смещается в направлении вектора-градиента, до тех пор, пока она не покинет область допустимых решений. Предельная точка области допустимых решений при этом движении и является точкой максимума.

В нашей задаче — это точка С, образованная пересечением граничных прямых ограничений II и III. Ее координаты определяются решением системы уравнений этих прямых:

откуда x₁*=48; x₂*=24 и .

Таким образом, для получения  максимально возможной в данных условиях выручки 6000 руб. следует производить 48 изделий И₁ и 24 изделия И₂.

Решение данной задачи линейного программирования на минимум лишено экономического смысла, так как выручку от реализации продукции стремятся получить наибольшей, а не наименьшей. Однако математически эта задача имеет решение и на минимум: наименьшее значение в области допустимых решений целевая функция принимает в точке (0; 0), и это значение равно .

 

рис. Графическое решение задачи линейного программирования

ЗАДАЧА 2

Использовать  аппарат теории двойственности для  экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования

2.11. Для изготовления четырех видов продукции используются пять ресурсов (видов сырья). Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице:

Ресурс	Нормы расхода сырья на одно изделие				Запасы сырья, кг
	И1	И2	И3	И4
Сырье I	3	1	1	2	2600
Сырье II	1	6	3	0	3200
Сырье III	2	3	4	1	2800
Сырье IV	5	0	2	3	3500
Сырье V	4	2	3	4	4200
Цена изделия, руб.	15	12	11	14	—

Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
• проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
• определить, как изменится общая стоимость выпускаемой продукции при уменьшении запасов сырья I на 100 кг, уменьшении запасов сырья II на 50 кг, увеличении запасов сырья III на 300 кг, увеличении запасов сырья IV на 250 кг и увеличении запасов сырья V на 180 кг;
• определить целесообразность включения в план выпуск изделия И₅ ценой 10 руб., если нормы затрат сырья на его изготовление соответственно равны 2, 4, 3, 1 и 2 кг.

 

Решение. 1. Данная задача оптимизации является задачей линейного программирования. Обозначим количество выпускаемых изделий И₁, И₂, И₃, И₄ соответственно как х₁, х₂, х₃, х₄. Целевой функцией задачи является общая стоимость выпускаемой продукции, которая должна быть наибольшей. Число ограничений задачи равно числу ресурсов, используемых для изготовления изделий — 5. Дополнительно вводится условие неотрицательности переменных. Зная цены изделий, нормы их расхода и запасы ресурсов, формулируем математическую модель исходной задачи линейного программирования:

Задачу оптимизации решаем с помощью надстройки «Поиск решения» табличного процессора EXCEL (меню «Сервис»):

 

 

 

 

(для копирования снимка  окна в буфер обмена данных  используется комбинация клавиш Alt + Print Screen).

Использование надстройки позволило получить значения переменных оптимального плана выпуска изделий: Х*=(500; 450; 0; 325). Целевая функция имеет наибольшее для данных условий задачи значение f(X*)=17450 (прил. 1).

Таким образом, для получения наибольшей выручки от реализации продукции следует производить x₁*=500 изделий И₁, x₂*=450 изделий И₂, x₄*=325 изделий И₄ и не производить изделия И₃ (x₃*=0).

  2. Обозначим двойственные оценки ресурсов I, II, III, IV, V как y₁, y₂, y₃, y₄, y₅ соответственно. Целевой функцией двойственной задачи является общая стоимость запасов ресурсов в двойственных оценках, которая должна быть наименьшей. Число ограничений двойственной задачи равно числу переменных исходной задачи — 4. Математическая модель двойственной задачи имеет вид:

При решении исходной задачи с помощью  EXCEL одновременно определяется и оптимальное решение двойственной задачи. В «Отчете по устойчивости» (прил. 2) приводятся теневые цены ресурсов: y₁*»0,167; y₂*»0,833; y₃*=0; y₄*=0; y₅*»3,417.

Наименьшее значение целевой функции двойственной задачи

совпадает (в пределах погрешности округления) с наибольшим значением целевой функции исходной задачи f(X*).

3. Выпуск изделий И₃ невыгоден для данных условий задачи. Это объясняется тем, что стоимость ресурсов на изготовление единицы этой продукции в теневых ценах превышает цену реализации:

4. Проанализируем использование ресурсов в оптимальном плане. Для этого подставим в ограничения исходной задачи значения переменных оптимального плана Х*=(500; 450; 0; 325) и проверим выполнение неравенств:

Видно, что ресурсы I, II и V используются в оптимальном плане полностью, т. е. являются дефицитными. На это обстоятельство указывает и то, что теневые цены этих ресурсов больше нуля (y₁*>0; y₂*>0; y₅*>0). Самым дефицитным является ресурс V, так как он имеет наибольшую теневую цену (y₅*»3,417); следующим по дефицитности идет ресурс II (y₂*»0,833); наименее дефицитен ресурс I (y₁*»0,167).

Ограниченные запасы дефицитных ресурсов I, II и V сдерживают рост объемов выпускаемой продукции и наибольшей выручки от ее реализации. Увеличение объема ресурса I на одну единицу при неизменных объемах других ресурсов ведет к росту наибольшей выручки на 0,167 руб., увеличение объема ресурса II на единицу — на 0,833 руб., а увеличение объема ресурса V на единицу — на 3,417 руб. 

Ресурсы III и IV являются недефицитными (y₃*=0; y₄*=0), т. е. избыточными в оптимальном плане. Увеличение объемов этих ресурсов не повлияет на оптимальный план выпуска продукции и не увеличит ее общую стоимость.

Определим, насколько изменится общая стоимость выпускаемой продукции при заданных изменениях запасов сырья. Из «Отчета по устойчивости» видно, что эти изменения происходят в пределах устойчивости (см. «Допустимое увеличение» и «Допустимое уменьшение» правых частей ограничений в прил. 2), что дает возможность сразу рассчитать изменение наибольшей выручки от реализации выпускаемой продукции, не решая новую задачу линейного программирования:

При этом «новая» наибольшая выручка составит

 руб.

Для определения целесообразности включения в план выпуска еще и изделия И₅ с заданными характеристиками рассчитаем стоимость ресурсов на изготовление единицы этого изделия в теневых ценах и сравним это значение с ценой реализации:

Следовательно, продукцию И₅ выпускать невыгодно, так как она поглощает часть дефицитных ресурсов и тем самым сдерживает рост выпуска выгодной продукции. Это, в свою очередь, препятствует увеличению общей стоимости выпускаемых изделий. Если бы изделие И₅ реализовывалось по цене равной или большей 10,5 руб., то его производство было бы выгодным.

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ:

1) рабочий  лист EXCEL;

2) «Отчет по  устойчивости».