Контрольная работа по статистике

Задание 1.

 

 

1. Без  использования  вычислительной  техники  найдите значение  r(Y,X) выборочного коэффициента корреляции между этими переменными. Методом      наименьших      квадратов      подберите      модель     линейной (непропорциональной) связи между этими переменными, считая переменную Y объясняемой, а переменную  X объясняющей.
2. Получите   разложение   полной   суммы   квадратов   на   остаточную   и объясненную подобранной моделью суммы квадратов.
3. Вычислите коэффициент детерминации R².
4. Вычислите коэффициент корреляции r (Y,Y*) между переменной Y и переменной Y*, значения которой заменяют значения переменной Y согласно оцененной модели ("выровненные" значения).
5. Сравните полученные значения r(Y,X) и r(Y,Y*); объясните полученный результат.

 

№
1	4,7	20,3	95,41	412,09	3,925552	22,09
2	4,8	20,4	97,92	416,16	4,024536	23,04
3	4,9	20,9	102,41	436,81	4,519456	24,01
4	5,1	21,5	109,65	462,25	5,11336	26,01
5	5,3	22,1	117,13	488,41	5,707264	28,09
6	5,6	22,7	127,12	515,29	6,301168	31,36
7	5,7	23,1	131,67	533,61	6,697104	32,49
8	6,2	23,4	145,08	547,56	6,994056	38,44
9	6,9	23,8	164,22	566,44	7,389992	47,61
10	7,2	24	172,8	576	7,58796	51,84
11	7,5	24,3	182,25	590,49	7,884912	56,25
12	8,6	24,7	212,42	610,09	8,280848	73,96
13	9,1	25	227,5	625	8,5778	82,81
14	10	25,8	258	665,64	9,369672	100
15	10,3	26,3	270,89	691,69	9,864592	106,09
16	10,5	26,6	279,3	707,56	10,16154	110,25
итого	112,4	374,9	2693,77	8845,09	112,3998
средн	7,025	23,43125	168,3606	552,8181	7,024988	53,3963

 

 

 

 1. Коэффициент корреляции величин x и y r(x,y) – свидетельствует о наличии или отсутствии линейной связи между переменными:

    

Если: r_xy = -1, то наблюдается строгая отрицательная связь;

          r_xy = 1, то наблюдается строгая положительная связь;

          r_xy = 0, то линейная связь отсутствует.

, - стандартное отклонение случайной величины, т.е. мера разброса случайной величины вокруг среднего значения.

= 1,947986

= 2,011374

0,958639 – связь прямая сильная

Парная регрессия – регрессия между двумя переменными y и x, то есть модель вида: y=f(x)+ε, где:

y - зависимая переменная (результативный  признак),

x – независимая, объясняющая,  переменная ( признак- фактор),

ε - возмущение или стохастическая переменная, включающая влияние неучтенных в модели факторов

При количественной оценке связей используется линейная функция вида:

y=a+вx

Оценивание  параметров а, в производится методом наименьших квадратов. Параметры уравнения линейной регрессии можно вычислить следующим образом:

; 

 

- уравнение регрессии

b=0,98984

a=-16,1682

Получили уравнение  регрессии:

-16,1682+0,98984x

Экономический смысл параметров уравнения линейной парной регрессии: Параметр b показывает среднее изменение результата y с изменением фактора x на единицу. Параметр a=y, когда x=0. Если x не может быть равен 0, то a не имеет экономического смысла. Интерпретировать можно только знак при а: если а>0, то относительное изменение результата происходит медленнее, чем изменение фактора, то есть вариация результата меньше вариации фактора: V_y<V_x, и наоборот.

Коэффициент вариации случайной  величины x, y (V_x, V_y) – мера относительного разброса случайной величины. Показывает, какую долю среднего значения случайной величины составляет ее средний разброс.

;

В данном случае величина параметра  а не имеет экономического смысла.

; ;

; ;

То, что а<0, соответствует опережению изменения  результата над изменением фактора:

2. Разложение общей суммы квадратов отклонений переменной y от среднего значения на две части – «объясненную» и «необъясненную»:

            =                      +           

Общая сумма              Сумма квадратов             Остаточная сумма

 квадратов                       отклонений,                          квадратов

отклонений                     объясненная                         отклонений

                                           регрессией 

 

№
1	4,7	3,925552	9,606578	0,59977	5,405625	18,45009
2	4,8	4,024536	9,002784	0,601344	4,950625	19,31777
3	4,9	4,519456	6,277751	0,144814	4,515625	22,14533
4	5,1	5,11336	3,654367	0,000178	3,705625	26,07814
5	5,3	5,707264	1,736428	0,165864	2,975625	30,2485
6	5,6	6,301168	0,523933	0,491637	2,030625	35,28654
7	5,7	6,697104	0,107516	0,994216	1,755625	38,17349
8	6,2	6,994056	0,000958	0,630525	0,680625	43,36315
9	6,9	7,389992	0,133219	0,240092	0,015625	50,99094
10	7,2	7,58796	0,316924	0,150513	0,030625	54,63331
11	7,5	7,884912	0,739449	0,148157	0,225625	59,13684
12	8,6	8,280848	1,577154	0,101858	2,480625	71,21529
13	9,1	8,5778	2,411188	0,272693	4,305625	78,05798
14	10	9,369672	5,497487	0,397313	8,850625	93,69672
15	10,3	9,864592	8,063283	0,18958	10,72563	101,6053
16	10,5	10,16154	9,837883	0,114555	12,07563	106,6962
итого	112,4	112,3998	59,4869	5,24311	64,73
средн	7,025	7,024988				53,06847

 

 

Общая сумма квадратов  отклонений (S_общ):

S_общ = =64,73

Факторная сумма квадратов  отклонений (S_факт):

S_факт = =59,48693

Остаточная сумма квадратов  отклонений (S _ост):

S _ост= S_общ - S_факт=5,24311

Сумма квадратов  отклонений, обусловленная регрессией (59,4869) больше остаточной суммы квадратов (5,24311), следовательно уравнение регрессии статистически значимо и фактор x оказывает существенное воздействие на результат y.

 

3. Коэффициент детерминации (r_xy²) – характеризует долю дисперсии результативного признака y, объясняемую дисперсией, в общей дисперсии результативного признака. Чем ближе r_xy² к 1, тем качественнее регрессионная модель, то есть исходная модель хорошо аппроксимирует исходные данные.

 

=3,717931;  =4,045626

 0,919 – прямая сильная связь

Уравнением  регрессии объясняется 91,9% дисперсии  результативного признака, а на долю прочих факторов приходится лишь 8,1%  ее дисперсии (т.е. остаточная дисперсия).

 

4. Коэффициент корреляции величин и :

 

=0,958645 – прямая сильная связь

 

5.