Контрольная работа по «Статистике»

Вариант 02.

 

Задание 1.

Используя графический метод решения  линейных программ, найти максимальное и минимальное значения линейной функции на одном и том же множестве  планов.

Решение.

Находим область допустимых значений. Для этого наносим на чертеж границы области допустимых значений.

Уравнение определяет прямую, делящую числовую плоскость на две полуплоскости. Ограничение означает, что в искомую область входят точки, которые лежат «ниже» границы.

Аналогично строим множества точек, которые определяются неравенствами: Строим область допустимых значений:

Строим вектор и прямую .

Для решения задачи

перемещаем прямую по направлению вектора . Точкой выхода из области допустимых решений является точка А, ее координаты определяются как пересечение прямых: . Решая систему, получим координаты точки А(7,67;3). При этом значение . Ее значение при найденных значениях переменных - максимальное.

Для решения задачи

перемещаем прямую против направления вектора. Точкой выхода из области допустимых решений является точка В, ее координаты определяются как пересечение прямых: . Решая систему, получим координаты точки В(3,4;3). При этом значение . Ее значение при найденных значениях переменных - минимальное.

 

 

Задание 2.

Построить математическую модель задачи и решить ее средствами Excel. Записать сопряженную задачу. Провести анализ и сделать выводы по полученным результатам.

Решение.

Найдем решение задачи  с помощью Excel.

Получены результаты

Решение	х1	х2
	57	12
Целевая функция	16	12	max	1056
	Коэффициенты				Свободные члены
Ограничения	2	3		150	180
	4	1		240	240
	6	7		426	426

 

Microsoft Excel 11.0 Отчет по результатам
Рабочий лист: [№1067-11,СибАГС.xls]Лист3
Отчет создан: 05.06.2011 16:35:02
Целевая ячейка (Максимум)
	Ячейка	Имя	Исходное значение	Результат
	$E$3	max	1056	1056
Изменяемые  ячейки
	Ячейка	Имя	Исходное значение	Результат
	$B$2	х1	57	57
	$C$2	х2	12	12
Ограничения
	Ячейка	Имя	Значение	Формула	Статус	Разница
	$E$5	Ограничения	150	$E$5<=$F$5	не связан.	30
	$E$6		240	$E$6<=$F$6	связанное	0
	$E$7		426	$E$7<=$F$7	связанное	0
	$B$2	х1	57	$B$2=целое	связанное	0
	$C$2	х2	12	$C$2=целое	связанное	0

 

Следовательно, для получения максимального значения прибыли от реализации шкурок, равной 1056 ден.ед., надо выращивать57 лисиц и 12 песцов.

 

Составим сопряженную задачу.

Формируем матрицу  на основе исходных данных:

.

Транспонируем матрицу  и получаем матрицу :

.

Тогда двойственная задача имеет вид:

при ограничениях:

 

Вывод.

Для получения максимального значения прибыли от реализации шкурок, равной 1056 ден.ед., надо выращивать57 лисиц и 12 песцов.

 

 

Задание 3.

Решить симплексным методом (с  использованием симплекс-таблиц) одну из пары двойственных задач задания 2. Обосновать выбор модели для применения симплексного метода. Записать ответы для обеих задач. Провести анализ и сделать выводы по полученным результатам.

Решение.

Двойственную задачу решим симплекс-методом. Сведем систему неравенств к системе уравнений, вычитая из левой части неравенства неотрицательные переменные . Получим систему:

 

Найдем базисное решение. В качестве основных переменных выберем  , неосновных - .

Построим первую симплексную таблицу:

Базис	Свободный член
	16	-2	-4	-6	1	0
	12	-3	-1	-7	0	1
W	0	180	240	426	0	0

Таблица не соответствует оптимальному плану.

Определяем разрешающий элемент  – y_1,2.

Построим вторую симплексную таблицу:

Базис	Свободный член
	4	-1/2	1	-3/2	-1/4	0
	8	-5/2	0	-11/2	1/4	1
W	960	180	60	66	-60	0

Таблица не соответствует оптимальному плану.

Определяем разрешающий элемент  – y_2,3.

Построим третью симплексную таблицу:

Базис	Свободный член
	20/11	2/11	1	0	-7/22	3/11
	16/11	-5/11	0	1	1/22	-2/11
W	1056	57	12	66	0	0

 

Получен оптимальный нецелочисленный  план У*=(0;20/11;16/11;0;0), минимизирующий целевую функцию: .

Используя окончательную симплекс-таблицу двойственной задачи найдем оптимальный план прямой задачи по первой теореме двойственности. Получим: Х*=(57;12).

Полученный результат совпадает с результатом, который был получен при решении с помощью Excel.