Меры связи между переменными, измеряемыми по номинальной, порядковой и относительной шкалам

Индивидуальное  задание на тему:

«Меры связи между переменными, измеряемыми по номинальной, порядковой и относительной шкалам»

 

Вариант 1

Часть А.

В каждом задании необходимо рассчитать и интерпретировать соответствующую  меру связи. Также рассчитать и проинтерпретировать  процентные величины для таблиц сопряженности. Охарактеризовать силу и характер и направление связи.

 

1. В выборке представлены результаты о голосах поддержки в пользу увеличения государственных расходов на военные нужды. Данная шкала 20-бальная, где 1 балл соответствует минимальной оценке, а 20 максимальной. Респондентов спрашивали также о количестве лет службы в армии (если они проходили службу в армии). Существует ли связь между этими переменными?

Респондент	Поддерживаю (Х)	Количество лет службы в армии (У)	Ранг Х dx	Ранг У dy	(dx-dy)2
А	20	20	2,5	1	2,25
В	20	10	2,5	6	12,25
З	20	15	2,5	4	2,25
К	20	13	2,5	5	6,25
Б	15	4	5	8	9
Г	10	8	7	7	0
Д	10	20	7	1	36
И	10	18	7	3	16
Ж	8	2	9	9	0
Е	5	0	10	10	0
					84

 

 

Для данного примера характерно наличие связных рангов. Поэтому  воспользуемся следующими формулами:

 

где a - объем каждой группы одинаковых рангов в ранговом ряду Х; 
b - объем каждой группы одинаковых рангов в ранговом ряду У

 

получим:

T_a=(4³-4)+(3³-3)/12= 7

T_b=2³-2/12=0,5

 

Расчитаем коэффициент ранговой корреляции Спирмена r_s по формуле

Получим:

r_s =1-6*((84+7+0,5)/990)=1-6*0.09=0.445

 

Вычислим ранговый коэффициент  Кендалла по формуле:

 

 

Где S – сумма разностей между числом последовательностей и числом инверсий по второму признаку (P+Q)

 

P= 8+4+5+4+2+2+2+2+1=31

Q= -4-2-2-3-2=-13

 

Получим :

t=2(31-13)/90=0,4

 

Вывод

 

По результатам вычисления, можно сказать, что количество лет  службы в армии у респондентов не сильно повлияло на результаты голосования. Величины коэффициентов Спирмена и Кендалла не превысили 0,5, следовательно, связь считается слабой.

 

2. Ниже для выборки из 10 стран приведены оценки этнического разнообразия и социальной напряженности (массовые беспорядки, демонстрации, террористические акты). Существует ли зависимость между этими двумя переменными? Можно ли утверждать, что в странах с большим этническим разнообразием выше уровень социальной напряженности?

Страна	Этническое разнообразие xi	Этническая напряженность yi	xiyi	x2	y2
А	93	126	11718	8649	15876
Б	85	125	10625	7225	15625
В	82	478	39196	6724	228484
Г	80	502	40160	6400	252004
Д	75	100	7500	5625	10000
Е	60	70	4200	3600	4900
Ж	45	78	3510	2025	6084
З	43	75	3225	1849	5625
И	42	70	2940	1764	4900
К	39	126	4914	1521	15876
Итого	644	1750	127988	45382	559374

 

Для решения данной задачи воспользуемся формулой коэффициента корреляции Пирсона

Х_ср=64,4

У_ср=175

 

ХУ_ср=12798,8

Х_ср*У_ср=11270

 

Х²_ср=4538,2

 

У²_ср=95937,4

 

sx=4538,2-4147,36=390,84=19,8

 

sу=55937,4-30625=25312,4=159,1

 

r=(12798,8-11270)/3150,18=0,48

 

Вывод:

 

Коэффициент корреляции Пирсона  показал, что между этническим разнообразием  и этническим напряжением в стране существует средняя по тесноте прямая связь. То есть с увеличением этнического напряжения будет наблюдаться увеличение этнического разнообразия.

 

 

 

 

 

 

 

 

3. В США возрастает частота браков между представителями разных рас, в результате чего также возрастает количество людей смешанной расы. В таблице приведены данные о зависимости между комбинацией рас родителей и тем, с какой расой себя ассоциируют их дети, из которой и составлена выборка. Существует ли статистическая связь между этими переменными?

К какой расе вы себя относите?	Комбинация рас родителей			Итого
	Чернокожий/белый	Азиат/белый	Чернокожий/ азиат
Чернокожий	2	0	3	5
Белый	8	4	0	12
Азиат	0	3	3	6
Ни одна из перечисленных	10	8	4	22
Итого	20	15	10	45

 

Для решения данной задачи воспользуемся формулами коэффициентов  взаимной сопряженности Пирсона и Чупрова.

 

 

,

(Где К₁ и К ₂ числа значений(групп) первого и второго признаков)

 

Для этого потребуется  рассчитать показатель взаимной сопряженности j²

 

 

 

j²=2²/20*5+3²/10*5+8²/20*12+4²/15*12+3²/15*6+3²/10*6+10²/20*22+8²/15*22+4²/10*22

 

К_п===0,8

 

К_ч===0,75

 

Вывод.

  Значения коэффициентов взаимной сопряженности Чупрова и Пирсона близки к 1, это значит что предложенные переменные характеризуются прямой сильной статистической связью. Другими словами:  то, с какой расой себя ассоциируют дети смешанных рас, зависит от комбинации рас родителей.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Часть Б.

Закрытые инвестиционные фонды – в отличие от обычных  паевых инвестиционных фондов открытого  типа, которые непрерывно занимаются покупкой и продажей акций, – продают  свои акции в виде фиксированного портфеля ценных бумаг. Рассмотрим стоимость  чистых активов фонда и биржевую цену, представленных в следующей таблице:

Международные инвестиционные фонды закрытого  типа

Города	Стоимость чистых активов фонда в расчете  на одну акцию, долл.	Биржевая  цена, долл.	Xi-xср	(Xi-xср)2	Y i-Ycр	(Y i-Ycр)2	(Xi-xср)*( Y i-Ycр)
А	9,5	8,75	-1,054	1,110916	-1,53125	2,344727	1,613938
Б	12,72	12,5	2,166	4,691556	2,21875	4,922852	4,805813
В	13,89	14,25	3,336	11,1289	3,96875	15,75098	13,23975
Г	9,44	10,1875	-1,114	1,240996	-0,09375	0,008789	0,104438
Д	12,54	11,875	1,986	3,944196	1,59375	2,540039	3,165188
Е	7,38	7	-3,174	10,07428	-3,28125	10,7666	10,41469
Ж	9,18	8,75	-1,374	1,887876	-1,53125	2,344727	2,103938
З	8,1	7,5	-2,454	6,022116	-2,78125	7,735352	6,825188
И	9,84	9,125	-0,714	0,509796	-1,15625	1,336914	0,825563
К	12,95	12,875	2,396	5,740816	2,59375	6,727539	6,214625
Итого	105,54	102,8125		46,35144		54,47852	49,31313

 

 

Несмотря на то, что  можно было бы ожидать, что каждый фонд будет продавать свои акции (биржевая цена) по той же цене, что  и сумма его компонентов (стоимость  чистых активов фонда в расчете  на одну акцию), как правило, здесь  наблюдаются определенное несоответствие.

А) Насколько сильна взаимосвязь между стоимостью чистых активов фонда в расчете на одну акцию и биржевой ценой акции для этих инвестиционных фондов закрытого типа?

 

Для ответа на этот вопрос воспользуемся формулой линейного  коэфициента корреляции Пирсона

 

Получим r_xy≈0,98

 

Полученное  значение коэффициента свидетельствует о сильной

прямой зависимости между изучаемыми признаками.

 

Б) Можно ли считать существенной взаимосвязь между стоимостью чистых активов фонда в расчете на одну акцию и биржевой ценой акций или все выглядито, будто биржевые цены назначаются фондам случайным образом? Поясните свой ответ.

 

Исходя из расчетов, представленных выше, можно с уверенностью считать  взаимосвязь между стоимостью чистых активов фонда в расчете на одну акцию и биржевой ценой акций существенной. Так как между этими признаками есть сильная прямая связь. То есть при увеличении одного из них, будет увеличиваться и второй.

 

В) Определите линию наименьших квадратов, позволяющую прогнозировать биржевую цену, исходя из стоимости чистых активов фонда в расчете на одну акцию.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г) Ответьте на вопрос: «Может ли увеличение стоимости чистых активов фонда на один пункт привести в среднем к увеличению биржевой цены тоже на один пункт?» Подкрепите свой ответ полученными результатами.

 

Да, может. Наглядно продемонстрированно  в таблице ниже

 

Города	Стоимость чистых активов  фонда в расчете на одну акцию, долл.	Биржевая цена, долл.	Xi-xср	(Xi-xср)2	Y i-Ycр	(Y i-Ycр)2	(Xi-xср)*( Y i-Ycр)
А	10,5	9,75	-1,054	1,110916	-1,53125	2,344727	1,613938
Б	13,72	13,5	2,166	4,691556	2,21875	4,922852	4,805813
В	14,89	15,25	3,336	11,1289	3,96875	15,75098	13,23975
Г	10,44	11,1875	-1,114	1,240996	-0,09375	0,008789	0,104438
Д	13,54	12,875	1,986	3,944196	1,59375	2,540039	3,165188
Е	8,38	8	-3,174	10,07428	-3,28125	10,7666	10,41469
Ж	10,18	9,75	-1,374	1,887876	-1,53125	2,344727	2,103938
З	9,1	8,5	-2,454	6,022116	-2,78125	7,735352	6,825188
И	10,84	10,125	-0,714	0,509796	-1,15625	1,336914	0,825563
К	13,95	13,875	2,396	5,740816	2,59375	6,727539	6,214625
итого	115,54	112,8125		46,35144		54,47852	49,31313