Общая теория статистики

   Изучение  действительности показывает, что вариация каждого изучаемого признака находится  в тесной связи и взаимодействии с вариацией других признаков, характеризующих  исследуемую совокупность единиц .

   При изучении конкретных зависимостей одни признаки выступают в качестве факторов, обуславливающих изменение других признаков. Признаки этой первой группы называются- факторными признаками, а признаки, которые являются результатом влияния этих факторов- результативными.

   Рассматривая  зависимости между признаками, необходимо выделить прежде всего две категории зависимости:

1. Функциональные;
2. корреляционные.

   Функциональные  связи характеризуются полным соответствием между изменением факторного признака и изменением результативной величины, и каждому значению признака- фактора соответствуют вполне определенные значения результативного признака.

   В корреляционных связях между изменениями факторного и результативного признака нет полного соответствия, воздействие отдельных факторов проявляется лишь в среднем при массовом наблюдении фактических данных. В простейшем случае применения корреляционной зависимости величина результативного признака рассматривается как следствие изменения только одного фактора (например, энерговооруженность труда рассматривается как причина роста производительности труда). Однако выделенный в данном примере в качестве основного признак- фактор не является единственной причинной изменения результативного признака, а наряду с ним на величину результативного признака влияет множество других признаков. На формирование уровня труда на предприятии более или менее существенное влияние оказывают факторы, характеризующие степень совершенства применяемой техники и технологий, уровень механизации и автоматизации труда и т.д.

   Кроме того см признак- фактор может зависеть от изменения ряда обстоятельств. В  сложном взаимодействии находится  результативный признак – в более  общем виде он выступает как фактор изменения других признаков. Отсюда результаты корреляционного анализа имеют значение в данной связи, а интерпретация этих результатов в более общем виде требует построения системы корреляционных связей.

   Одновременное воздействие на изучаемый признак большого количества самых разнообразных факторов приводит к тому, что одному и тому же значению признака- фактора соответствует целое распределение значений результативного признака, поскольку в каждом конкретном случае прочие факторные признаки могут изменять силу и направленность своего воздействия.

   При сравнении  функциональных и корреляционных зависимостей следует иметь ввиду, что при наличии функциональной зависимости между признаками можно, зная факторного признака, точно определить величину результативного признака. При наличии же корреляционной зависимости устанавливается лишь тенденция изменения результативного признака при изменении величины факторного признака. В отличии от жесткости однозначно функциональной связи корреляционные связи характеризуются лишь их тенденции.

   При исследовании корреляционных зависимостей между признаками решению подлежит широкий круг вопросов к которым  следует отнести:

1. предварительный анализ свойств моделируемой совокупности единиц;
2. установление факта наличия связи, определение ее направления и формы;
3. изменение степени тесноты связи между признаками;
4. построение регрессионной модели, т.е. нахождение аналитического выражения связи;
5. оценка адекватности модели, ее экономическая интерпретация практическое использование.

   Для того чтобы результаты анализа нашли  практическое применение и дали желаемый результат, должны выполняться  определенные требования в отношении отбора объекта  исследования и признаков- факторов. Одним из важнейших условий правильного  применения методов корреляционного анализа является требование однородности тех единиц, которые подвергаются изучению методами корреляционного анализа.

   При выполнении указанных общих требований далее необходима количественная оценка однородности исследуемой совокупности по комплексу признаков. Одним из возможных вариантов такой оценки является расчет относительных показателей вариации. Традиционное широкое распространение для этих целей получил коэффициент вариации. Несколько реже применяется отношение размаха вариации к среднеквадратическому отклонению. Вывод проверки неоднородности исследуемой совокупности по тому или иному признаку требует проверки гипотезы о принадлежности «выделяющихся» (аномальных) значений признака исследуемой генеральной совокупности.

   Другим важным требованием, обеспечивающим надежность выводов корреляционного анализа, является требование достаточного числа наблюдений.

   Определенные  требования существуют и в отношении  факторов, вводимых в исследование. Все множество факторов, оказывающих  влияние на величину результативного показателя, в действительности не может быть введено в рассмотрение, да практически в этом нет необходимости, так как роль и значение в формировании величины результативного показателя могут иметь существенные различия. Поэтому при ограничении числа факторов, включаемых в изучение, наряду с качественным анализом целесообразно использовать и определенные количественные оценки, позволяющие конкретно охарактеризовать влияние факторов на результативный показатель (к оценкам можно отнести парные коэффициенты корреляции, ранговые коэффициенты при экспортной оценке влияния факторов и др.) Включаемые в исследование факторы должны быть независимыми друг от друга, так как наличие тесной связи между ними свидетельствуют о том, что они характеризуют одни и те же стороны изучаемого явления и в значительной мере дублируют друг друга.

   Все основные положения теории корреляции разрабатывались применительно  к положению о нормальном характере  распределения исследуемых признаков. В этой связи целесообразным является изучение формы распределения, дающее возможность в известной мере обосновать правомерность применения методов корреляционного анализа.

   При построении корреляционных моделей  факторы должны иметь количественное выражение, иначе составлять модель корреляционной зависимости не представляется возможным. 
 

    Задание 2.

    Сгруппируйте  предприятия по качеству почв. Выявите влияние  этого фактора  на урожайность озимой пшеницы.

Решение: Хmax = 94; Хmin = 45; R = Xmax – Xmin = 94-45 = 49

n = 1+3,322 * lg30 = 1+3,322 * 1,477121 = 1+4,91 = 6 групп

h = ( Xmax – Xmin) / n = R / n = 49/ 6 = 8 – шаг интервала

1) 45 – 53

2) 53 – 61

3) 61 – 69

4) 69 – 77

5) 77 – 85

6) 85 – 94

    Качество  почв играет огромную роль в отношении  урожайности озимой пшеницы, так  как урожайность зависит прежде всего от качества почвы на которой возделывается, в нашем случае, озимая пшеница. 

    Задание 3.

    По  группе предприятий  с 15 по 25 определите:

    а) средний размер посевной площади; б) среднюю  урожайность картофеля; в) среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации урожайности картофеля. Сделайте выводы.

    а) средний  размер посевной площади:

х = (х1+х2+…+хn) / n =    x/n = (110+170+140+70+116+98+150+100+100+120+110) / 11 =

= 1284 / 11 = 116,7 га.

    б) среднюю  урожайность картофеля:

x = (250+270+100+240+310+160+200+210+210+220+130) / 11 = 2300 / 11= 209,1 ц с га.

    в) среднее  квадратическое отклонение и коэффициент  вариации урожайности картофеля: 
 
 
 

 
 
 

    Если  среднее квадратическое отклонение меньше средней величины, то совокупность считается однородной.

    V = (61,1 / 209,1) * 100 = 0,29 = 29%. Совокупность однородная. Чем коэффициент вариации ниже, тем совокупность однороднее. 
 

    Задание 4.

    Постройте график и найдите  уравнение корреляционной зависимости между  признаками. Рассчитайте  и проанализируйте  коэффициенты корреляции и детерминации зависимости  между качеством почв и урожайностью озимой пшеницы.

      

    Уравнение для парной линейной регрессии имеет  вид:

У = а0 + а1х

    Для нахождения параметров а0 и а1 используем метод наименьших квадратов и составим систему уравнений для парной линейной регрессии:

∑ у = а0n + а1∑х                       825 = а030 + а12153                  / 30

∑ xу = а0∑x + а1∑х                   62210 = а02153 + а1159975      / 2153

            а0 + 71,77а1 = 27,5          а0 = 28,89 – 74,31а1

        а0 + 74,31а1 = 28,89        28,89 – 74,31а1 + 71,77а1 = 27,5

-2,54а1 = 27,5 – 28,89

-2,54а1 = -1,39

а1 = 0,55

а0 = 28,89 – 74,31 * 0,55 = 28,89 – 40,87 = -11,98

При а0 = -11,98 и а1 = 0,55 уравнение регрессии имеет вид: у = 0,55х – 11,98.

    Для расчета  коэффициента корреляции используем формулу:

Rxy = xy – x * y /    *     , где

ху  = ∑ху /n = 62210 / 30 = 2073,67

x = ∑x / n = 2153 / 30 = 71,77

y = ∑y / n = 825 / 30 = 27,5 

     =   ∑x / n – (x)   =   159979 / 30 – (71,77)    =   5332,62 – 5150,93   =    181,7   =

= 13,48 

    =    ∑y / n – (y)   =   25017 / 30 – (27,5)    =    833,9 – 756,25   =    77,65   = 8,81

    Подставим значения:

Rxy =  (2073б67 – 71,77 * 27,5) / 13,48 * 8,81 = (2073,67 – 1973,68) / 118,76 = 99,99 / 118,76 = 0,84  Связь между качеством почвы и урожайностью озимой пшеницы высокая, потому что коэффициент корреляции 0,84 находится в интервале от 0,7 до 0,9.