Автор работы: Пользователь скрыл имя, 03 Февраля 2014 в 16:33, реферат
В этой работе рассмотрен второй класс задач математической статистики, связанных с проверкой статистических гипотез.
Введение …………………………………..
1.1. Основные понятия ……………………………………
1.2. Проверка двух простых гипотез ……………………………………
1.3. Критерий Неймана-Пирсона ……………………………………..
1.4. Определение объема выборки ……………………………………….
Федеральное агентство по образованию
ГОУ ВПО “Магнитогорский
Государственный Технический
им. Г.И. Носова”
Кафедра горных машин и транспортно-технологических комплексов
Математическая статистика в горном деле
Реферат по теме:
“ ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ.
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ”
Выполнил:
ст. гр. ГЭМ-11-1 Сигаев А.В.
Проверил:
ст. препод. Шебаршов А.А
Магнитогорск 2013 г.
Содержание
Введение
1.1. Основные
понятия
1.2. Проверка двух простых гипотез ……………………………………
1.3. Критерий Неймана-Пирсона ……………………………………..
1.4. Определение объема выборки ……………………………………….
Введение
В этой главе рассмотрен второй класс задач математической статистики, связанных с проверкой статистических гипотез.
ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ.
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
1.1. Основные понятия.
Пусть имеется выборка, являющаяся реализацией случайной выборки из генеральной совокупности X, плотность распределения которой p(t;θ) зависит от неизвестного параметра θ.
Статистические
гипотезы относительно неизвестного истинного
значения параметра θ называют параметрическими
гипотезами. При этом если θ — скаляр, то
речь идет об
однопараметрических гипотезах, а если вектор, — то о многопараметрических гипотезах.
Статистическую гипотезу H называют простой, если она имеет вид
где — некоторое заданное значение параметра.
Статистическую гипотезу называют сложной, если она имеет вид
где D — некоторое множество значений параметра θ, состоящее более чем из одного элемента.
1.2. Проверка двух простых гипотез.
Рассмотрим сначала случай, когда проверяются две простые статистические гипотезы вида
где θ0, θ1 — два заданных (различных) значения параметра. Первую гипотезу H0 обычно называют основной, а вторую H1 — альтернативной, или конкурирующей, гипотезой, хотя эта терминология является достаточно условной. Так, например, одна и та же гипотеза может в одних задачах выступать в качестве основной, а в других — в качестве альтернативной. По данным выборки необходимо принять решение о справедливости одной из указанных гипотез.
Критерием, или статистическим критерием, проверки гипотез называют правило, по которому по данным выборки принимается решение о справедливости либо первой, либо второй гипотезы.
Критерий задают с помощью критического множества W, являющегося подмножеством выборочного пространства
xn случайной выборки . Решение принимают следующим образом:
При использовании любого критерия возможны ошибки следующих видов:
Вероятности совершения ошибок первого и второго рода обозначают α и β:
где— вероятность события А при условии, что справедлива гипотеза Hj, j=0.1. Указанные вероятности вычисляют с использованием функции плотности распределения
случайной выборки:
Вероятность совершения ошибки первого рода α называют также уровнем значимости критерия.
Величину 1- β, равную вероятности отвергнуть основную гипотезу H0, когда она неверна, называют мощностью критерия.
1.3. Критерий Неймана-Пирсона.
При построении критерия для проверки статистических гипотез, как правило, исходят из необходимости максимизации его мощности 1-β (минимизации вероятности совершения ошибки второго рода) при фиксированном уровне значимости α критерия (вероятности совершения ошибки первого рода). Для упрощения дальнейших рассуждений будем считать, что — случайная выборка объема n из генеральной совокупности непрерывной случайной величины X, плотность
распределения вероятностей которой зависит от неизвестного параметра θ, и рассмотрим две простые гипотезы H0: θ= θ0 и H1: θ= θ1
Введем функцию случайной выборки
Статистика представляет собой отношение функций правдоподобия при истинности альтернативной и основной гипотез соответственно. Её называют отношением правдоподобия. Для построения оптимального* (наиболее мощного) при заданном уровне значимости α критерия
Неймана — Пирсона в критическое множество W включают те элементы выборочного пространстваслучайной выборки для которых выполняется неравенство
где константу Cφ выбирают из условия
которое обеспечивает заданное значение уровня значимости α и может быть записано в виде
При этом вероятность ошибки второго рода не может быть уменьшена при данном значении вероятности ошибки первого рода α.
1.4. Определение объема выборки.
При построении оптимального критерия Неймана — Пирсона с заданным уровнем значимости α
предполагалось, что объем п случайной выборки известен и фиксирован. Но возможной является ситуация, когда возникает необходимость в определении (заранее, до проведения наблюдений) такого объема n* случайной выборки, при котором может быть построен критерий для проверки двух простых гипотез H0: θ= θ0 и H1: θ= θ1 с заданными или меньшими значениями
вероятностей α и β совершения ошибок первого и второго рода соответственно.
В рассматриваемой ситуации величину n* определяют как минимальное целое значение n, для которого система неравенств
может быть выполнена при некотором значении константы С = С*. При этом соответствующий оптимальный критерий Неймана — Пирсона, обеспечивающий заданные значения α,β будет иметь критическое множество, определение неравенство
1.5. Сложные параметрические гипотезы
Предположим, что требуется проверить две сложные гипотезы
H0: θ= Θ0 и H1: θ= Θ 1
где Θ0 , Θ1— некоторые непересекающиеся области значений параметра θ. Например, области Θ0 , Θ1 могут быть заданы неравенствами θ ≤ θ0 и θ ≥ θ1, где θ0 и θ1 — некоторые фиксированные значения параметра, удовлетворяющие неравенству θ0 < θ1.
Критерий проверки сложных гипотез по-прежнему задается с помощью критического множества W реализаций случайной выборки , на основе которого решение принимают следующим образом:
- если реализация случайной выборки принадлежит
критическому множеству W, тогда основную гипотезу H0 отвергают и принимают альтернативную гипотезу H1;
- если реализация случайной выборки не принадлежит критическому множеству W, тогда отвергают альтернативную гипотезу H1 и принимают основную гипотезу H0 .
Вероятности совершения ошибок первого и второго рода в случае сложных гипотез имеют прежний смысл и определяются выражениями
.
В отличие от случая простых гипотез, величины , являются некоторыми функциями от параметра θ.
Максимально возможное значение вероятности совершения
ошибки первого рода
называют размером критерия.
Функцию
определяющую значение вероятности отклонения основной гипотезы Н0 в зависимости от истинного значения параметра θ, называют функцией мощности критерия. Если существует критерий, который при данном фиксированном размере α максимизирует функцию мощности М(θ) по всем возможным критериям одновременно при всех θ из множества Θ 1, то такой критерий называют равномерно наиболее мощным. Равномерно наиболее мощные критерии существуют лишь в некоторых частных случаях при проверке гипотез относительно одномерных параметров.
Вероятности совершения ошибок первого и второго рода связаны с функцией мощности следующими соотношениями:
Тем самым равномерно наиболее мощный критерий, если он существует, минимизирует вероятность совершения ошибки второго рода β(θ)(при фиксированном размере α) одновременно
при всех .
Список литературы:
1) Математическая статистика: Учеб.для вузов / В.Б. Горяинов, И.В. Павлов, Г.М. Цветкова и др.; Под ред. B.C.Зарубина, А.П. Крищенко. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. -424 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып. XVII).
2) Адлер Ю.П., Грановский Ю.В., Маркова Е.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. М.: Наука, 1976.–278
3) Ковалев В.В, Волкова О.Н., Анализ хозяйственной деятельности предприятия// polbu.ru, 2005, 2 с.
Информация о работе Проверка гипотез. Параметрические модели