Шпаргалка по "Теории вероятности и математической статистике"

 

 

1. Понятие случайности, изучаемое теорией вероятностей. Частотное определение вероятности.

Теория вероятностей –  раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений, наблюдаемых  при многократном повторении опыта. Под опытом G  понимается воспроизведение  какого-либо комплекса условий для  наблюдения исследуемого явления (события). Обычно считается, что событие случайно в опыте, если при неоднократном  воспроизведении этого опыта  оно иногда происходит, а иногда – нет, причем нельзя заранее предсказать  возможный исход (событие) этого  опыта. При этом наблюдается свойство устойчивости частоты случайного события: с увеличением числа повторений опыта значение частоты появления  случайного события стабилизируется  около некоторого случайного числа. Пусть при n-кратном повторении опыта G событие А произошло m_А раз. Частотой W_n(А) события А называется соотношение W_n(A) = m_А/n. Cвойства частоты W_n(А):

- W_n(А) ³ 0, так как m_А ³ 0 и n > 0;

- W_n(А) £ 1, так как m_А £ n;

- Если при n-кратном  повторении опыта несовместные  события A и B появились соответственно m_А и m_B раз, то

Априори (заранее, до опыта) частота W_n(A) является случайной, т.е. нельзя предсказать точное ее значение до проведения данной серии из n опытов. Однако природа случайных событий такова, что на практике наблюдается эффект устойчивости частот. Его суть заключается в том, что при увеличении числа опытов значение частоты практически перестает быть случайным и стабилизируется около некоторого неслучайного числа Р(А), соответствующего данному конкретному событию А в опыте G. Число Р(А) первоначально при становлении теории вероятностей называлось вероятностью события A в опыте G. Введенное понятие указывает на то, что вероятность Р(А) характеризует частоту появления события А при многократном повторении опыта G.

 

 

2. Основные понятия теории вероятностей на основе аксиоматического подхода: пространство элементарных исходов, алгебра случайных событий, вероятность и аксиомы, которым она подчиняется.

Алгебра событий F, включающая в себя результаты сложения и умножения счетного числа своих элементов (т.е. замкнутая относительно этих операций), называется s-алгеброй. Элементы s-алгебры (т.е. подмножества пространства W) называются случайными событиями (или просто событиями). Вероятностью события А называется числовая функция Р(А), определенная на s-алгебре и удовлетворяющая следующим четырем аксиомам теории вероятностей:

- Каждому событию А  Î F ставится в соответствие неотрицательное число Р(А), т. е. Р(А) ³ 0 для любого А Î F.

- Вероятность достоверного  события равна единице, т. е.  Р(W) = 1.

- Для любых несовместных  событий А и В из F справедливо равенство Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

- Для любой убывающей  последовательности А₁ É А₂ É … É А_n É … событий из F, такой что A₁A₂A₃ × ... × A_n × …= Æ , имеет место равенство

Аксиоматические свойства вероятности:

- Если Р(А) = 1, но А не  равно W, то говорят, что событие А в опыте G происходит почти наверное.

- Если Р(А) = 0, то говорят,  что событие А почти никогда  не происходит в опыте G.

 

3. Простейшие свойства вероятности: монотонность, формула сложения, вероятность разности событий.

Если А Ì В, то Р(А) £ Р(В), т.е. вероятность монотонна. Представим множество В как В = А + B\A (см. рисунок 1). По построению А(В\А)=Æ, следовательно, события А и В\А несовместны. Поэтому по аксиомам конечной аддитивности^* и неотрицательности вероятности имеем Р(В) = Р(А) + Р(В\А) ³ Р(А).

Р(А) £ 1 для любого А Î F. Так как A Ì W, то из свойства монотонности и аксиомы нормировки вероятности следует Р(А) £ Р(W) = 1. Формула сложения и вероятность разности событий:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) для  любых А, В Î F. Представим А в виде А = А\В + АВ (см. рисунок 2). Очевидно, что события А\В и АВ несовместны. Тогда по аксиоме конечной аддитивности вероятности имеем Р(А) = Р(А\В) + Р(АВ),откуда Р(А\В)=Р(А)-Р(АВ). Аналогичным образом поступим с событием А+В. Имеем А+В = В + А\В, причем события В и А\В несовместны. Тогда из аксиомы конечной аддитивности вероятности следует Р(А+В)=Р(В)+Р(А\В). Подставляя в данное выражение формулу для Р(А\В), получаем требуемое. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

^* Аксиома: Для любых несовместных событий А и В из F справедливо равенство Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

 

 

4. Классическая схема. Вычисление вероятностей исходов в трех комбинаторных моделях.

Если множество исходов  некоторого опыта конечно и состоит  из n равновозможных попарно несовместных событий, составляющих полную группу, то вероятность события Р(А) = m(A)/n, где m(A) – число благоприятных  для этого события исходов. В  геометрической интерпретации вероятность  попадания в область А, включенную в В можно вычислить как  отношение меры области А к  мере области В. Для решения некоторых  задач удобно пользоваться комбинаторными моделями. Формула перестановки имеет  смысл числа вариантов, с помощью  которых можно расположить k элементов. N = k!

Формула сочетаний имеет  смысл числа способов выбрать r элементов  из k без учета порядка.

Формула размещений имеет  смысл числа способов выбрать r элементов  из k с учетом порядка, последовательности, иерархии.

 

 

5. Классическая схема. Примеры решения задачи о совпадениях, расчета вероятности выигрыша в лотерее.

Если множество исходов  некоторого опыта конечно и состоит  из n равновозможных попарно несовместных событий, составляющих полную группу, то вероятность события Р(А) = m(A)/n, где m(A) – число благоприятных для этого события исходов.

- Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что цифры различны, набрал их на удачу. Какова вероятность того, что набран нужный номер? Решение: Общее число исходов

Благоприятный исход один – необходимые цифры набраны  в необходимом порядке. Вероятность  того, что набран нужный номер, легко  рассчитать по классической формуле

  .

- В розыгрыше лотереи участвуют 100 билетов, среди которых 25 выигрышных. Студент МАИ приобрел три билета. Какова вероятность его выигрыша? Решение: студент МАИ выиграет в случае, если хотя бы один из билетов окажется выигрышным. Проще рассмотреть противоположное событие (студент проиграет). Для нового события благоприятными являются

исходов.

Общее число исходов тоже вычисляется по формуле сочетаний:

Вероятность выигрыша студента МАИ:

 

6. Независимые события. Свойства независимых событий. Примеры: расчет надежности.

События А и В являются называются независимыми, если Р(АВ) = Р(А)Р(В). В противном случае события называются зависимыми. Если любые два события  из А₁, …, А_n независимы, то события А₁, …, А_n называются независимыми в совокупности, или просто независимыми, если для любых k=2,n и 1 £ i₁ < … < i_k £ n верно равенство Р(А_i1×…×A_ik)=P(А_i1) ×…×P(A_ik). Независимость событий не следует из их попарной независимости, но обратное утверждение верно.

Свойства:

- Если события А и  В независимы, то независимы также  события А и ØВ, ØА и ØВ, ØА и В. Для событий А и ØВ имеем

Поэтому

- Если несовместные события  А и В имеют ненулевые вероятности,  то они зависимы. Действительно,  по условию АВ = Æ. Если бы А и В были независимыми, тогда было бы верно Р(А)Р(В) = Р(АВ) = Р(Æ) = 0, но левая часть равенства по условию нулю не равна. Следовательно, А и В зависимы.

Расчет надежности. Задача^*: Система состоит из четырех элементов, надежности которых равны p₁=0,8; p₂=0,7; p₃=0,6; p₄=0,5. Элементы отказывают независимо друг от друга. Найти надежность схемы, приведенной на рисунке.

Решение: Перейдем к противоположному событию. Система откажет в случае, если откажут одновременно 3ий и 4ый элементы или 4ый, 1ый и 2ой элементы. Необходимо также учесть, что если отказали 3ий и 4ый элементы, то состояние 1ого  и 2ого может быть любым. Поэтому  вероятность отказа можно вычислить  следующим образом:

 

^*Задача 43а на странице 46 учебника Кибзуна.

 

7. Схема и формула Бернулли. Свойства биномиальных коэффициентов.

Рассмотрим последовательность из n независимых испытаний (опытов) с двумя исходами (событиями) А  и ØА, которые называются соответственно «успехом» и «неуспехом», причем Р(А) = p Î (0,1), Р(ØА) = q = (по определению) 1 – p. Построенная схема испытаний называется схемой Бернулли, а сам опыт – опытом Бернулли. Пусть опыт G производится по схеме Бернулли. Тогда вероятность P_n(k) события A_n(k), состоящего в том, что при n повторениях опыта G событие А произойдет ровно k раз, вычисляется по формуле Бернулли:

 

Докажем справедливость данной формулы. Пусть опыт G был проведен три раза и необходимо найти вероятность  того, что успешный результат будет  получен один раз. В таком случае по формуле Бернулли получаем, что  вероятность этого события равна 3pq². Теперь представим это событие в виде суммы несовместных событий A=ØA₁×ØA₂×A₃+ØA₁×A₂×ØA₃+A₁×ØA₂×ØA₃. Поскольку события несовместны, P(A) = P(ØA₁×ØA₂×A₃) + P(ØA₁×A₂×ØA₃) + P(A₁×ØA₂×ØA₃).

Так как события независимы, вероятность их произведения равна  произведению вероятностей. Р(А)=p, P(ØA)=q. Тогда Р(А) = qqp + qpq + pqq = 3(pqq)=3pq². Результаты совпадают.

 

8. Условная вероятность. Пример вычисления условной вероятности в классической схеме. Свойства условной вероятности.

Условной вероятностью Р(А|B) события А относительно события  В, если Р(В) > 0, называется вероятность  осуществления события А при  условии, что событие В уже  произошло. Условная вероятность определяется формулой Р(А|B) = (по определению) P(AB)/P(B). Рассмотрим опыт G, сводящийся к схеме  случаев, и предположим, что событиям А, В, АВ благоприятствуют соответственно m_A, m_B > 0, m_AB случаев из всех n возможных. Допустим, что событие В уже произошло. Это означает, что из всех возможных n случаев реально могло появиться только m_B случаев, причем из них только m_AB случаев благоприятствуют событию А. Тогда Р(А|B) = m_AB/m_B.

P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B). Свойства  условной вероятности:

- Р(А|W) = Р(А).

- Если события А и  В несовместны, то Р(А|B)=0.

- Если события А и  В независимы, то Р(А|B) = P(A). События  независимы тогда и только  тогда, когда условная вероятность  совпадает с безусловной.

- Условная вероятность  обладает всеми свойствами вероятности.

- Если В Ì А, то Р(А|B)=1.

Пример: Пусть опыт G состоит в подбрасывании монеты. Монету подбросили. В первый раз выпала решка. Какова вероятность того, что и во второй раз выпадет решка? Решение: Обозначим событие А (в первый раз выпала решка) и событие В (во второй раз выпала решка). Р(B|A)=P(AB)/P(A)=(1/4)/(1/2)=1/2. Обратим внимание, что Р(В|A)=P(B), что говорит о том, что события А и В независимы.

 

9. Полная группа гипотез. Формула полной вероятности. Пример.

События H₁, …, H_n в опыте G образуют полную группу несовместных событий, если они попарно несовместны (H_iH_j = Æ i ¹ j) и в результате опыта произойдет хотя бы одно из событий H_i, i = 1,n, т.е. H₁+…+H_n=W. События H₁, …, H_n  называются гипотезами, если они образуют полную группу несовместных событий и Р(H_i) > 0, i = 1,n. Для полной группы событий характерно P(H₁) + … + P(H_n) = 1. Пусть с опытом G связаны гипотезы Н₁, …, Н_n. Тогда вероятность появления произвольного события А в опыте G выражается формулой полной вероятности:

Формула полной вероятности  позволяет выразить вероятность  сложного события А через вероятности  составляющих его более простых  событий АH_i, i=1,n. Данная формула используется в опытах, не сводящихся к схеме случаев. Пример: В торговую фирму поступают телевизоры от трёх фирм изготовителей в соотношении 2:5:3. Телевизоры, поступающие от первой фирмы, требуют ремонта в течение гарантийного срока в 15% случаев, от второй и третьей – соответственно в 8% и 6% случаев. Найти вероятность того, что проданный телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока. Решение: Событие А заключается в том, что проданный телевизор потребовал гарантийного ремонта. Введем гипотезы: H₁ - телевизор изготовлен первой фирмой, Н₂ и Н₃. Вероятности этих гипотез 0,2, 0,5 и 0,3 соответственно. Условные вероятности тоже известны. P(A|H₁) = 0,15; P(A|H₂)=0,08; P(A|H₃)=0,06. По формуле полной вероятности P(A) = 0,2×0,15 + 0,5×0,08 + 0,3×0,06  = 0,088.

 

10. Формула умножения. Формула Байеса. Примеры.

Вероятность одновременного появления событий A1, …, An выражается формулой умножения вероятностей: P(A₁×A₂×…×A_n)=P(A₁)×P(A₂|A₁)×…×P(A_n|A₁×…×A_n-1), в которой вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что в рассматриваемом опыте произошли все предыдущие события. Пусть с опытом G связаны гипотезы H₁, …, H_n. Предположим, что при проведении опыта произошло событие А, вероятность которого была Р(А) > 0. Пусть до опыта G были известны лишь априорные вероятности гипотез Р(H_i), i=1,n, и соответствующие им условные вероятности события А. В этом случае условная вероятность P(H_i|A) гипотезы Hi при условии, что событие А произошло, вычисляется по формуле Байеса: