Статистическая обработка выборки

Отсюда, Ф(K_кр)=(1–2a)/a и осталось воспользоваться таблицей функции Лапласа для нахождения числа K_кр.

Если величина z, полученная при выборочном значении , попадает в область принятия гипотезы  (z < K_кр), то гипотеза H₀ принимается (делается вывод, что выборочные данные не противоречат гипотезе H₀). Если величина z попадает в критическую область, то гипотеза H₀ отвергается.

В данной задаче может  быть подсчитана мощность критерия:

.

Мощность критерия тем больше, чем больше разность a₁– a.

II. Если в задаче  поставить другое условие: H₀: Mx = a;  H₁: Mx = a₁ , a₁ < a,

то сохранив смысл всех рассуждений, здесь придется рассматривать левостороннюю  критическую область, как изображено на рисунке 2. Здесь, как и в предыдущем случае, a*=(a₁–a) /s, а величина K_кр определяется из формулы

a = P(–¥ < z < K_кр)=F( K_кр) – F(–¥) =  F( K_кр) + 1/2.

Используя формулу  –F( K_кр) = F( –K_кр), получаем:  F( –K_кр) = .

Отметим, что по смыслу задачи здесь K_кр – отрицательное число.

Значения z, вычисленные по выборочным данным, превышающие K_кр, согласуются с гипотезой H₀. Если величина z попадает в критическую область (z<K_кр), то гипотезу H₀ следует отвергнуть, считая предпочтительной гипотезу H₁.

III. Рассмотрим теперь  такую задачу: H₀: Mx = a; H₁: Mx ¹ a.

В данном случае большие  отклонения величины z от нуля в положительную или отрицательную сторону должны приводить к заключению о ложности гипотезы H₀, то есть здесь следует рассматривать двустороннюю критическую область, как изображено на рисунке 3. Критическое значение K_кр определяется с помощью соотношения P(-K_кр<z<K_кр) =1–a=F(K_кр)–F(–K_кр)=2F(K_кр). Из этого соотношения следует:

F(K_кр)=

 

Итак, проверим гипотезу о математическом ожидании при уровне значимости 0,01.

Итак, задана выборка, содержащая 150 значения случайной величины, о которой известно, что она распределена нормальное, её математическое ожидание Mξ = a неизвестно, но  известна дисперсия Dξ = σ²= 25,98.

Задача состоит в проверке с  уровнем значимости  гипотезы  H₀: a = 0  при двусторонней альтернативной гипотезе H₁: a ≠ 0.

. Тогда К_кр= –1,64. . Критическая критическая область (область отклонения нулевой гипотезы) — промежуток (– ∞; –1,64) и (1,64; ∞). Значение критерия z не попадает в критическую область. Следовательно, гипотеза о равенстве математического ожидания 3 принимается с уровнем значимости 0,01.

 

3.  Проверка гипотезы о дисперсии.

Проверим при уровне значимости 0,01 гипотезу о том, что дисперсия Dξ=26. Для этого применим критерий Фишера-Снедекора для нулевой гипотезы  H₀: Dξ=26 и конкурирующей Dξ>26. Вычислим наблюдаемое значение критерия :

.

 Критическую точку находим  в приложении для уровня значимости 0,01 и числам степеней свободы  k₁=5 и k₂=5: F_кр(0,01;5;5)= 10,96.

 Получили, что  . Следовательно, нулевая гипотеза на уровне значимости 0,01 принимается.

 

7.   Принятие статистического  решения.

Таким образом, представим на одном  чертеже и в одном масштабе гистограмму  и полигон частот – Рис.5.

Рис.5: Полигон и гистограмма частот группированной выборки.

 

Далее составим параллельную таблицу  теоретических и выборочных числовых характеристик – Таблицу.6.

Таблица 6: Теоретические и выборочные характеристики.

	Теоретические числовые характеристики	Выборочные числовые характеристики
	5,197	5,1
	5,214	5,11
	-0,49	-0,45
	-4,049	-2
	-0,07	-0,056
	-0,17	-0,134
Квантили	-6,85; -4,56; -2,9; -1,49; -0,17; 1,15; 2,56; 4,21; 6,5	-6,68;  -4,43; -2,81; -1,43;-0,134; 1,16; 2,55; 4,17; 6,41

 

Так как гипотезы о выбранной статистической модели не отвергаются, то изучаемая величина распределена нормально c математическим ожиданием, равным 0 и дисперсией, равной 26, при уровне значимости 0,01.