Теория вероятности

Содержание

 

 

 

 

 

Задача 1

 

Финансовый аналитик предполагает, что в период экономического роста рынок акций может расти с вероятностью 80%, в период спада эта вероятность роста оказывается не более 40%. По предположениям экспертов вероятность экономического спада равна р=(Ц3+Ц4+10)%=(3+2+10)%=15%. Какова вероятность роста рынка акций независимо от экономической ситуации?

 

Решение.

 

Воспользуемся формулой полной вероятности. Определим события:

А - «Рост рынка акций».

Событие А может произойти только вместе с одной из гипотез:

Н1 - «Экономический рост»,

Н2 - «Экономический спад».

По условию известны вероятности гипотез:

Р(Н1) = 0,85, Р(Н2) = 0,15 и условные вероятности события А: Р(А/Н1)= 0,8, Р(А/Н2)= 0,4.

По формуле полной вероятности:

Р(А) = Р(Н1)Р(А/Н1) + Р(Н2)Р(А/Н2) = 0,8* 0,85 + 0,4* 0,15 = 0,74.

 

Ответ: Вероятность роста рынка акций независимо от экономической ситуации равна 0,74.

 

 

 

 

 

 

Задача 2

 

В ходе аудиторской проверки строительной компании аудитор случайным образом отбирает Ц2+3=4+3=7 счетов. Известно, что при проверке бухгалтерских счетов количество дефектных могут составлять не более 5% от их общего количества на предприятии.

1) Составить  закон распределения числа счетов, в которых могут быть выявлены  ошибки в ходе проверки.

 

Решение

 

В качестве случайной величины в данной задаче выступает число дефектных счетов. Обозначим его через X. Перечислим все возможные значения случайной величины X: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Вероятность того, что каждый из отобранных счетов является дефектным, постоянна и равна 0,05 (р = 0,05). Вероятность противоположного события, т. е. того, что каждый из отобранных счетов является правильным, также постоянна и составляет 0,95 (q = 1 - p = 1 - 0,05 = 0,95).

Все 7 испытаний независимы, т. е. вероятность того, что каждый из отобранных счетов является дефектным, не зависит от того, является ли правильным или дефектным любой другой счет из числа случайно отобранных.

Очевидно, что случайная величина Х подчиняется биномиальному закону распределения вероятностей с параметрами n = 7 и р = 0,05.

Итак, по условию задачи:

n = 7; р = 0,05; q = 0,95.

Чтобы построить ряд распределения, необходимо вычислить вероятности того, что случайная величина примет каждое из своих возможных значений, и записать полученные результаты в таблицу.

Расчет искомых вероятностей осуществляется по формуле Бернулли:

 

Рk,n = Cnk * pk * qn-k,

где q = 1-p

 

Поставим в эту формулу данные задачи. Т.к. значения при Х = 5, Х = 6, Х = 7 достаточно малы, то примем их равными нулю.

 

Р(1) = (7!*0,051 * 0,956) / (1!*6!) = 0,2573

Р(2) = (7!*0,052 * 0,955) / (2!*5!) = 0,040623

Р(3) = (7!*0,053 * 0,954) / (3!*4!) = 0,005345

Р(4) = (7!*0,054 * 0,953) / (4!*3!) = 0,000188

Р(5) = (7!*0,055 * 0,952) / (5!*2!) = 0,00000592

Р(6) = (7!*0,056 * 0,951) / (6!*1!) = 0,000000104

Р(7) = (7!*0,057 * 0,950) / (7!*0!) = 0,000000001

 

Получим ряд распределения числа дефектных счетов выборке:

 

Х	0	1	2	3	4	5	6	7
Р	0,6983	0,2573	0,0406	0,0036	0,0002	0	0	0

 

 

 

 

Так как все возможные значения случайной величины образуют полную группу событий, то сумма их вероятностей должна быть равна 1.

Проверка: 0,6983+0,2573+0,0406+0,0036+0,0002= 1.

 

 

Задача 3

 

Используя условия задачи №2

а) Найти числовые характеристики полученного закона распределения числа счетов

б) определить вероятность того, что в ходе проверки обнаружиться не более 2 х счетов, содержащих ошибки.

 

Решение:

 

Найдем основные числовые характеристики распределения данной случайной величины:

- математическое  ожидание, 

- дисперсию,

- среднее  квадратическое (стандартное) отклонение.

 

Математическое ожидание дискретной случайной величины X находим по формуле

,

где - возможные значения X, а - соответствующие вероятности.

Дисперсию случайной величины X находим по формуле

.

Так как

,

то

.

Среднее квадратическое отклонение случайной величины X равно

.

Определим вероятность того, что среди 7 случайно отобранных счетов будет не больше 2 дефектных. «Не больше 2» - «2 или меньше», т. е. «или 0, или 1, или 2».

Используем теорему сложения вероятностей несовместных событий:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В)

 

Р = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,6983+0,2573+0,0406 = 0,9962

Вероятность того, что среди 7 случайных счетов обнаружиться не менее 2 счетов содержащих ошибки равна 0,9962

 

Задача 4

 

 

По результатам выборочного обследования торговых киосков города получены следующие данные о дневной выручке частного бизнеса:

 

Выручка (тыс. у.е.)	До 1.0	1,0-1,2	1,2-1,4	1,4-1,6	1,6-1,8	1,8-2,0	2,0 и выше
К-во киосков	10+4=14	12+4=16	22+3 = 25	26+2 = 28	18+4=22	7+4 = 11	5+4 = 9

 

 

Найти среднюю дневную выручку от продажи товаров, его дисперсию, среднеквадратическое отклонение и коэффициент вариации.

 

Решение:

 

Данные о выручке представлены в виде интервального вариационного ряда — значения признака заданы в виде интервалов. При этом первый и последний интервалы — открытые: оба интервала не имеют одной из границ. Условно закроем границы открытых интервалов.

Интервальная разность 2-го интервала

1,2-1,0 = 0,2.

Следовательно, нижняя граница 1-го интервала

1-0,2 = 0,8.

Интервальная разность предпоследнего интервала

2,0-1,8 = 0,2

Следовательно, верхняя граница последнего интервала

2+0,2 = 2,2.

В результате, получим следующий вариационный ряд

 

Х	m	Середины интервала Х
0,8-1,0	14	1,8
1,0-1,2	16	2,2
1,2-1,4	25	2,6
1,4-1,6	28	3
1,6-1,8	22	3,4
1,8-2,0	11	3,8
2,0-2,2	9	4,2

 

 

Рассчитаем среднюю дневную выручку

 

`х = (1,8*14+2,2*16+2,6*25+3*28+3,4*22+3,8*11+4,2*9) / (14+16+25+28+22+11+9) = 363,8/125 = 2,9104 тыс. у.е.

Дисперсию рассчитаем по взвешенной формуле:

 

Д = (14*(1,8-2,91)2 + 16*(2,2-2,91)2 + 25*(2,6-2,91)2 + 28*(3-2,91)2 + 22*(3,4-2,91)2 +11*(3,8-2,91)2 + 9*(4,2-2,91)2) / (14+16+25+28+22+11+9) = 56,9165/125 = 0,4553 (тыс. у.е.)

 

Найдем среднее квадратическое отклонение

s (Х) = = 0,6748 (тыс. у.е.)

Найдем коэффициент вариации:

 

V(X) = s(X)/x *100% = 0,6748/2,9104 *100% = 23,1858% ≈ 23,19%

 

Ответ: средняя дневная выручка от продажи товаров равна 2,9104 тыс. у.е., ее дисперсия - 0,4553 тыс. у.е., среднеквадратическое отклонение равно 0,6748 тыс. у.е., а коэффициент вариации 23,19%.