Взаимосвязанные признаки и графики связи

 

 

Исследование  структуры совокупности

По исходным данным:

Постройте статистический ряд  распределения организаций (предприятий) по признаку – цена за 1 м², образовав пять групп с равными интервалами. 
Рассчитайте характеристики интервального ряда распределения: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, моду и медиану.

Сделаем вывод по результатам выполнения задания.

Решение

Для построения интервального  вариационного ряда, характеризующего распределение банков по объему кредитных  вложений, необходимо вычислить величину и границы интервалов ряда.

При построении ряда с равными  интервалами величина интервала h определяется по формуле

,                                                   (1)

где – наибольшее и наименьшее значения признака в исследуемой совокупности, k- число групп интервального ряда.

Число групп k задается в условии задания или рассчитывается по формуле Г.Стерджесса

k=1+3,322 lg n,                                                              (2)

где  n - число единиц совокупности.

 

 

Для получения статистического  ряда распределения организаций  по признаку - цена за 1 м² произведем сортировку строк заданной таблицы по возрастанию цены за 1 м² . Максимальный и минимальный элементы выборки соответственно равны 35,2 и 20,6 тыс. руб. Поэтому величина интервала равна: (тыс.руб.)

Таблица 2

Границы интервалов

№ группы	нижняя граница, тыс. руб/м3	верхняя граница, тыс. руб/м3
1	20,6	+2,9 = 23,5
2	23,52	+2,9 = 26,4
3	26,44	+2,9 = 29,3
4	29,36	+2,9 = 32,2
5	32,28	+2,9 = 35,2

 

 

Таблица 3

Вспомогательная таблица

Номер группы	Интервал по цены на первичном  рынке жилья, тыс. руб/м3		№ организации  п/п	Цена на первичном рынке  жилья, тыс. руб/м3, х	Прибыль от продаж, млн. руб, у
1	20,6	23,5	15	20,6	0,11
			30	21,3	0,15
			5	23	0,19
Итого			3	64,9	0,45
2	23,5	26,4	27	23,6	0,24
			9	24,2	0,27
			20	24,3	0,28
			23	24,6	0,33
			19	24,8	0,25
			11	24,9	0,43
Итого			6	146,4	1,8
3	26,4	29,3	21	26,5	0,36
			13	26,7	0,32
			7	26,8	0,40
			12	26,8	0,34
			3	26,9	0,42
			29	27,3	0,41
			6	27,6	0,43
			8	27,8	0,42
			26	28,1	0,47
Итого			9	244,5	3,57
4	29,3	32,2	14	29,3	0,50
			17	29,4	0,44
			10	29,7	0,46
			16	29,8	0,55
			18	30,9	0,61
			25	31,1	0,56
			24	32	0,68
			22	32,3	0,70
Итого			8	244,5	4,5
5	32,2	35,2	4	33,3	0,70
			2	33,5	0,71
			1	34,4	0,81
			28	35,2	0,86
Итого			4	136,4	3,08
Всего			30	836,7	13400

На основе групповых итоговых строк «Всего» табл. 3 формируется  итоговая табл. 4, представляющая интервальный ряд распределения цены на первичном рынке жилья.

Таблица 4

Распределение цены на первичном рынке жилья

Номер группы	Группы цен на первичном рынке жилья, тыс. руб./ м2 х	Число организаций, f
1	20,6 – 23,5	3
2	23,5 – 26,4	6
3	26,4 – 29,3	9
4	29,3 – 32,2	8
5	32,2 – 35,2	4
	Итого	30

Помимо частот групп в  абсолютном выражении в анализе  интервальных рядов используются ещё  три характеристики ряда, приведенные  в графах 4 - 6 табл.5 Это частоты групп в относительном выражении, накопленные (кумулятивные) частоты S_j, получаемые путем последовательного суммирования частот всех предшествующих (j-1) интервалов, и накопленные частости, рассчитываемые по формуле:

             (2)

Таблица 5

Структура организаций по цене на первичном рынке жилья

№ п/п	Группы цен на первичном рынке жилья, тыс. руб./ м2	число п/п, f j		Накопленная частота, Sj	Накопленная частость, %
		в абсолютном выражении	в % к итогу
1	20,6 – 23,5	3	10	3	10
2	23,5 – 26,4	6	20	9	30
3	26,4 – 29,3	9	30	18	60
4	29,3 – 32,2	8	20	26	80
5	32,2 – 35,2	4	10	30	90
ИТОГО:		30	100

Вывод. Анализ интервального ряда распределения изучаемой совокупности цен показывает, что распределение цены на первичном рынке жилья не является равномерным: преобладают цены на первичном рынке жилья от 26,4 тыс. руб./ м² до 29,3 тыс. руб./ м² (это 9 организаций, доля которых составляет 30%); 20% цен на первичное рынке жилья имеют менее 26,4 тыс. руб./ м², а 10% – менее 29,3 тыс. руб./ м².

Необходимо нахождение моды и медианы полученного интервального ряда распределения графическим методом и  путем расчетов

Мода и медиана являются структурными средними величинами, характеризующими (наряду со средней арифметической) центр распределения единиц совокупности по изучаемому признаку.

Мода  Мо для дискретного ряда – это значение признака, наиболее часто встречающееся у единиц исследуемой совокупности. В интервальном вариационном ряду модой приближенно считается центральное значение модального интервала (имеющего наибольшую частоту). Более точно моду можно определить графическим методом по гистограмме ряда (рис.1).

Рис.1. Определение моды графическим  методом.

Конкретное значение моды для интервального ряда рассчитывается по формуле:

     (3)

где   х_Мo – нижняя граница модального интервала,

h –величина модального интервала,

f_Mo – частота модального интервала,

f_Mo-1 – частота интервала, предшествующего модальному,

f_Mo+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Согласно табл. 3 модальным интервалом построенного ряда является интервал 26,4 – 29,3 тыс. руб./ м², так как его частота максимальна (f₃ = 9).

Расчет моды по формуле:

 тыс. руб./ м²

Вывод. Для рассматриваемой совокупности цен наиболее распространенная цена на первичном рынке жилья характеризуется средней величиной 0,75 тыс. руб./ м².

Медиана Ме – это значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда. По обе стороны от медианы находится одинаковое количество единиц совокупности.

Медиану можно определить графическим методом по кумулятивной кривой (рис. 2). Кумулята строится по накопленным частотам (табл. 5)

 

Рис.2. Определение медианы  графическим методом

Конкретное значение медианы  для интервального ряда рассчитывается по формуле (3):

,              (4)

где    х_Ме– нижняя граница медианного интервала,

h – величина медианного интервала,

– сумма всех частот,

f_Ме – частота медианного интервала,

S_Mе-1 – кумулятивная (накопленная) частота интервала, предшествующего медианному.

Для расчета медианы необходимо, прежде всего, определить медианный  интервал, для чего используются накопленные  частоты (или частости) из табл. 5 (графа 5). Так как медиана делит численность ряда пополам, она будет располагаться в том интервале, где накопленная частота впервые равна полусумме всех частот или превышает ее  (т.е. все предшествующие накопленные частоты меньше этой величины).

В демонстрационном примере  медианным интервалом является интервал 29,3 – 32,2 тыс. руб./ м², так как именно в этом интервале накопленная частота S_j = 26 впервые превышает величину, равную половине численности единиц совокупности ( = ).

Расчет значения медианы  по формуле (4):

 тыс. руб./ м²

 

 

Вывод. В рассматриваемой совокупности цен половина цен имеет в среднем цену на первичном рынке жилья не более 31,5 тыс. руб./ м², а другая половина – не менее 31,5 тыс. руб./ м².

 

3. Для расчета характеристик ряда распределения , σ, σ², V_σ на основе табл. 5 строится вспомогательная табл. 6 ( – середина j-го интервала).

Таблица 6

Расчетная таблица для  нахождения характеристик ряда распределения

Группы цен  на первичном рынке жилья, тыс. руб./ м2 .	Середина интервала,	Число организаций, fj
1	2	3	4	5	6	7
20,6 – 23,5	22	3	66	-10,7	114,5	343,5
23,5 – 26,4	24,9	6	149,4	-7,8	60,8	364,8
26,4 – 29,3	27,8	9	250,2	-4,9	24	216
29,3 – 32,2	30,7	8	245,6	-2	4	32
32,2 – 35,2	67,4	4	269,6	34,7	1204	4816
Итого		30	980,8			5772,3

Расчет средней арифметической взвешенной:

 тыс. руб./ м²      (5)

Расчет дисперсии:

                            (6)

Расчет среднего квадратического отклонения:

13,9 тыс. руб./ м²            

Расчет коэффициента вариации:

       (7)

Вывод. Анализ полученных значений показателей и σ говорит о том, что средняя цена на первичное рынке жилья составляет 32,7 тыс. руб./ м², отклонение от среднего объема в ту или иную сторону составляет в среднем 13,9 тыс. руб./ м² (или 42,5%), наиболее характерные значения цены на первичном рынке жилья находятся в пределах от 20 тыс. руб./ м² до 65тыс. руб./ м². (диапазон ).

Значение V_σ = 42,5% превышает 33%, следовательно, вариация цен на первичном рынке жилья в исследуемой совокупности организаций значительна и совокупность по данному признаку качественно неоднородна. Расхождение между значениями , Мо и Ме значительно ( =32,7 тыс. руб./ м², Мо=0,75 тыс. руб./ м², Ме=31,5 тыс. руб./ м²), что не подтверждает вывод об однородности совокупности организаций. Таким образом, найденное среднее значение цены на первичном рынке жилья (32,7 тыс. руб./ м²) не является типичной, надежной характеристикой исследуемой совокупности организаций.

4. Вычисление средней арифметической по исходным данным

Для расчета применяется  формула средней арифметической простой:

 тыс. руб./ м² ,    (8)

Причина расхождения средних  величин, рассчитанных по формулам (8) и (5), заключается в том, что по формуле (8) средняя определяется по фактическим  значениям  исследуемого  признака  для  всех  30-ти организаций, а по формуле (5) средняя вычисляется для интервального ряда, когда в качестве значений признака берутся середины интервалов и, следовательно, значение средней будет менее точным (за исключением случая равномерного распределения значений признака внутри каждой группы).

 

 

Задание 2

По исходным данным табл. 1 с использованием результатов выполнения Задания 1 необходимо выполнить следующее:

1. Установить наличие и характер корреляционной связи между признаками цене на первичном рынке жилья и среднемесячной прибылью, используя метод аналитической группировки.
2. Оценить тесноту и силу корреляционной связи, используя коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

    3.   Оценить статистическую значимость показателя силы связи.

Сделать выводы по результатам выполнения Задания 2.