Контрольная работа по "Схемотехнике"

Задача № 1.

 

Абсолютно жесткий  брус опирается на шарнирно неподвижную опору и прикреплён к двум стержням при помощи шарниров.

Требуется:

- найти усилия и напряжения  в стержнях, выразив их через  ;

- найти допускаемую нагрузку , приравняв большое из напряжении в двух стержнях допускаемому напряжению 1600 кг/см²;

- найти предельную грузоподъёмность  системы  и допускаемую нагрузку , если предел текучести 2400 кг/см² и запас прочности 1,5;

- сравнить величины  , полученные по допускаемым напряжениям и допускаемым нагрузкам.

 

Решение.

 

Для определения неизвестных усилий в стержнях и составляем уравнение статики (уравнение моментов относительно неподвижного шарнира – точки «0»):

,

Рассмотрим также деформации стержней. Предполагаем, что под действием нагрузки брус повернётся в сторону действия нагрузки (по часовой стрелке) и займет новое положение, показанное на рисунке штриховой линией. Вследствие малости деформаций перемещения точек «А» и «В» можно считать строго вертикальными. Таким образом треугольники «0ВВ'» и «0АА'» являются прямоугольными (углы «А» и «В» соответственно) и подобными т.к. имеют общий угол «0». Следовательно, из подобия треугольников можно найти соотношение сторон:

 или 

В свою очередь деформации стержней, по закону Гука, выражаем через усилия, возникающие в стержнях:

 и 

Подставляя выражения для деформаций стержней в уравнение подобия треугольников, получаем уравнение совместности деформаций:

 или 

Откуда выражаем одно из усилий:

Подставляем его в уравнение  равновесия:

 или 

Откуда находим:

Тогда

Подставляя численные значения длин участков, вычисляем:

	2 ∙ 1,9 ∙ (2,2 + 1,2 + 3,2)	= 1,781
	2,2 ∙ (2 ∙ 1,9 + 2,6)

 

 

	2,6 ∙ (2,2 + 1,2 + 3,2)	= 0,789
	(2,2 + 1,2) ∙ (2 ∙ 1,9 + 2,6)

 

 

Напряжения, возникающие в стержнях составят:

1,78125 / 2 = 0,8905

0,789

Приравнивая большее из напряжений, в соответствии с условием прочности при растяжении, допускаемому напряжению

0,8905 =

находим допускаемую нагрузку по напряжениям:

/ 0,891 = 12 ∙ 1600 / 0,8905 = 21561 кг

Для определения допускаемой нагрузки по грузоподъёмности определяем усилия, возникающие в стержнях при достижении ими предела текучести:

 и 

Подставляя полученные значения в уравнение равновесия, получаем:

 или 

Откуда допускаемую нагрузку по грузоподъёмности:

	3 ∙ 2,2 + 1,2	∙ 2400 ∙ 12 = 34036 кг
	2,2 + 1,2 +3,2

 

 

Таким образом допускаемая нагрузка по грузоподъёмности превышает допускаемую нагрузку по напряжениям в

34036 / 21561 = 1,579 раза

 

 

Задача № 2.

 

Стальной вал защемлен с двух концов и нагружен парами сил  , , . Вал имеет круглое сечение.

1,2 м;  2,2 м; 4,2 м; 120 кг∙м; 120 кг∙м; 110 кг∙м; 400 кг/см²

Требуется:

- раскрыть статическую неопределимость;

- подобрать размеры поперечного  сечения;

- построить эпюру углов  закручивания.

 

Решение.

 

Заданная систем является статически неопределимой, так как для в ней возникают два реактивных момента и , а по равнениям статики для данной системы можно составить только одно уравнение равновесия − уравнение моментов относительно оси z:

,

За положительное направление  отсчёта принят поворот против часовой  стрелки при взгляде вал со стороны сечения «4».

Для определения  реактивных моментов в заделках «0»  и «4» отбрасываем правую заделку «4» и заменяем её действие неизвестным моментом и составляем уравнение деформаций.

На основании  принципа независимости действия сил  уравнение перемещений имеет  вид:

где, , , − углы поворота сечения «4» от действия внешних моментов , , ,

а − угол поворота этого же сечения от действия неизвестного момента .

Углы поворота сечения «4» от действия моментов имеют следующие  значения:

, , ,

где, − жёсткость вала при кручении;

здесь 80∙10⁴ кг/см² − модуль сдвига,

 − полярный момент сечения.

Так как по условию вал имеет  одинаковый диаметры на всех участках то,

И уравнение деформаций записывается в виде:

Откуда находим неизвестный  момент:

=	120 ∙ 1,2 – 120 ∙ (1,2 + 4,2) + 110 ∙  (1,2 + 4,2 + 2,2)	=33,877 кг∙м
	1,2 + 4,2 + 2 ∙ 2,2

 

 

Далее определяем крутящие моменты, возникающие  в поперечных сечениях вала:

33,877 кг∙м

34,877 − 110 = -76,123 кг∙м

34,877 − 110 + 120 = 43,877 кг∙м

34,877 − 110 + 120 – 120 = -76,132 кг∙м

Пол полученным значениям строим эпюру  крутящих моментов

Максимальный момент возникает  на участках «01» и «23» и имеет  значение

76,132 кг∙м

Требуемый диаметр вала определяем из условия прочности при кручении:

где, − полярный момент сопротивления при кручении, для круглого сечения:

Откуда получаем:

	16 ∙ 76,132 ∙ 100	= 4,593 см
	π ∙ 400

 

 

Принимаем 4,6 см, тогда получаем жёсткость вала:

80∙10⁴ ∙ π ∙ 4,6 ⁴ / 32 = 3516∙10⁴ кг∙см²

Вычисляем углы закручивания на каждом участке вала:

-76,132 ∙ 100 ∙ 1,2 ∙ 100 / 3516∙10⁴ = -0,026 рад = -1,488 °

43,877 ∙ 100 ∙ 4,2 ∙ 100 / 3516∙10⁴ = 0,052 рад = 3,003 °

-76,132 ∙ 100 ∙ 2,2 ∙ 100 / 3516∙10⁴ = -0,048 рад = -2,729 °

33,877 ∙ 100 ∙ 2,2 ∙ 100 / 3516∙10⁴ = 0,021 рад = 1,215 °

Тогда углы закручивания сечений составят:

0 °;  -1,488 °; -1,488 + 3,003 = 1,514 °;

1,514 – 2,729 = -1,215 °; -1,215 + 1,215 = 0 °

По полученным значениям строим эпюру углов закручивания.

 

 

Задача № 3.

 

Для заданного поперечного сечения, состоящего из двух профилей:

швеллер № 16 и равнобокий уголок 80х80х10

Требуется:

- определить положение центра тяжести;

- найти величины осевых и  центробежного моментов инерции  относительно центральных осей;

- определить положение главных  центральных осей ( и );

- найти величины моментов инерции относительно главных центральных осей;

- вычертить сечение в масштабе 1:2 и в числах и все оси;

- указать на нем все размеры

- выполнить проверку.

 

Решение.

 

Из таблицы сортамента по ГОСТ 8240-97 находим для швеллера №16у (при вертикальном расположении):

высота  160 мм = 16 см; ширина 64 мм = 6,4 см; площадь 18,122 см ²;

расстояние от полки до центра тяжести  1,827 см;

моменты инерции относительно собственных  центральных осей: 747,697 см⁴, 64,679 см⁴

 

Из таблицы сортамента по ГОСТ 8509-93 находим для уголка равнобокого 80х80х10 (при направлении полок вверх и вправо и осях проведённых из центра тяжести параллельно полкам):

высота и  ширина 80 мм = 8 см; площадь 15,135 см ²;

расстояние от полок до центра тяжести  2,348 см;

моменты инерции относительно центральных  осей проведённых: 88,581 см⁴

центробежный момент инерции  -51,73 см⁴

 

1. Найдем положение центра тяжести сечения.

Для заданного положения профилей в сечении проводим вспомогательные оси , так чтобы,

- ось  совпадала с верхней полкой уголка − её направляем вправо,

- а ось  совпадала с боковой полкой уголка (швеллера) − её направляем вверх

 

Определяем координаты центров  тяжести профилей в принятой системе координат:

16 / 2 = 8 см; - 6,4 – 1,827 = - 4,573 см; - 2,348 см

Вычисляем координаты центра тяжести составного сечения относительно осей и :

 см;

 см

Строим точку « » с координатами см и см.

Центр тяжести сечения « » должен лежать на прямой соединяющей центры тяжести фигур « » − при проверке на на рисунке убеждаемся в выполнении условия.

Через центр тяжести « » проводим центральные оси и параллельные центральным осям швеллера и уголка. Находим расстояния между центральными осями , и собственными осями профилей_.

 см; см

 см; см

2. Вычислим осевые и центробежный моменты инерции всего сечения относительно центральных осей и .

Моменты инерции относительно принятых собственных осей координат имеют  значения:

64,679 см⁴; 747,697 см⁴, 88,581 см⁴

Для сечения получаем:

 см⁴

 см⁴

центробежный момент инерции всего сечения определяем по формуле:

 см⁴

3. Находим угол наклона главных центральных осей и относительно центральных осей и :

; ;

Поскольку угол отрицательный, главная центральная ось откладывается относительно оси по часовой стрелке, а поскольку , ось является осью, относительно которой момент инерции будет минимальным.

4. Вычисляем главные центральные моменты инерции:

 см⁴

 см⁴; см⁴

4. Проверка. Должны удовлетворяться условия:

- Главные моменты инерции должны  быть экстремальны:

, получаем: 1756,754 > 1719,369 > 194,089 > 156,731

- Сумма моментов инерции относительно  любой пары взаимно перпендикулярных  центральных осей должна быть постоянна:

,

194,089 + 1719,369 = 1756,754 + 156,731

1913,485 = 1913,485.

- Центробежный момент инерции  площади сечения относительно  главных центральных осей должен  равняться нулю.