Лекции по "Схемотехнике"

Приведем пример:

 

Интенсивность входящего потока приравняем к интенсивности  исходящего потока и получим систему уравнений равновесия:

=

=

=

 

 

 

 

 

 

 

7. Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний.

 

Определение вероятности  состояний. В момент времени t система находиться в одном из состояний S_i с вероятностью . Тогда - вероятность того, что в момент t+∆t система будет в состоянии S₂. С условием, что система за время ∆t не вышла из S₂ и, что она была в состоянии S₁ или S₅, а за ∆t перешла в S₂. Вероятность первого варианта:

, где  - интенсивность суммарного потока событий, при котором выводится система из состояния s₂ в s₁, s₃, s₄.

Вероятность перехода в s₂ из s₁ ∆t. .

Вероятность перехода в s₂ из s₅ ∆t. .

Суммируем полученные вероятности: .

Преобразуем формулу  и ∆t→0: .

Получим систему  дифференциальных уравнений для  каждого состояния. Для определения  вероятностей необходимо задать начальные  условия.

Уравнения Колмогорова:

  ,      .

- для несвязных между собой состояний.

 

 

 

8. Предельные (финальные) вероятности  состояний, модель размножения  и гибели.

Если число  состояний системы конечно и  из каждого состояния можно перейти  в любое другое за конечное число  шагов, то существуют предельные (финальные) вероятности состояний: ,        .     Сумма вероятностей всех возможных состояний равна 1.

Чтобы найти  предельные вероятности нужно левые  части в уравнениях Колмогорова  прировнять к нулю и решить систему:

,     .  (т.к. уравнения однородные)    

модель размножения  и гибели – это Марковская модель с дискретным числом состояний и  непрерывным временем. Её граф имеет  вид:

Определения вероятностей состояний:

;       

.    

 

 

 

 

 

 

 

 

9. Статистические модели. Регрессионный анализ. Особенности регрессионных моделей.

Статистические  методы – это модели, используемые для нахождения  зависимостей между  характеристиками и параметрами  объекта при помощи математических операций. Признаки объекта - это  параметры и характеристики . Получаем: , , где , – значения признаков при –м наблюдении, .

Математическая  статистика предлагает обширный набор  моделей и методов, присущих исследуемым объектам. Наиболее широкое применение получил регрессионный анализ.

Регрессионный анализ – это установление статистических закономерностей. Состоит в построении функций , связывающих характеристики  с параметрами. При статистической независимости данных значения признаков наблюдений статистической выборки не должны зависеть друг от друга.

Зависимость в виде линейного полинома:  , где - коэффициенты регрессии. Среднее значение y зависит только от x_j .

Особенности модели:

• для прогноза значений применяются только аргументы , принадлежащих области определения переменных;
• уравнения регрессии принципиально необратимы;
• фиксируют только количественную взаимосвязь величин.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. Имитационные модели. Агрегатный подход.

Методы  имитационного моделирования основаны на представлении порядка функционирования системы в виде алгоритма, который называется имитационной моделью. Программа, реализующая имитационную модель, содержит процедуры, регистрирующие состояния имитационной модели и обрабатывающие зарегистрированные данные для оценки требуемых характеристик процессов и моделируемой системы.

Исследование  ВС имитационными методами включает несколько этапов.

1. Определение принципов построения модели.

2. Разработка модели.

3. Моделирование на ЭВМ.

-: большие затраты времени и частный характер получаемых результатов

Агрегатный  подход. Для моделирования используется набор агрегатов – модулей модели. Агрегатами могут быть процессоры, ОЗУ, каналы ввода–вывода,и др. Агрегат -описание функции некоторого объекта. В записи функций агрегатов используются параметры, характеризующие конкретный объект. Функция агрегата , представляется в алгоритмической форме – в виде процедуры , где параметры – определяют состояние входов агрегата, а – режим его функционирования, – состояние выходов агрегата. В модели агрегат выглядит как модуль (рис.а), настраиваемый на заданный режим функционирования множеством параметров и преобразующий входные воздействия в выходные состояния в соответствии с функцией агрегата и значениями параметров . Множество агрегатов разного типа составляет базис имитационных моделей заданного класса систем.

 

(Внимание!!! След. абзац не отформатирован, пишите  если считаете это необходимым, это объяснение ко 2-му рис.) Имитационная модель собирается путем соединения выходов агрегатов с входами других агрегатов. Агрегаты обозначены , где – тип. Агрегаты и – генераторы, формирующие воздействия в соответствии с параметрами и . Состав агрегатов, структура связей между ними и наборы параметров агрегатов определяют модель. Процесс моделирования состоит в реализации процедур в необходимом порядке. При этом значения, формируемые на выходах агрегатов, переносятся на входы, связанных с ними агрегатов, в результате чего вычисляются значения и . Путем обработки данных, наблюдаемых в характерных точках модели (на выходах модулей), получают оценки качества функционирования любого из агрегатов и системы в целом.

Имитационные  модели объединяют соответствующие модулей в структуру, отображающую исследуемую систему, и имитации функционирования элементов в их взаимодействии.

 

 

 

11. Этапы исследования ВС имитационными методами. Достоинства и недостатки имитационных методов.

Этапы исследования ВС имитационными методами.

1. Определение принципов построения модели. Формирование обобщенной модели. Её характеристики, параметры, определение точности результатов, определение математической модели и т.д.

2. Разработка  модели. Создание программы моделирования для ЭВМ. Проводится проверка на работоспособность модели.

3. Моделирование  на ЭВМ. Получение и обработка полученных данных, выбор оптимальных параметров, удовлетворяющих заданным ограничениям.

Универсальность метода:

1. Исследование  систем высокой степени сложности. 

2. С помощью алгоритмов можно воспроизводить любые, взаимосвязи между элементами системы и процессы функционирования.

3. Эксперименты  на модели дают возможность  получить дополнительные данные  о системе, например, оценка характеристик  функционирования как системы  в целом, так и ее составляющих. Как следствие: можно добиться высокой точности результатов моделирования.

Недостатки:

1. Большие затраты времени на моделирование и частный характер получаемых результатов. Время выполнения прогона модели равно минутам и часам процессорного времени.
2. Оцениваются характеристики системы только в одной точке, соответствующей значениям параметров, введенных в модель перед началом моделирования.

 

 

 

 

 

 

 

12. Метод статистических испытаний.

Метод основан  на использовании связи между  вероятностными характеристиками случайных процессов и величинами, являющимися решениями задач математического анализа.

Здесь вместо решения аналитической задачи можно моделировать случайный процесс и использовать статистические оценки  для приближенного решения данной аналит-ой задачи.

Например: вычисление интеграла:

, при  и . найти площадь области , ограниченной кривой осью и ординатами .

Пусть в квадрат  случайно вбрасывается точка, координаты которой независимо и равномерно распределены в интервале . Вероятность попадания точки в область под кривой этого события численно равна площади . Для первой точки генерируем пару величин и проверяем условие: ,(*) если это условие выполняется, то выбранная случайная точка с координатами попала в область под кривой. Далее берется еще пара случайных величин ,  и для всех этих пар проверяется условие (*). Затем число пар , для которых выполнилось условие (*), делится на число всех взятых пар . Если число достаточно велико, то в силу закона больших чисел получаем величину близкую к вероятности попадания точки в область . Величина является, следовательно, приближенным значением искомого интеграла.

 

 

13. Датчики равномерно распределенных случайных чисел. Моделирование случайных событий и дискретных величин.

Для получения  последовательности равномерно распределенных случайных чисел используется мультипликативный  способ. Последовательность случайных чисел получаются из рекуррентного соотношения при соответствующем выборе констант и задании некоторого начального значения , где - константы;  M - большое положительное целое число.

Период повторения последовательности равен M.

Для моделирования  случайного события  , наступающего с вероятностью , берется значение случайного числа, равномерно распределенного на интервале , и сравнивается с . Если , то считается, что произошло событие .

Предположим, что  дискретная случайная величина может принимать значения с вероятностями . При этом ;       .

Берется значение случайного числа на интервале , и определяется такое на , при котором удовлетворяется неравенство

.

Величина  принимает значение .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14. Моделирование случайных непрерывных величин.

Предположим, что  случайная величина задается эмпирической плотностью распределения - гистограммой, изображенной на рис. а. Из гистограммы определяется эмпирическая функция распределения - дискретная кумулятивная функция (рис. б) для середин интервалов группирования случайной величины в пределах .

Для определения  одного конкретного значения случайной  величины берется значение равномерно распределенного на интервале . Затем находится такое , при котором .

Тогда искомое  случайное число равно  (рис.б). Это же правило применимо и при задании случайной непрерывной величины интегральной функцией распределения , как показано на рис.в. Это является следствием теоремы: если случайная величина имеет плотность распределения , то ее распределение ,является равномерным на интервале .

Для некоторых  законов распределения  получены простые аналитические зависимости  . Так, для получения конкретного значения случайного числа с экспоненциальным законом распределения подставим в предыдущую формулу и плотность распределения: .

Проинтегрируем  и получим: .

Если случайная  величина имеет равномерный закон распределения в интервале . Тогда соотношение для можно заменить на следующее .

Моделирование случайных процессов сводится на практике к определению последовательностей случайных величин.