Расчет переходных процессов классический методом

Расчет переходных процессов классический методом

Рассчитываем цепь до замыкания  ключа и определяем ток через  индуктивность i₁(0_)  и напряжение на емкости u_C (0_). Так как E = const, то

 

  (1.1)

Для любого узла схемы по первому закону Кирхгофа имеем:

   (1.2)

 

Следовательно,                   

                                             

По второму закону Кирхгофа для первого контура имеем:

   (1.3)

Отсюда:  7,14

 

Напряжение на емкости  определяется из уравнения, составленного  оп второму закону Кирхгофа для второго  контура:

 

 

 

В

 

На основании законов коммутации определяем независимые начальные значения:

 

 

 

После коммутации (ключ замыкается) сопротивление  R₂ закорачивается (рис. ?). Определяем токи и напряжения для нового энергетического состояния цепи в установившемся режиме.

   (1.4)

 

 

Характеристические уравнение  получим, используя метод аналогии его с входным сопротивлением цепи на переменном токе. Для этого  разрываем любую ветвь и относительно разрыва записываем входное сопротивление. Разорвем ветвь с сопротивлением, тогда входное сопротивление будет записано для цепи (рис. ?) (источник закорачиваем, так как его внутреннее сопротивление равно нулю)

 

 

Из выражения (1.7) получаем, заменив jw = p и приравняв ,

уравнение:   

 

 

Для упрощения преобразований подставим значения только сопротивлений

 

После преобразований получаем характеристическое уравнение:

 

Подставим и получим квадратное уравнение:

 

Корни которого равны:

 

 

Ввиду того, что корни характеристического  уравнения действительные, отрицательные, неравные, то свободная составляющая тока (напряжения) будет иметь вид:

    (1.9)

а полный ток (напряжение):

 

Постоянные интегрирования А₁ и А₂ находятся из начальных значений, для этого в уравнении ? необходимо подставить момент времени t = 0. После подстановки получим систему:

 

    (1.10)

Следовательно, для определения постоянных интегрирования из 1.10)требуется найти значения токов (напряжений):

 

 

Для их нахождения составим систему  уравнений по законам Кирхгофа для  схемы (1.8):

(1.11)

Подставляем известные значения в  систему уравнений:

 

:

 

 

 

Для определения производных продифференцируем  систему и запишем ее при 

 

 

(1.12)

 

 

 

С учётом найденных производных

 - 4275,44 из системы (1.12) находим

 

 

 

Определяем из системы (1.10)  постоянные интегрирования для подставляя известные данные в систему:

    (1.13)

Тогда:

   

Откуда , 

Записываем закон изменения  тока

 

Теперь найдем постоянные интегрирования Для

    (1.14)

Тогда:

   

Откуда , 

Записываем закон изменения  тока

 

Теперь найдем постоянные интегрирования Для

    (1.15)

Тогда:

   

Откуда , 

Записываем закон изменения  тока

 

Теперь найдем постоянные интегрирования Для

    (1.16)

Тогда:

   

Откуда , 

Записываем закон изменения  тока

 

Теперь найдем постоянные интегрирования Для

    (1.17)

Тогда:

   

Откуда , 

Записываем закон изменения  тока

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Расчет переходных процессов операторным методом

По методу двух узлов определяем изображение напряжения

 

 

 

С целью упрощения преобразований приведем к общему знаменателю выражения, стоящие в числителе и знаменателе  дроби, тогда

 

 

После подстановки значений получим:

 

Приравниваем M(p) к нулю и определяем корни полученного уравнения.

 

 

 

 

 

 

Находим производную M(p) , предварительно преобразовав его в алгебраическую сумму

   (2.4)

Подставляя  в (2.4) каждый корень, получим:

 

 

 

 

 

 

Подставляя в N(p) значения корней получим:

 

 

 

Таким образом, подставляя корни  характеристического уравнения  в формулу разложения, оригинал тока определяем из выражения:

 

После подстановки полученных выше значений получим: