Расчёт электрических фильтров

LostDiplom.ru – Банк студенческих работ

LastDiplom.ru – написание курсовых, контрольных, дипломов на заказ

Т_н, мкс

t_и, мкс

Т_и, мкс

DА, дБ

А_пол, дБ

U_mн, В

10

40

115

3

34

11

Расчета полосового LC-фильтра

Согласно заданию  на курсовую работу на входе полосового фильтра действуют периодические  радиоимпульсы (рис. 1.1) с параметрами: период следования импульсов T_и = 115 мкс; длительность импульсов t_и = 40 мкс;  период несущей частоты T_н = 10 мкс; амплитуда колебаний несущей частоты U_m.н = 11 В. Фильтр должен обеспечить максимально допустимое ослабление в полосе пропускания А_max = DA = 3 дБ. Полное ослабление на границах полос непропускания А_пол = 34 дБ. Сопротивления нагрузок фильтра слева и справа R_г =R_н = 600 Ом. Характеристика фильтра аппроксимируется полиномом Чебышева.

Расчет  амплитудного спектра радиоимпульсов

Прежде чем  приступать непосредственно к расчету  фильтра, необходимо определить частотный состав сигнала, поступающего на вход фильтра, т. е. рассчитать и построить график амплитудного спектра периодических радиоимпульсов, взяв за основу рис. 1.2.

Вначале находится несущая  частота:

Затем рассчитывают частоты нулей огибающей спектра. Они зависят от длительности импульса:

Максимальное  значение огибающей в виде напряжения, соответствующее частоте f_н, находится по формуле

Зная максимальное значение и расположение нулей по оси частот, строим огибающую дискретного  спектра периодических радиоимпульсов в виде пунктирной кривой в масштабе по оси частот (рис. 1.2).

Внутри огибающей  находятся спектральные составляющие или гармоники спектра с частотами f_i, где i – номер гармоники. Они располагаются симметрично относительно несущей частоты, зависят от периода следования импульсов и находятся по формуле

Учитывая, что

рассчитываем  частоты гармоник, лежащих только справа от f_н:

Частоты гармоник, лежащих слева от f_н, будут:

Амплитуды напряжения i-ых гармоник находятся по формуле:

где K = t_и/T_н – количество периодов несущих колебаний косинусоидальной формы в импульсе.

K = t_и/T_н = 4.

Из анализа  рис. 1.2 видно, что главный «лепесток  спектра» занимает диапазон частот от 75 до 125 кГц. Крайние частоты диапазона совпадают с нулями огибающей, поэтому их амплитуды равны нулю, в частности U_m.4 = 0, U_m.(–4) = 0.

После расчета  амплитуд их значения отражаются в  виде дискретных составляющих внутри огибающей спектра (рис. 1.2).

Скважность  импульса q – отношение периода следования импульсов Т_и к длительности импульсов t_и, если равна целому числу, то в спектре отсутствуют гармоники с номерами кратными скважности.

Формирование  требований к полосовому фильтру

Учитывая, что  амплитуды спектральных составляющих на частотах 75 и 125 кГц равны нулю, примем за эффективную часть спектра, которую нужно выделить полосовым фильтром, диапазон частот от 82,6 кГц до 117,4 кГц. Следовательно, эти частоты будут определять частоты границы полосы пропускания фильтра f_п1 и f_п2 соответственно (рис. 2.1, б).

Граничную частоту  полосы непропускания f_з2 выбираем равной частоте первой гармоники спектра сигнала, находящейся после частоты (f_н + 1/t_и) = 125 кГц. Этой частотой является частота f₃ = 126,1 кГц. Следовательно, f_з2 = f₃ = 126,1 кГц.

Используя (2.1), найдем центральную частоту ПП:

Тогда граничная  частота f_з.1 полосы непропускания будет

Минимально-допустимое ослабление фильтра в ПН зависит  от разницы амплитуд гармоник f₂ и f₃ спектра сигнала на выходе фильтра, выраженной в децибелах и заданной величиной А_пол – полного ослабления:

                                                 (3.3)

где

                                          (3.4)

исходная разница  амплитуд третьей и второй гармоник в децибелах, найденная в ходе расчета спектра радиоимпульсов.

Согласно (3.2):

По (3.4) находим

а из (3.3)

Таким образом, требования к полосовому фильтру сводятся к следующему:

кГц

  кГц

кГц

кГц

дБ

дБ

R_г =R_н = 600 Ом

Аппроксимация передаточной функции должна быть выполнена  с помощью полинома Чебышева.

Формирование передаточной функции НЧ-прототипа

Используя (2.2), находим граничные частоты ПП и ПН НЧ-прототипа.

По формулам (2.3) получаем значения нормированных  частот

где w_н – нормирующая частота

Требования  к НЧ-прототипу могут быть проиллюстрированы рисунком 3.1.

Находим коэффициент  неравномерности ослабления фильтра  в ПП из рассмотрения (2.5) при A = DA и W = 1, когда y(1) = Т_m(1) = 1:

Порядок фильтра  Чебышева находится также из рассмотрения (2.5), но при A = A_minи W =W_з, т. е. ослабление рассматривается в полосе непропускания. А в ПН полином Чебышева Т_m(W) = chmarchW, поэтому                                       

                                  (3.5)

Для вычисления функции archх рекомендуется соотношение

После подстановки  в (3.5) исходных данных и вычислений получим m = 2,77. Расчетное значение m необходимо округлить в бóльшую сторону до целого числа. В данном примере принимает m = 3.

 
Пользуясь таблицей 3.1, находим  полюсы нормированной передаточной функции НЧ-прототипа:

                                                (3.6)

Обратить внимание на то, что полюсы расположены в  левой полуплоскости комплексной  переменной р.

Формируем нормированную  передаточную функцию НЧ-прототипа  в виде

где v(р) – полином Гурвица, который можно записать через полюсы:

Производя вычисления, получим               

         (3.7)

Обратить внимание на то, что в (3.7) числитель равен  свободному члену полинома знаменателя.

Реализация LC-прототипа

Для получения  схемы НЧ-прототипа воспользуемся  методом Дарлингтона, когда для двусторонне нагруженного фильтра (рис. 2.2) составляется выражение для входного сопротивления Z_вх.1(р) (2.8). Подставляя в (2.8) значение v(р) из (3.7) и значение h(p) из (2.10), после преобразований получим                    

                              (3.8)

Формула (3.8) описывает  входное сопротивление двухполюсника (согласно схеме на рис. 2.2 фильтр, нагруженный  на сопротивление R_н, это действительно двухполюсник). А если известно выражение для входного сопротивления, то можно построить схему двухполюсника, воспользовавшись, например, методом Кауэра [1¸10]. По этому методу формула для Z_вх(р) разлагается в непрерывную дробь путем деления полинома числителя на полином знаменателя. При этом степень числителя должна быть больше степени знаменателя. Исходя из последнего, (3.8) преобразуется к виду

                          (3.9)

после чего производится ряд последовательных делений. Вначале  числитель делим на знаменатель:

Затем первый делитель делим на первый остаток:

Второй делитель делим на второй остаток:

Третий делитель делим на третий остаток:

Получили четыре результата деления, которые отражают четыре нормированных по частоте  и по сопротивлению элемента схемы  в виде значений их проводимостей: pC, 1/pL, 1/R. Из анализа первого результата деления следует, что он отражает емкостную проводимость, поэтому все выражение (3.9) можно записать в виде цепной дроби:                             

                     (3.10)

По формуле (3.10) составляем схему (рис. 3.2), на которой С_1н = 3,349; L_2н = 0,712; С_3н = 3,349; R_г = R_н.= R_нор.

Денормируем элементы схемы НЧ-прототипа, используя соотношения:

                                                     (3.11)

где – нормирующая частота;

R_г – нормирующее сопротивление, равное внутреннему сопротивлению источника сигнала.

Используя соотношения (3.11) и значения w_н и R_г получаем реальные значения элементов схемы НЧ-прототипа:

R_г.н = R_н.= 600 Ом

Реализация  пассивного полосового фильтра

Из теории фильтров известно [1¸10], что между частотами  НЧ-прототипа и частотами w_пф полосового фильтра существует соотношение:

                                                               (3.12)

где w₀ находится по (2.1).

На основании (3.12) индуктивное сопротивление НЧ-прототипа  заменяется сопротивлением последовательного  контура с элементами

                                                          (3.13)

а емкостное  сопротивление НЧ-прототипа заменяется сопротивлением параллельного контура  с элементами                                   

                                                      (3.14)

Тогда, на основании  схемы ФНЧ, изображенной на рис. 3.2

может быть построена  схема полосового фильтра так, как это показано на рис. 3.3.

Элементы этой схемы рассчитываются по формулам (3.13) и (3.14).

На этом расчет полосового LC-фильтра заканчивается.

Расчет  активного полосового фильтра

Расчет  полюсов ARC-фильтра

Требования  к полосовому ARC-фильтру остаются теми же, что и к полосовому LC-фильтру. Поэтому на этапе аппроксимации синтеза ARC-фильтра можно воспользоваться результатами расчета LC-фильтра, полученными в разделах 3.1¸3.3. Причем, не самой нормированной передаточной функцией (3.7), а только ее полюсами (3.6), и, согласно (2.11), найти полюсы денормированной передаточной функции ПФ. Вначале находим:

Затем сами полюсы:

  (4.1.а)

(4.1.б) 

  (4.1.в)

Расчет показывает, что вместо трех полюсов нормированной  передаточной функции НЧ-прототипа  получается шесть полюсов передаточной функции ARC полосового фильтра, причем денормированной. Их значения удобно представить в виде таблицы 4.1.

Таблица 4.1

 Формирование передаточной функции

Учитывая, что ARC-фильтры  обычно строятся из каскадно-соединенных  звеньев второго порядка, целесообразно  передаточную функцию таких фильтров формировать из произведения сомножителей тоже второго порядка. Они имеют  вид [1¸6]:

Тогда вся передаточная функция рассчитываемого фильтра будет:

                         (4.2)

Коэффициенты  в числителе могут иметь одинаковую величину и рассчитываться по формуле

Коэффициенты  в знаменателе (4.2) находятся по формулам:

                                                    (4.3)

где  – значение полюсов (4.1). Например,

 Значения  всех рассчитанных коэффициентов  сведены в таблицу 4.2.

Таблица 4.2

Подставляя  найденные коэффициенты в 4.2 получим:

Расчет  элементов схемы фильтра

В качестве типовой  выбираем простейшую схему ПФ на одном  операционном усилителе (ОУ) (рис. 4.1). Если составить эквивалентную схему, заменив ОУ ИНУНом, то, используя любой из методов анализа цепей [1, 5], можно получить передаточную функцию, описывающую работу схемы на рис. 4.1, в виде

                              (4.5)

Из (4.5) видно, что  рассмотренная схема является схемой второго порядка. Следовательно, для реализации функции (4.4) потребуется три подобных схемы или три звена, соединенных каскадно. Расчет элементов этих схем R1; R2; С3; С4; R5 ведется путем сравнения идентичных коэффициентов в формулах (4.4) и (4.5).

Для первого  звена ПФ берутся коэффициенты из первого сомножителя (4.4):

                                                  (4.6)

В системе (4.6) пять неизвестных и только три уравнения. Система не решаема.

Если принять  С3 = С4 = 5 нФ, то решая (4.6), получим:

R1 = 1,45 кОм,  R5 = 6,2 кОм,  R2 = 17Ом.

Составляя аналогичную  систему для второго звена  при тех же С3 = С4 = 5 нФ, получим:

R1 = 1,45 кОм,  R5 = 10,6 кОм,  R2 = 7,2 Ом.

Аналогично  для третьего звена:

R1 = 1,45  кОм,  R5 = 14,5 кОм,  R2 = 10Ом.

Рассчитанные  сопротивления не соответствуют  стандартным номиналам резисторов. Поэтому для сопротивлений R1 и R5 в каждом звене берутся резисторы  с номиналом, ближайшим к рассчитанному  значению. Сопротивление R2 берется  составным, из последовательно соединенных постоянном и переменном резисторов, что позволит осуществлять общую настройку фильтра.

Проверка  результатов расчета

Проверка расчетов может быть выполнена в двух вариантах. Первый вариант – проверяется  только этап аппроксимации, когда определяется насколько точно созданная передаточная функция соответствует исходным требованиям к фильтру по ослаблению в ПП и в ПН. Второй вариант – проверяется точность уже всего расчета, когда по известной передаточной функции схемы фильтра (т. е. с учетом значений элементов схемы) рассчитывается и строится график H(f) или А(f) всей схемы фильтра и анализируется, насколько хорошо этот график соответствует исходным требованиям по ослаблению в ПП и в ПН. Конечно, второй вариант для разработчика предпочтительнее.

При синтезе  пассивного полосового фильтра получена передаточная функция только НЧ-прототипа (3.7) и в этом случае возможен только первый вариант проверки. При синтезе  активного ПФ известна передаточная функция одного звена уже самой  схемы фильтра (4.5). Очевидно, что Н(р) всего фильтра будет

                                        (5.1)

где значения каждого  сомножителя будут отличаться из-за разницы в значениях сопротивлений  звеньев фильтра. Итак, формула (5.1) позволяет  реализовать второй вариант проверки выполненных расчетов.

С этой целью  в (4.5) производится замена переменной вида р = jw, в результате чего получают выражение:

Находится модуль H(jw) в виде

                          (5.2)

Зная H(w), легко  найти зависимость ослабления от частоты вначале каждого звена, а затем всего фильтра:

                                           (5.3)

где

                                                 (5.4)

В качестве числового  примера выполним расчет первого  звена фильтра.

Из раздела 4.3 берем значения элементов:

С1 =  С2 = 5 нФ,  R1 = 1,45 кОм, R2 = 17 Ом, R5 = 6,2 кОм.

Подставляем эти  значения в (5.2)

На частоте  границы ПП f_п2 = 117,4 кГц находим Н₁(w_п2) =0,77. На частоте границы ПН f_з2 = 126,1 кГц находим Н₁(w_з2) = 0,44. Кроме того находим Н₁(w) на частотах f_п1 = 82,6 кГц и f_з1 = 76,2 кГц.

Аналогичные расчеты  выполняем для второго и третьего звеньев. Ослабления рассчитываются по формулам (5.3) и (5.4). Все результаты сводятся в таблицу 5.1.

Таблица 5.1

Список  литературы

1. Ерылов В.В., Корсаков С.Я. Основы теории цепей. - М.: Высшая школа. 1990г., 224с.
2. Прянишников В.А. Теоретические основы электротехники. - СП "Корона принт",2001г.