Моделирование нагрева металлического стержня

Отчет по семестровому заданию

 

Вариант 19

Моделирование нагрева металлического стержня.

 

Этапы моделирования

Выбор объекта моделирования: объектом моделирования является металлический стержень, подвергающийся нагреву.

 

Определение цели моделирования: построить график изменения температуры при нагреве металлического стержня.

 

Сбор  информации об объекте:

Процесс теплопроводности возникает, если тело неоднородно нагрето. Простейшая для изучения теплопроводности система — линейный однородный стержень (рис. 1). В простой модели боковая поверхность стержня считается теплоизолированной, т.е. через нее нет обмена теплом с окружающей средой.

Рис.1. Металлический стержень

 

Огрубление  модели: будем считать, что в начальный момент времени температура вдоль всего стержня является одинаковой.

 

Построение  математической модели:

Рассмотрим простой пример параболического  уравнения в частных производных  с одной пространственной независимой  переменной

(Формула  1)

распишем  это уравнение в виде конечных разностей

(Формула  2)

где x = i ∆x, i = 0, 1, 2,… ,n, t = j ∆ t, j = 0, 1, 2, …. . В уравнении мы использовали прямые разностные формулы для производных по t и центральные разностные схемы по x. Если мы обозначим

(Формула  3)

то уравнение  можно записать в следующем виде

(Формула  4)

Зная  Φ(x, t) явным образом мы можем вычислить Φ(x,t + ∆t). Так, значение первого ряда Φ(x,0) известны из начальных и граничных условий, поэтому значения второго ряда могут быть получены опираясь на них и т.д.

Необходимо отметить, что формула 4  может быть использована для значения r от 0 до 1. Если r = 0,5 то формула 4 примет вид

0 < r ≤ 0.5                                                         r = 0.5

 

Решим дифференциальное уравнение

со следующими граничными условиями 

и начальным  условием

Процесс нагрева может быть представлен  в виде математической модели распределения температуры в металлическом стержне длиной 1 метр на одном конце которого поддерживается температура в 0°С, а на другом 100°С. В такой интерпретации Φ – это распределение температуры в разные моменты времени. Для более легкого вычисления будем полагать, что  
∆x = 0.1, r = 0.5. Поэтому

 

Выбор способа решения: решение задачи осуществляется с использованием табличного процессора Excel.

Написание программы на одном из языков программирования:

 

Анализ  результатов: цель моделирования данного процесса достигнута.

 

 

Список  использованной литературы:

1. «Практикум по информатике» Могилев А.В., Пак Н.И., Хённер Е.К.
2. «Numerical Techniques in Electromagnetics» Matthew N.O. Sadiku.  
   –[2^nd ed.].