Обработка результатов равноточных многократных измерений

 

ВАРИАНТ 97.

     Обработка результатов равноточных многократных измерений с получением среднего арифметического _X , среднеквадратичного отклонения S_x, и определением суммарной погрешности измерения в виде доверительного интервала – ±∑∆_Рд.

Исходные данные

 

Цена деления прибора С, мм	0,010
Результаты измерений, мм
1: 80,110     11: 80,110   21: 80,140   31: 80,130   41: 80,150   51: 80,080 2: 80,050     12: 80,090   22: 80,140   32: 80,090   42: 80,090   52: 80,170 3: 80,130     13: 80,090   23: 80,110   33: 80,150   43: 80,030   53: 80,190 4: 80,070     14: 80,120   24: 80,090   34: 80,070   44: 80,210   54: 80,070 5: 80,090     15: 80,070   25: 80,070   35: 80,110   45: 80,100   55: 80,120 6: 80,170     16: 80,130   26: 80,150   36: 79,970   46: 80,130 7: 80,040     17: 80,110   27: 80,150   37: 80,140   47: 80,170 8: 80,120     18: 80,050   28: 80,090   38: 80,060   48: 80,230 9: 80,100     19: 80,010   29: 80,130   39: 80,110   49: 80,110 10: 80,080   20: 80,180   30: 80,070   40: 80,130   50: 80,050

 

Доверительная вероятность Р_д = 0,95 – показывает вероятность нахождения истинного значения в рассчитанном интервале.

Уровень значимости q = 0,05 – показывающий, что принятый закон рассеивания размеров не будет соответствовать реальному закону.

1. Построение гистограммы

 

Определяем величину размаха R (поле рассеяния): ^{R = X}max ^{- X}min

^X_max ⁼ 80,230 ^{– наибольшее из измеренных значений}

 

X_min = 79,970 – наименьшее из измеренных значений

 

R = X_max - X_min = 0,260 (мм).

 

 

Определяем число интервалов разбиения  n, в соответствии с рекомендациями:

 

          ( количество интервалов принимается ближайшим большим нечетным).

      Принимаем n = 7.

Определяем ширину интервала h:

 

 

 

 

Определяем границы интервалов Xmin_i – Xmax_i

 

 

 

1 интервал: Xmin1 – Xmax1

 

Xmin1 = Xmin= 79,970 мм

 

Xmax1 = Xmin1 + h = 80,007 мм

 

2 интервал: Xmin2 – Xmax2

 

   Xmin2 = Xmax1 = 80,007 (мм)

      Xmax2 = Xmin2 + h = 80,044 (мм)

3 интервал: Xmin3 – Xmax3

 

Xmin3 = Xmax2 = 80,044 (мм)

Xmax3 = Xmin3 + h = 80,081 (мм)

4 интервал: Xmin4 – Xmax4

 

Xmin4 = Xmax3 = 80,081 (мм)

Xmax4 = Xmin4 + h = 80,119 (мм)

5 интервал: Xmin5 – Xmax5

 

Xmin5 = Xmax4 = 80,119 (мм)

Xmax5 = Xmin5 + h = 80,156 (мм)

6 интервал: Xmin6 – Xmax6

 

Xmin6 = Xmax5 = 80,156 (мм)

Xmax6 = Xmin6 + h = 80,193 (мм)

7 интервал: Xmin7 – Xmax7

 

Xmin7 = Xmax6 = 80,193 (мм)

  Xmax7 = Xmin7 + h = 80,230 (мм)

  Определяем середины интервалов Xo_i

 

1 интервал:

 

2 интервал:

 

3 интервал:

   

4 интервал:

   

5 интервал:

   

6 интервал:

   

7 интервал:

   

 

 

 

 

Определение количества размеров попадающих в каждый интервал m_i

 

Используя заданную выборку подсчитываем количество размеров попадающих в каждый интервал ( если размер совпадает с границей интервала то его относят в интервал, находящийся слева по числовой оси )

 

Результаты выполненных выше расчетов занесем в таблицу:

 

 

Номер интервала	Границы интервала		Середина   интервала, Xoi (мм)	Число   размеров в интервале, mi
	Xmini (мм)	Xmaxi (мм)
1   2   3   4   5   6   7	79,970   80,007   80,044   80,081   80,119   80,156   80,193	80,007   80,044   80,081   80,119   80,156   80,193   80,230	79,989   80,026   80,063   80,100   80,137   80,174   80,211	1   3   11   16   17   5   2

 

 

             Используя табличные данные строим гистограмму рассеивания единичных замеров и теоретическую кривую нормального распределения:

 

 

 

 

2.   Проверка выборки  на  соответствие  нормальному  закону распределения

При  числе  измерений  свыше  50  проверка  распределения  на  соответствие нормальному закону может выполняться по критерию Пирсона. При использовании этого критерия определяется параметр хи-квадрат по следующей формуле:

 ,       где No_i – теоретическая частота попадания в интервал.

 

Теоретическая частота попадания в интервал определяется по формуле:

 

φ(z) – плотность вероятности появления размеров в каждом интервале;

 

_σx – среднеквадратичное отклонение размеров (СКО) выборки.

 

 

 

Считая, что СКО практически совпадает с его оценкой (σ_x ≈ S_x) приведем формулу, по которой определяется оценка СКО:

 

В     данную     формулу     входит     величина       ,     которая     представляет среднеарифметическое значение измеряемой величины и определяется по формуле:

 

После подстановки получим численные значения среднеарифметического и оценки

СКО:

 

 ^{80,109 мм}

 

^S _{x =} 0,046 мм

 

Кроме полученных величин, для определения теоретической частоты попадания в

 

интервал No_i необходимо знать плотность вероятности попадания размеров в каждом интервале. Эту величину можно определить по формуле:

 

Так как расчеты по данной формуле достаточно сложны, значения плотности вероятности выбирают из таблицы в зависимости от безразмерного параметра Z, который для каждого интервала определяется по формуле:

 

Для 1 интервала:

 Zo₁ = 2,61,

что соответствует величине φ(z) = 0,013

 

Для 2 интервала:

 Zo₂ = 1,80,

что соответствует величине φ (z) = 0,079

 

Для 3 интервала:

 Zo₃ = 1,

что соответствует величине φ (z) = 0,242

 

Для 4 интервала:

 Zo₄ = 0,196,

что соответствует величине φ (z) = 0,391

Для 5 интервала:

 Zo₅ = 0,609,

что соответствует величине φ (z) = 0,331

 

Для 6 интервала:

 Zo₆ = 1,413,

что соответствует величине φ (z) = 0,147

 

Для 7 интервала:

Zo₇ = 2,217,

что соответствует величине φ (z) = 0,034

 

Определяем теоретические значения количества деталей для каждого интервала No_i. Для 1 интервала:

 

 

 

 

Для 2 интервала:

 

 

 

Для 3 интервала:

 

 

 

 

 

Для 4 интервала:

 

 

 

 

 

Для 5 интервала:

 

 

 

 

 

 

 

 

Для 6 интервала:

 

 

 

 

Для 7 интервала:

 

 

 

 

На основании результатов измерений  и расчета теоретических данных определяем фактическую и теоретическую частоту попадания размеров в интервал:

 

 

 

№ инервала	Фактическая частота, Pempi,	Теоретическая частота, P
1   2   3   4   5   6   7	0,0182   0,0545   0,2   0,291   0,31   0,091   0,036	0,0104   0,0635   0,1946   0,3145   0,2662   0,1182   0,0273

 

 

 

^{Полученные результаты позволяют получить расчетную величину параметра хи-}

 

квадрат:

 

χ² = 1,620

 

Для совпадения фактического закона распределения с теоретическим законом нормального распределения необходимо, чтобы выполнялось следующее условие:

χ ² ≤ χ ²_q

 

где χ ²_q   – теоретическое граничное значение параметра хи-квадрат, которое определяется по таблице (таблица 2 задания к контрольной работе).

Для   получения  табличного  значения  необходимо  определиться  с   двумя параметрами:

- уровнем значимости q, который показывает вероятность того, что законы не совпадут. В нашем случае, в соответствии с заданием, q = 0,05;

- числом степеней свободы Ʋ, которое определяется в зависимости от числа интервалов n и числа определяемых по статистике параметров, необходимых для совмещения модели и гистограммы r. Для нормального закона распределения r = 2, так как закон однозначно характеризуется двумя параметрами – СКО и МО (математическим ожиданием). Число степеней свободы определяется по формуле:

Ʋ = n – 1 – r = 7 – 1 – 2 = 4

 

Таким образом, табличное значение χ ²_q = 9,49.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x