Осесиметричні задачі. Рішення в переміщеннях. Розрахунок труби з товстими стінками

Осесиметричні задачі. Рішення  в переміщеннях. Розрахунок труби  з товстими стінками (задача Ламе)

 

Осесимметричні задачі. Рішення в переміщеннях

Зупинимося на плоских задачах, у яких напруження, а, отже, і функція   не залежать від полярного кута . У цьому випадку бігармонічне рівняння (4.26) приймає більш простий вид:

,

або  після диференціювання

.

(4.27)

Також спрощуються  вираз напружень  (4.24):

;   ;   .

(4.28)

При відсутності об'ємних сил  залишиться тільки одне з рівнянь  рівноваги (4.1)

.

(4.29)

Спростяться й геометричні співвідношення Коші (4.4), тому що складова переміщення v в силу симетрії дорівнює нулю:

;    ;     .

(4.30)

З формул закону Гука (4.5) залишаться лише дві:

(а)

Осесимметричну задачу в переміщеннях можна вирішити в загальному виді. З формул закону Гука (а) знаходимо

(б)

За допомогою співвідношень (4.30) виключаємо із цих рівнянь складові деформації:

Підставляючи ці напруження в рівняння рівноваги (4.29), одержуємо диференціальне рівняння відносно складового переміщення :

.

(4.31)

Воно має змінні коефіцієнти. Для  рішення приведемо його до  рівняння з постійними коефіцієнтами за допомогою наступної підстановки:

(4.32)

або

.

(в)

Диференціюючи вираз (4.32) по змінній  , одержуємо

(г)

Встановимо зв'язок між похідними функції  по старій і новій змінним:

З урахуванням рівності (г) одержуємо

(д)

Друга похідна

(е)

Підставляючи похідні (д) і (е) в  рівняння (4.31), знаходимо

.

Рішення цього рівняння має вигляд

.

Вертаючись до старої змінної  , відповідно до залежностей (4.32) і (в) одержуємо

.

(4.33)

Знаючи складову переміщення  , знаходимо з рівнянь (4.30) складової деформації:

(4.34)

а з формул  (б) - складових напружень:

(4.35)

Постійні   й  визначаються із граничних умов. 

 

Розрахунок труби з товстими стінками (задача Ламе)

Прикладом осесимметричної задачі є задача Ламе про товстостінну круглу трубу, що перебуває під дією внутрішніх  і зовнішнього  рівномірних тисків (рис. 4.11).

Рис. 4.11. Задача Ламе

Внутрішній радіус труби дорівнює , зовнішній — .

Для рішення скористаємося формулами  напружень (4.35), отриманими із загального рішення осесимметричної задачі в переміщеннях. Тому що розглянута задача ставиться до випадку плоскої  деформації, то зазначені формули  повинні включати пружні постійні  й . Відповідно до позначень (3.6), маємо

Для визначення постійних   і  маємо наступні умови на поверхні:

при ;  

при ;  

Підставляючи їх у формули (а), одержуємо:

Вирішуючи спільно  ці рівняння, знаходимо:

Після підстановки знайдених постійних  у рівняння (а) напруги:

(4.36)

Цікаво відзначити, що сума нормальних напружень   і  у всіх точках труби однакова. Дійсно, складаючи почленно формули (4.36), знаходимо

.

(б)

У випадку плоскої деформації в  поперечних перерізах труби виникають також нормальні напруження . За аналогією з формулою (3.1),

Підставляючи сюди суму напружень (б), одержуємо

.

Таким чином, осьові нормальні напруження  постійні по довжині труби. Виключення становлять перерізи, що перебувають поблизу кінців труби, де, мабуть, труба не буде випробовувати плоскої деформації.

В окремому випадку, коли на трубу  діє тільки внутрішній тиск, тобто  , формули напружень (4.36) приймають наступний вид:

(4.37)

Епюри цих напружень зображені  на рис. 4.12, а. Найбільші стискаючі радіальні і розтягуючі тангенціальні нормальні напруження, виникають у точках у внутрішньої поверхні труби тобто при :

;

.

У точках у зовнішньої поверхні труби (при  )

а	б

Рис. 4.12. Епюри при тільки внутрішнім або тільки зовнішньому тиску

Розглянемо трубу зовнішнім  радіусом, набагато більшим внутрішнього. З формул (4.37) після розподілу  чисельника і знаменника на   одержуємо:

Переходячи  до границі при , знаходимо

(в)

Це значить, що всі точки труби  випробовують однакові за значенням радіальні й тангенціальні напруження, що відрізняються лише знаком. Отже, труба з нескінченно великим зовнішнім радіусом перебуває в умовах чистого зсуву. У точках внутрішньої поверхні (при ) ці напруження дорівнюють тиску , а в точках, що відповідають , вони становлять . Якщо в практичних розрахунках достатня точність в 6%, то зовнішній радіус  можна вважати нескінченно більшим. У цьому випадку рішення не пов'язане з формою зовнішнього контуру і формули характеризують розподіл напружень для труби з будь-якою формою зовнішнього контуру за умови, що всі його точки відстоять від центра отвору на відстані, більшому ,

В іншому окремому випадку, коли на трубу  діє тільки зовнішній тиск ( ), з формул (4.36) одержуємо

(4.38)

Епюри цих напружень зображені на рис. 4.12, б. У точках внутрішньої поверхні  при

;

а в точках зовнішньої  поверхні при

;

.