Расчет погрешностей заданной измерительной системы

Таблица 1 –  Составляющие погрешностей отдельных звеньев

звено	погрешности звеньев измерительной  системы
	наименование	максимальное значение γ, %	СКО σ, %	степень аддитивности (мультипликативности)	вид закона распределения
ИП	основная	0,35	0,202	аддитивная	равномерный
ИП	доп. температурная	0,35	0,202	аддитивная	равномерный
ИП	доп. сетевая	0,1	0,04	мультипликативная	треугольный
Ус1	основная	0,2	0,067	аддитивная	нормальный
Ус1	доп. температурная	0,175	0,101	аддитивная	равномерный
Ус1	доп. сетевая	0,2	0,08	мультипликативная	треугольный
ЛС	основная	0,02	0,007	аддитивная	нормальный
ЛС	доп. температурная	0	0	-	-
ЛС	доп. сетевая	0,35	0,247	аддитивная	арксинусоидальный
Ус2	основная	0,2	0,067	аддитивная	нормальный
Ус2	доп. температурная	0,175	0,101	аддитивная	равномерный
Ус2	доп. сетевая	0,2	0,08	мультипликативная	треугольный
ЦВ	основная	0,1	0,06	аддитивная	равномерный
ЦВ	основная	0,17	0,007	мультипликативная	экспоненциальный
ЦВ	доп. температурная	-0,01	-0,06	аддитивная	равномерный
ЦВ	доп. сетевая	0,2	0,08	мультипликативная	треугольный

 

 

Таблица 2 –  Корреляционная матрица погрешностей отдельных звеньев измерительной системы

погрешности	ИП доп. темп	ИП доп. сет.	Ус1 доп. сет.	Ус1 доп. темп.	Ус2 доп. темп.	Ус2 доп. сет.	ЦВ доп. темп.	ЦВ доп. сет.
ИП доп.темп.	1	0	0	1	0	0	0	0
ИП доп. сет.	0	1	1	0	0	1	0	1
Ус1 доп. сет.	0	1	1	0	0	1	0	1
Ус1 доп. темп.	1	0	0	1	0	0	0	0
Ус2 доп. темп.	0	0	0	0	1	0	1	0
Ус2 доп. сет.	0	1	1	0	0	1	0	1
ЦВ доп. темп.	0	0	0	0	1	0	1	0
ЦВ доп. сет.	0	1	1	0	0	1	0	1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 Расчет суммарной погрешности ИС

 

5.1 Общее правило суммирования погрешностей

 

Суммирование  погрешностей σ₁ и σ₂ производится по формуле:

где ρ  – коэффициент корреляции.

 ρ  = 0, если погрешности некоррелированны,

 ρ  = 1, если погрешности коррелированны,

 ρ  = 0   σ_Σ    – геометрическое сложение,

 ρ  = 1   σ_Σ =   σ₁ + σ₂  – алгебраическое сложение.

 

5.2 Определение аддитивной погрешности ИС измерительного канала для коррелированных составляющих

 

Из таблиц 1 и 2 видно, что данная погрешность  определяется двумя составляющими:

σ_{ад.кор.1} = σ_т.ип + σ_т.ус1 ,

 

σ_{ад.кор.1} = 0,202% + 0,101%= 0,3%,

 

σ_{ад.кор.2} = σ_т.ус2 + σ_т.цв ,

 

σ_{ад.кор.2} = 0,101% - 0,06%= 0,04%.

 

5.3 Определение аддитивной погрешности измерительного канала для некоррелированных составляющих

 

Так как  ρ=0, то суммирование производится геометрически:

,

σ_{ад.некор}=

 

5.4 Определение суммарной аддитивной погрешности измерительного канала

 

Аналогично  пункту 5.3 сложение производится геометрически:

,

σ_∑ад.= %.

5.5 Определение мультипликативной погрешности измерительного

канала для коррелированных составляющих

 

Из таблиц 1 и 2 видно, что данная погрешность  определяется следующими составляющими:

σ_{мул.кор.} =  σ_с.ип + σ_с.ус1 + σ_с.ус2 + σ_с.цв

σ_{мул.кор.} =  0,04+0,08+0,08+0,08=0,28%

 

5.6 Определение мультипликативной погрешности измерительного канала для некоррелированной составляющей

 

Из таблицы 1 и таблицы 2 видно, что данная погрешность:

σ_{мул.некор.} = σ_цв.мул = 0,007%

5.7 Определение суммарной мультипликативной погрешности измерительного канала

 

Сложение  составляющих погрешности производится геометрически:

σ_Σмул.

σ_Σмул.

 

5.8 Определение погрешности измерительного канала в начале диапазона измерения

 

σ_н = σ_∑а = 0,38%

 

5.9 Определение погрешности измерительного канала в конце

 диапазона  измерений

 

σ_к

σ_к

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6  Расчет доверительного интервала суммарной погрешности ИС

 

При доверительной  вероятности Р_дов=0,9 доверительный интервал можно определить из выражения:

Δ_дов = 1,6·σ

Доверительный интервал в начале диапазона измерений:

Δ_дов.н. = 1,6·σ_н

Δ_дов.н. = 1,6∙0,38=0,6%

Доверительный интервал в конце диапазона измерений:

Δ_дов.к. = 1,6·σ_к

Δ_дов.к. = 1,6∙0,47=0,75%

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7 Расчет параметров закона распределения суммарной погрешности

7.1 Выбор принципа  расчета

 

Для решения  поставленной задачи предварительно определим  один из параметров суммарного закона распределения, а по нему определим  форму самого закона. В качестве такого параметра удобно использовать контрэксцесс.

,

где - четвертый центральный момент закона распределения.

Известно, что если складывается n независимых законов, то величина контрэксцесса суммарного распределения может быть определена из выражения:

,

,

где - вес i- ой дисперсии в суммарной,

      - контрэксцесс i- го распределения.

7.2 Определение  контрэксцесса суммарного распределения в начале диапазона измерения

 

 

Значение  контрэксцесса для различных законов распределения:

треугольное распределение- 0,645

нормальное  распределение- 0,577

арксинусоидальное распределение- 0,816

симметричное  экспоненциальное - χ до 0,4

Подставляя  значения α_i и χ_i  в выражение для суммарного контрэксцесса получаем:

 

7.3 Определение  формы и ширины основания суммарного  закона распределения

 

Если  рассмотреть ограниченные по основанию  законы распределения, то основание  суммарного закона может быть определено из выражения:

где k_i- коэффициент пропорциональности.

Так как  величина СКО суммарной погрешности  определяется:

, то k для суммарного закона равен:

Протяженность основания суммарного закона в начале диапазона измерений составляет:

   =12,27∙0,38=4,6626

 

По значению контрэксцесса = 0,046 можно сделать вывод о том, что суммарный закон в начале диапазона измерений подчиняется симметричному экспоненциальному   закону распределения и имеет следующий вид (Рисунок 3):

                    

                  Рисунок 3 – Экспоненциальный закон распределения

 

 

7.4 Определение  класса точности измерительной  системы в начале диапазона измерения

 

Согласно  полученным значениям принимаем, что  фактический класс точности измерительной  системы в начале диапазона измерения  составляет:

=12,27∙0,38=4,6626

Округляем до ближайшего стандартного и получаем класс точности в начале диапазона измерения, равный 5.

7.5 Определение  формы и ширины основания суммарного закона распределения в конце диапазона измерения

 

Контрэксцесс суммарного распределения в конце диапазона измерения можно определить аналогично тому, как это производилось для начала диапазона. Решаемую задачу можно упростить, определяя контрэксцесс в конце диапазона измерения при сложении двух независимых составляющих, а именно суммарной аддитивной и суммарной мультипликативной погрешности.

Таким образом, закон распределения суммарной  погрешности в конце диапазона  измерения характеризуется композицией  двух законов, а именно сложного, определяемого  восьмью аддитивными составляющими, и треугольного (мультипликативная составляющая).

Контрэксцесс такого распределения равен:

где

     

     

     

По значению контрэксцесса = 0,07 можно сделать вывод о том, что суммарный закон в конце диапазона измерений подчиняется симметричному экспоненциальному закону распределения (Рисунок 3).

Основание суммарного закона в конце диапазона  измерения:

,

Х_к=0,38·12,27+ ·0,28=4,5858

7.6 Определение  класса точности измерительной  системы в конце диапазона измерений