Решение задачи по технической механике

Задача №1

Для стального ступенчатого бруса (рис 1, а ) определить и построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений. Определить удлинение (укорочение) бруса.

Модуль упругости Е=2 10⁵ МПа.

Решение:

Разделим брус на участки, границы  которых определяются сечениями, где изменяется площадь поперечного сечения или приложены внешние нагрузки.

Мысленно рассечем брус в пределах первого участка и отбросим верхнюю  часть бруса (рис 14, б). Сила F₁ уравновешивается внутренней силой

N₁=F₁=40 10³ H=40 kH

Аналогично в пределах второго участка (рис14, в) отбросим верхнюю часть бруса и рассмотрим оставленную часть бруса с действующей силой F₁, которая уравновешивается продольной силой N₂:

N₂=F₁=40 кН

 Продольная сила на участке  3 (рис 14, г) уравновешивается в  сечении внешними силами F₁ и F₂ и равна их алгебраической сумме

N₃=F₁-F₂= 40 10³ – 50 10³= - 10 10³Н = -10кН

Построим эпюру N (рис 14,д). Для этого параллельно оси  бруса проведем базовую (нулевую) линию. Левее ее откладываем значение продольной силы, вызванной сжатием участка, т.е. отрицательные значения, а правее – растяжением, т.е. положительные значения. В пределах участка 3 брус сжат (N₃= - 10 кН), в пределах участков 2 и 1 брус растянут (N₁=N₂=40 кН).

Для определения напряжений в поперечных сечениях значение продольных сил необходимо разделить на площади соответствующих сечений.

Площадь поперечного  сечения бруса в пределах  участка 1:

Аналогично на участках 2 и 3:

Находим напряжения на отдельных участках бруса и строим эпюру (рис 14,е):

В соответствии с полученными  значениями напряжений строим эпюру  напряжений.

Полное удлинение бруса  равно алгебраической суме удлинений его участков:

или 

Т.е. получается