Значение кода Хемминга

 

Содержание.

 

1. Значение кода Хемминга.

2. Код Хемминга.

3. Принцип построения кодов Хемминга.

4. Применение.

5.Литература.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Значение кода Хемминга

Код Хэмминга – систематический  код, то есть состоящий из информационных и корректирующих символов, расположенных  по строго определенной системе, имеющих  одинаковую длину и всегда занимающих строго определенные места в кодовых  комбинациях.

Предложенные Хэммингом  регулярные методы построения кодов, корректирующих ошибки, имеют фундаментальное значение. Они демонстрируют инженерам  практическую возможность достижения пределов, на которую указывали законы теории информации. Эти коды нашли  практическое применение при создании компьютерных систем. Работа Хэмминга привела к решению проблемы более  плотной упаковки для конечных полей. Он ввел в научный обиход важнейшие  понятия теории кодирования –  расстояние Хэмминга между кодовыми комбинациями в векторном пространстве, определяемом для двоичных кодов  как количество позиций этих комбинаций с различными символами, и границы  Хэмминга для исправляющей способности  блочных корректирующих кодов. Граница  Хэмминга для двоичных кодов рассчитывается по следующей формуле:

В этом выражении число  ошибок e может быть исправлено корректирующим блочным кодом длиной N, имеющим М кодовых комбинаций (C^j_N – биномиальный коэффициент).

Работа Хэмминга сыграла  ключевую роль в последующем развитии теории кодирования и стимулировала  обширные исследования, выполненные  в последующие годы.

Коды Хэмминга позволяют  не только обнаружить наличие ошибки, но и место ее нахождения и, следовательно, дают возможность ее исправить.

 

2. Коды Хемминга.

 

Коды  Хемминга являются самоконтролирующимися  кодами, т.е кодами, позволяющими автоматически  обнаруживать наиболее вероятные ошибки при передаче данных. Для их построения достаточно приписать к каждому  слову один добавочный (контрольный) двоичный разряд и выбрать цифру  этого разряда так, чтобы общее  количество единиц в изображении  любого числа было, например, четным. Одиночная ошибка в каком-либо разряде  передаваемого слова (в том числе, может быть, и в контрольном  разряде) изменит четность общего количества единиц. Счетчики по модулю 2, подсчитывающие количество единиц, которые содержатся среди двоичных цифр числа, могут  давать сигнал о наличии ошибок.

При этом, разумеется, мы не получаем никаких  указаний о том, в каком именно разряде произошла ошибка, и, следовательно, не имеем возможности исправить  её. Остаются незамеченными также  ошибки, возникающие одновременно в  двух, в четырёх или вообще в  четном количестве разрядов. Впрочем, двойные, а тем более четырёхкратные ошибки полагаются маловероятными.

Коды, в которых возможно автоматическое исправление ошибок, называются самокорректирующимися. Для  построения самокорректирующегося  кода, рассчитанного на исправление  одиночных ошибок, одного контрольного разряда недостаточно.Как видно  из дальнейшего, количество контрольных  разрядов k должно быть выбрано так, чтобы удовлетворялось неравенству  или , где m - количество основных двоичных разрядов кодового слова. Минимальные  значения k при заданных значениях m, найденные в соответствии с этим неравенством, приведены в таблице  № 1

 

Диапазон m	kmin
1	2
2-4	3
5-11	4
12-26	5
27-57	6

 

Имея m+k разрядов, самокорректирующийся код можно построить следующим  образом.

Присвоим каждому из разрядов свой номер - от 1 до m+k; запишем эти номера в двоичной системе счисления. Поскольку  2^k > m + k ,каждый номер можно представить, очевидно, k-разрядным двоичным числом.

Предположим далее, что все m+k разрядов кода разбиты на контрольные группы, которые частично перекрываются, причем так, что единицы в двоичном представлении  номера разряда указывают на его  принадлежность к определённым контрольным  группам. Например: разряд № 5 принадлежит  к 1-й и 3-й контрольным группам, потому что в двоичном представлении  его номера 5₁₀ = …000101₂ - 1-й и 3-й разряды содержат единицы.

Среди m+k разрядов кода при этом имеется k разрядов, каждый из которых принадлежит  только к одной контрольной группе:

Разряд № 1: 1₁₀ = …000001₂ принадлежит только к 1-й контрольной группе.

Разряд № 2: 2₁₀ = …000010₂ принадлежит только к 2-й контрольной группе.

Разряд № 4: 4₁₀ = …000100₂ принадлежит только к 3-й контрольной группе.

…

Разряд № 2^{k − 1} принадлежит только к k-й контрольной группе.

Эти k разрядов мы и будем считать  контрольными. Остальные m разрядов, каждый из которых принадлежит, по меньшей  мере, к двум контрольным группам, будут информационными разрядами.

В каждой из k контрольных групп  будем иметь по одному контрольному разряду. В каждый из контрольных  разрядов поместим такую цифру (0 или 1), чтобы общее количество единиц в его контрольной группе было четным.

Например, довольно распространен  код Хеминга с m=7 и k=4.

Пусть исходное слово (кодовое слово  без контрольных разрядов) - 0110101₂.

Обозначим P_i - контрольный разряд №i; а D_i - информационный разряд №i, где i = 1,2,3,

4…

 

 

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
№ разряда:	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011
Распределение контрольных  и информационных разрядов	p1	p2	d1	p3	d2	d3	d4	p4	d5	d6	d7
Информационное  кодовое слово :			0		1	1	0		1	0	1
p1	1		0		1		0		1		1
p2		0	0			1	0			0	1
p3				0	1	1	0
p4								0	1	0	1
Кодовое слово  с контрольными разрядами:	1	0	0	0	1	1	0	0	1	0	1

 

Интересно посмотреть, как перекрываются  контрольные группы в данном случае (Рис №1). Первая группа контролирует разряды № 3,5,7,9,11 исходного кода, вторая — 3,6,7,10,11 (№ группы = № контрольного разряда). Очевидно, что они частично перекрываются.

Рис.№1 Первая группа контролирует разряды  № 3,7,5 исходного кода, вторая — 3,7,6…  Очевидно что они частично перекрываются

Предположим теперь, для примера, что  при передаче данного кодового слова 10001100101 произошла ошибка в 11–м разряде, так, что было принято новое кодовое  слово 10001100100. Произведя в принятом коде проверку четности внутри контрольных групп, мы обнаружили бы, что количество единиц нечетно в 1-й,2-й и 4-й контрольных группах, и четно в 3-й контрольной группе. Это указывает, во-первых, на наличие ошибки, во-вторых, означает, что номер ошибочно принятого разряда в двоичном представлении содержит единицы на первом, втором и четвёртом местах и нуль - на третьем месте, т.к ошибка только одна, и 3-я контрольная сумма оказалась верной.

№ разряда:	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011
Распределение контрольных  и информационных разрядов	p1	p2	d1	p3	d2	d3	d4	p4	d5	d6	d7	Контроль по четности в группе	Контрольный бит
Переданное кодовое  слово:	1	0	0	0	1	1	0	0	1	0	1
Принятое кодовое  слово:	1	0	0	0	1	1	0	0	1	0	0
p1	1		0		1		0		1		0	Fail	1
p2		0	0			1	0			0	0	Fail	1
p3				0	1	1	0					Pass	0
p4								0	1	0	0	Fail	1

 

 

	p4	p3	p2	p1
В двоичном представлении	1	0	1	1
В десятичном представлении	8		2	1	Σ = 11

 

Из таблицы следует, что  ошибка произошла в 11-м разряде  и её можно исправить. Построенный  код, разумеется, не рассчитан на возможность  одновременной ошибки в двух разрядах.

Например (Рис №2), когда ошибки одновременно прошли в 3-м и 7-м разрядах исходного кода, первый и второй контрольные биты даже не замечают подмены.

Рис.№2 Когда ошибки прошли в 3-м и 7-м разрядах исходного кода, первый и второй контрольные биты даже не замечают ошибки

Когда в принятом коде производится проверка четности внутри контрольных  групп, случай двойной ошибки ничем  внешне не отличается от случая одиночной  ошибки.

Например, предположим теперь, что  при передаче данного кодового слова 10001100101 произошли ошибки в 3-м и 6-м  разрядах, так, что принято кодовое  слово 10101000101.

№ разряда:	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011
Распределение контрольных  и информационных разрядов	p1	p2	d1	p3	d2	d3	d4	p4	d5	d6	d7	Контроль по четности в группе	Контрольный бит
Переданное кодовое  слово:	1	0	0	0	1	1	0	0	1	0	1
Принятое кодовое  слово:	1	0	1	0	1	0	0	0	1	0	1
p1	1		1		1		0		1		1	Fail	1
p2		0	1			0	0			0	1	Pass	0
p3				0	1	0	0					Fail	1
p4								0	1	0	1	Pass	0

 

 

 

	p4	p3	p2	p1
В двоичном представлении	0	1	0	1
В десятичном представлении		4		1	Σ = 5

Вывод: ошибка произошла в 5-м разряде Истинное кодовое слово  : 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 Ошибочное кодовое слово  : 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 Исправленное кодовое слово : 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 Результат получается ещё более отдаленным от правильного, чем принятый код. Исправление кода по общему правилу не только не улучшило, но даже ухудшило бы дело.

Можно построить и такой  код, который обнаруживал бы двойные  ошибки и исправлял одиночные. Для  этого к самокорректирующемуся  коду, рассчитанному на исправление  одиночных ошибок, нужно приписать  ещё один контрольный разряд (разряд двойного контроля). Полное количество разрядов кода при этом будет m+k+1. Цифра  в разряде двойного контроля устанавливается  такой, чтобы общее количество единиц во всех m + k + 1 разрядах кода было четным. Этот разряд не включается в общую нумерацию и не входит ни в одну контрольную группу.

Например, код Хеминга с m=7 и k=4 Пусть  информационное кодовое слово - 0110101

№ разряда:	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	Second Parity
Распределение контрольных  и информационных разрядов	p1	p2	d1	p3	d2	d3	d4	p4	d5	d6	d7
Информационное  кодовое слово:			0		1	1	0		1	0	1
p1	1		0		1		0		1		1
p2		0	0			1	0			0	1
p3				0	1	1	0
p4								0	1	0	1
Кодовое слово  с контрольными разрядами:	1	0	0	0	1	1	0	0	1	0	1	1

 

 

При этом могут быть следующие  случаи.

1. В принятом коде в целом и по всем контрольным группам количество единиц четно. Если тройные ошибки и ошибки в большем количестве разрядов исключаются, то первый случай соответствует безошибочному приему кода. Например