Анализ и расчет сложных цепей постоянного тока

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И  НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО  ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОУ ВПО Уральский государственный  экономический университет

ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ

 

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по  Электротехника и  электроника      на тему:

                 АНАЛИЗ  И РАСЧЕТ  СЛОЖНЫХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Екатеринбург

2012

 

 

АНАЛИЗ  И РАСЧЕТ СЛОЖНЫХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА

 

Сложными называются разветвленные электрические цепи с несколькими источниками питания.

Универсальным методом анализа и расчета сложных цепей является метод непосредственного применения первого и второго законов Кирхгофа соответственно для узловых точек и замкнутых контуров.

Однако при значительном числе ветвей и узловых точек  использование этого метода усложняется необходимостью совместного решения большого числа уравнений. В этих и некоторых других случаях может оказаться целесообразным применение иных методов расчета, основанных на тех же законах Кирхгофа. В зависимости от конфигурации расчетной схемы и поставленной задачи следует применять тот метод расчета, который в данном случае является наиболее эффективным

1. Метод уравнений Кирхгофа   

 Этот метод сводится  к решению системы уравнений,  количество которых равно числу  неизвестных токов (числу ветвей). Покажем его применение на примере схемы, изображенной на рис. 1

Рис. 1 Сложная электрическая  цепь   

 Первый закон Кирхгофа: в узле электрической цепи алгебраическая сумма токов равна нулю.    

 Произвольно задавшись  направлениями токов в ветвях  и принимая токи, подтекающие к узлу, положительными, а оттекающие от узла – отрицательными, записываем:

узел а: узел в: узел с:

1.1

 

    Число  независимых уравнений в первом  законе Кирхгофа – на единицу  меньше числа узлов, поэтому  для последнего узла d уравнение не пишем.   

 В заданной схеме  семь ветвей, семь неизвестных  токов. Система (1.1) содержит только  три уравнения. Недостающие четыре  записываем по второму закону  Кирхгофа.   

 Второй закон Кирхгофа: в замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме падений напряжений на всех сопротивлениях контура.   

 Число уравнений,  составляемых по этому закону, равно числу взаимно независимых  контуров. При рассмотрении схемы  каждый последующий контур является  независимым относительно предыдущих, если он отличается от них хотя бы одной новой ветвью. В заданной схеме таких контуров четыре. Они отмечены пронумерованными дугообразными стрелками. Любой другой контур новых ветвей не содержит, поэтому не является независимым. Дугообразные стрелки показывают произвольно выбранные направления обхода контуров. Если направления ЭДС и токов совпадают с направлением обхода контура, то они записываются с плюсом, если не совпадают – то с минусом.

контур 1: контур 2: контур 3: контур 4:

(1.2)

 

    Системы  (1) и (1.2) дают достаточное количество  уравнений для отыскания всех  неизвестных токов.

 

1.3.2. Метод узловых потенциалов   

 Уравнения, составляемые  по этому методу, называются узловыми  уравнениями. В качестве неизвестных они содержат потенциалы узлов, причем один из них задается заранее – обычно принимается равным нулю. Пусть таким узлом будет узел d: j _d = 0. Равенство нулю какой-то точки схемы обычно показывается как ее заземление.   

 Запишем для каждой  ветви выражение закона Ома:  

                   (1.3)   

 Подставляя формулы  (1.3) в систему (1.1) после несложных  преобразований получаем следующие  уравнения, количество которых  на единицу меньше числа узлов:      

                  (1.4)   

 При решении практических задач указанный вывод не делают, а узловые уравнения записывают сразу, пользуясь следующим правилом.   

 Потенциал узла, для  которого составляется уравнение  (например, в первом уравнении  последней системы – это узел а), умножается на сумму проводимостей ветвей, присоединенных к этому узлу: j _а (G₁+G₂+G₃).Это произведение записывается в левой части уравнения со знаком плюс. Потенциал каждого соседнего узла (b и с) умножается на проводимости ветвей, лежащих между этим (соседним) узлом и узлом, для которого составляется уравнение.   

 Эти произведения j _b (G₁ + G₂) и j _сG₃ записываются со знаком минус. В правой части уравнения стоит алгебраическая сумма произведений ЭДС на проводимости тех ветвей, которые присоединены к рассматриваемому узлу: E₁G₁, E₂G₂ и E₃G₃. Эти произведения записываются с плюсом, если ЭДС направлены к узлу, и с минусом, если от узла.   

 Найдя из (1.4) потенциалы  узлов и подставляя их в  (1.3), определяем токи ветвей.  

 

1.3.3. Метод контурных токов    

 Для каждого из  взаимно независимых контуров назначается так называемый контурный ток, замыкающийся по всем ветвям контура. Направления этих токов произвольны.    

 На рис. 1 они обозначены  дугообразными стрелками, рядом  с которыми стоят буквы I_K1, I_K2, I_K3 и I_K4. Для выбранных контурных токов записываются уравнения по второму закону Кирхгофа. Контур при этом обходится по направлению контурного тока. Рассмотрим порядок составления уравнения на примере третьего контура. Контурный ток I_K3, протекая по сопротивлениям своего контура, создает на них падение напряжения

                          (1.5)   

 По сопротивлению R₄, являющемуся элементом третьего контура, протекает контурный ток I_K2. Создаваемое им падение напряжения I_K2R₄ вычитается из предыдущего, так как направление тока I_K2 в сопротивлении R₄ противоположно току I_K3. Сопротивление R₆ также входит в третий контур. Падение напряжения на нем, создаваемое контурным током I_K4, складывается с суммой (1.5), так как направления I_K4 и I_K3 в R₆ одинаковы. В правой части уравнения записывается алгебраическая сумма всех ЭДС контура, в данном случае – единственная ЭДС E₄.   

 Итак, для третьего  контура имеем: 

   

 Аналогично составляются  и остальные контурные уравнения: 

   

 После решения последней  системы действительные токи ветвей определяются по найденным контурным:

             (1.6)                                      

 Контурные уравнения  получаются подстановкой формул (1.6) в уравнения второго закона  Кирхгофа (1.2).  

 

1.3.4. Метод наложения    

 В основе метода лежит принцип суперпозиции (наложения): ток в любой ветви сложной электрической цепи, содержащей несколько ЭДС, может быть найден как алгебраическая сумма токов в этой ветви от действия каждой ЭДС в отдельности.   

 Это весьма важное  положение, справедливое только для линейных цепей, вытекает из уравнений Кирхгофа и утверждает независимость действия источников энергии. Основанный на нем метод сводит расчет цепи, содержащей несколько ЭДС, к последовательному расчету схем, каждая из которых содержит только один источник.   

 Например, токи в схеме на рис.2, а находятся как алгебраические суммы частичных токов, определяемых из схем б и в.

Аналогично:

 

    И,  наконец,

                          

a)                                        б)                                    в) 

 

Рис. 2. Заданная (а) и расчетные (б и в) схемы   

 При расчете подобных  схем очень удобным оказывается  следующий прием. Пусть требуется  определить токи в параллельных  ветвях при известном суммарном токе (рис. 3).   

 Имеем:

Рис. 3. Токи в параллельных ветвях

Из полученной формулы  вытекает правило: ток в одной из двух параллельных ветвей равен произведению общего тока на сопротивление соседней ветви, деленному на сумму сопротивлений параллельных ветвей. Пользуясь этим правилом для тока I2 можно написать:

 

     Применение  этого правила избавляет от  необходимости определять напряжения  и в схемах на рис.2, б и в. Так, после определения тока , токи и можно найти по формулам:

1.3.5. Эквивалентное преобразование треугольника и звезды сопротивлений    

 Пусть требуется  рассчитать цепь, показанную на рис.4

Рис.4. Преобразования электрической цепи    

 Расчет можно осуществить  одним из описанных выше методов.  Но так как в цепи имеется  только один источник питания, наиболее простым было бы использование закона Ома. Однако попытка определения общего сопротивления цепи оказывается безрезультатной, так как здесь мы не находим ни последовательно, ни параллельно соединенных сопротивлений. Решить задачу помогает преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду.   

 Треугольник и звезда  сопротивлений имеют вид, показанный  на рис.5

Рис.5. Треугольник и звезда сопротивлений    

 Если при замене  одной из этих схем другой  не изменяются потенциалы одноименных  точек и подтекающие к ним токи, то во внешней цепи также не произойдет никаких изменений. В этом случае говорят, что схемы эквивалентны.    

 Можно показать, что  условием эквивалентности являются  следующие уравнения:

а) при преобразовании треугольника в звезду:

;                 ;

;

б) при преобразовании звезды в треугольник:

; ;

.   

 Структура приведенных формул  проста и легко запоминается.   

 Например, сопротивление звезды R₁, присоединенное к узлу 1, получается перемножением сопротивлений R₁₂ и R₃₁ треугольника, присоединенных к этому же узлу, и делением полученного произведения на сумму всех сопротивлений треугольника.   

 При обратном преобразовании  сопротивление треугольника R₁₂, лежащее между узлами 1 и 2, равно сумме сопротивлений звезды R₁ и R₂, присоединенных к этим узлам, плюс их произведение, деленное на сопротивление третьего луча звезды R₃.

 

 

Литература

1. Иванов И. И., Лукин  А. Ф., Соловьев Г. И.

И 20 Электротехника. Основные положения, примеры и задачи. 2-е изд., исправленное. -- СПб.: Издательство «Лань», 2002.

1. Касаткин А. С,  Немцов М. В. Электротехника. 9-е  изд.,стереотип. - М: АСАБЕМ1А, 2005. - 544 с.

2. Жаворонков М.А., Кузин А.В. Электротехника  и электроника. -М: АСАОЕМ1А, 2005. - 400 с.

3. Рекус Г.Г. Основы электротехники  и электроники в задачах с решениями. - М: Высш. школа, 2005.- 343 с.