Цепи несинусоидального тока

При расчете каждой гармонической составляющей тока можно пользоваться комплексным методом и строить векторные диаграммы, однако недопустимо производить геометрическое суммирование векторов и сложение комплексов напряжений или токов разных гармоник. Действительно, векторы, изображающие скажем токи первой и третьей гармоник, вращаются с разными скоростями (рис.6.13). Поэтому геометрическая сумма этих векторов дает мгновенное значение их суммы только при ωt=0 и в общем случае смысла не имеет. 

 

Мощность несинусоидального тока

 

Так же как и в цепях синусоидального тока будем вести речь о мощностях, потребляемых пассивным двухполюсником. Под активной мощностью тоже понимают среднее за период значение мгновенной мощности

 

Пусть напряжение и ток на входе двухполюсника будут представлены рядами Фурье

 

Подставим значения u и  i  в   формулу Р

 

 

Результат получен с учетом того, что интеграл за период от произведения синусоид различных частот равен нулю, а интеграл за период от произведения синусоид одинаковой частоты определялся в разделе цепей синусоидального тока. Таким образом, активная мощность несинусоидального тока равна сумме активных мощностей всех гармоник. Ясно, что  Рk можно определять по любым известным формулам.

По аналогии с синусоидальным током для несинусоидального вводится понятие полной мощности, как произведение действующих значений напряжения и тока, т.е.  S=UI.

Отношение  Р  к  S  называется коэффициентом мощности и приравнивается косинусу некоторого условного угла θ, т.е.  cosθ=P/S.

На практике очень часто несинусоидальные напряжения и токи заменяют эквивалентными синусоидами. При этом нужно выполнить два условия: 1) действующее значение эквивалентной синусоиды должно равняться действующему значению заменяемой величины; 2) угол между эквивалентными синусоидами напряжения и тока θ должен быть таким, чтобы  UIcosθ  равнялось бы активной мощности Р. Следовательно, θ - это угол между эквивалентными синусоидами напряжения и тока. Обычно действующее значение эквивалентных синусоид близко к действующим значениям основных гармоник.

По аналогии с синусоидальным током для несинусоидального вводится понятие реактивной мощности, определяемой как сумма реактивных мощностей всех гармоник

Для несинусоидального тока в отличие от синусоидального   S2≠P2+Q2. Поэтому здесь вводится понятие мощности искажения Т, характеризующей отличие форм кривых напряжения и тока и определяемой  так

 

 

Высшие гармоники в трехфазных системах

 

В трехфазных системах обычно кривые напряжения в фазах В и С точно воспроизводят кривую фазы А со сдвигом на треть периода. Так, если  uA=f(ωt), то  uВ=f(ωt-2π/3), а  uС=f(ωt+2π/3). Допустим фазные напряжения несинусоидальные и разложены в ряд Фурье. Тогда рассмотрим k–ю гармонику во всех трех фазах. Пусть  uAk=Ukmsin(kωt+ψk), тогда получаем  uВk=Ukmsin(kωt+ψk-k2π/3)  и   uCk=Ukmsin(kωt+ψk+k2π/3).

Cравнивая эти выражения при различных значениях k, замечаем, что для гармоник, кратных трем (k=3n, n – натуральный ряд чисел, начиная с 0) во всех фазах напряжения в любой момент времени имеют одно и тоже значение и направление, т.е. образуют систему нулевой последовательности.

При k=3n+1 гармоники образуют систему напряжений, последовательность которой совпадает с последовательностью фактических напряжений, т.е. они образуют систему прямой последовательности.

При k=3n-1 гармоники образуют систему напряжений, последовательность которой противоположна последовательности фактических напряжений, т.е. они образуют систему обратой последовательности.

На практике чаще всего отсутствует как постоянная составляющая, так и все четные гармоники, поэтому в дальнейшем ограничимся рассмотрением только нечетных гармоник. Тогда ближайшая гармоника, образующая обратную последовательность, является пятая. В электродвигателях она наносит наибольший вред, поэтому именно с ней ведут беспощадную борьбу.

Рассмотрим особенности работы трехфазных систем, вызванные наличием гармоник, кратных трем.

1. При соединении обмоток  генератора или трансформатора  в треугольник (рис.6.14) по ветвям последнего протекают токи гармоник, кратных трем, даже при отсутствии внешней нагрузки. Действительно, алгебраическая сумма ЭДС гармоник, кратных трем (E3, E6 и т.д.), в треугольнике имеет утроенное значение, в отличие от остальных гармоник, для которых эта сумма равна нулю. Если фазное сопротивление обмотки для третьей гармоники Z3, то ток третей гармоники в контуре треугольника будет  I3=E3/Z3. Аналогично ток шестой гармоники I6=E6/Z6 и т.д. Действующее значение тока, протекающего по обмоткам будет  . Поскольку сопротивления обмоток генератора малы, то ток может достигать больших величин. Поэтому при наличии в фазных ЭДС гармоник, кратных трем, обмотки генератора или трансформатора в треугольник не соединяют.

2. Если соединить обмотки  генератора или трансформатора  в открытый треугольник (рис.6.155, то на его зажимах будет  действовать напряжение, равное  сумме ЭДС гармоник, кратных трем, т.е. 

 

uBX=3E3msin(3ωt+ψ3)+3E6msin(6ωt+ψ6)+3E9msin(9ωt+ψ9)+···.

Его действующее значение

 

.

Открытый треугольник обычно применяют перед соединением обмоток генератора в обычный треугольник для проверки возможности безаварийной реализации последнего.

3. Линейные напряжения, независимо от схемы соединения обмоток генератора или трансформатора, гармоник, кратных трем, не содержат. При соединении треугольником фазные ЭДС, содержащие гармоники, кратные трем, компенсируются падением напряжения на внутреннем сопротивлении фазы генератора. Действительно, по второму закону Кирхгофа для третьей, например, гармоники для схемы рис.6.14 можно записать UAB3+I3Z3=E3, откуда получаем   UAB3=0. Аналогично для любой из гармоник, кратных трем.

При соединении в звезду линейные напряжения равны разности соответствующих фазных ЭДС. Для гармоник, кратных трем, при составлении этих разностей фазные ЭДС уничтожаются, поскольку они образуют систему нулевой последовательности.

Таким образом в фазных напряжениях могут присутствовать составляющие всех гармоник и их действующее значение  . В линейных же напряжениях гармоники, кратные трем отсутствуют, поэтому их действующее значение  .  В связи с этим при наличии гармоник, кратных трем, Uл/Uф< .

4. В схемах без нулевого провода токи гармоник, кратных трем, замыкаться не могут, так как они образуют систему нулевой последовательности и могут замыкаться только при наличии последнего. При этом между нулевыми точками приемника и источника даже в случае симметричной нагрузки появляется напряжение, равное сумме ЭДС гармоник, кратных трем, в чем легко убедиться по уравнению второго закона Кирхгофа с учетом того, что токи указанных гармоник отсутствуют. Мгновенное значение этого напряжения u010=E3msin(3ωt+ψ3)+E6msin(6ωt+ψ6)+E9msin(9ωt+ψ9)+···. Его действующее значение .

5. В схеме звезда-звезда с  нулевым проводом (рис.6.16) по последнему  будут замыкаться токи гармоник, кратных трем, даже в случае симметричной нагрузки, если фазные ЭДС содержат указанные гармоники. Учитывая, что гармоники, кратные трем, образуют систему нулевой последовательности, можно записать

 

.

 

Ток нулевого провода для гармоник, кратных трем, в три раза больше тока каждой фазы, поэтому его действующее значение будет  .