Динамика твердого тела. Момент инерции. Основное упражнение динамики вращательного движения

Лекция 5. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА.  МОМЕНТ ИНЕРЦИИ.  ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ.

Абсолютно твердым телом  называется модель в механике, которая рассматривает тело, как систему материальных точек, при любых движениях которой взаимные расстояния между точками системы остаются постоянными.

 

1. Вращение относительно некоторого начала отсчета

Положение центра масс тела  (1), где - масса малого элементарного объема,

Уравнение движения центра масс твердого тела: (2)

Скорость изменения момента импульса тела относительно центра масс:   (3).

 

 

 

Если  , то     (4) и

     (5)

 

 

2. Вращение относительно неподвижной оси, проходящей через центр масс

                                                                            

 ОО₁ – неподвижная ось,  r_i – расстояние от оси ОО₁ до m_i.

Так как 

                                    проекция момента импульса на направление 0z: (6)

            

Моментом инерции твердого тела (системы материальных точек) относительно оси называется сумма произведений масс малых элементарных объемов (материальных точек) на квадраты расстояний их до оси вращения (7),

Момент инерции – аддитивная величина, (8),   т.к. .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Относительно неподвижной оси, параллельной оси проходящей через центр масс

момент инерции:   I=I_C+ma²  (9) - теорема Штейнера.

Проекция момента импульса на ось: . (10)

Продифференцируем по t: , тогда

    (11) - основное уравнение динамики при вращательном движении (основной закон динамики вращательного движения)

I  - мера инертности при вращательном движении.

 

 

Кинетическая энергия вращения тела относительно оси ОО₁:

     (12)