Исследование систем автоматического управления

Для определения устойчивости существуют алгебраические и частотные  критерии.

Алгебраические критерии.

Устойчивость системы  по любому критерию чаще всего рассматривается  по характеристическому уравнению. Характеристическое уравнение –  это знаменатель передаточной функции  приравненный к нулю.

К этим критериям относятся  критерий Ляпунова, критерий Рауса-Гурвица  и другие. Главным недостатком  алгебраических критериев является отсутствие наглядности.

Частотные критерии.

К ним относятся критерий устойчивости по Михайлову и критерий устойчивости по Найквисту.

 

 

2.2.1 Определение  устойчивости системы по критерию  Михайлова

 

Определение устойчивости по данному критерию ведётся по характеристическому  уравнению замкнутой системы:

 

W(p)=

 

A (p) =           

                                

Заменим комплексную переменную p мнимой переменной w, получим функцию мнимого переменного w, в которой w может принимать любое значение от + ¥ до -¥:

 

A(jw)=

 

Действительная часть функции:

 

P (w)=

 

Мнимая часть функции:

                                       Q (jw) = -

Строим график зависимости  действительной части характеристического  уравнения от его мнимой части. Данный график носит название годографа  Михайлова. Задаваясь значениями w от 0 до ¥, имеем следующую таблицу 2.1.

 

Таблица 2.1- Координаты точек  годографа Михайлова

ω	P(ω)	Q(iω)
0	16	0
20	-9.248	14.848
40	-1.792	-41.984
60	10.528	-93.696
80	92.288	-182.272
100	308	-320
120	740.608	-519.168
140	1491.488	-792.064
160	2680.448	-1150.976
180	4445.728	-1608.192
200	6944	-2176
+¥	+¥	-¥

 

 

Рисунок 2.2-Годограф Михайлова

 

Вывод: линейная система 4-ого  порядка устойчива, т.к. годограф Михайлова  выйдя из точки (16;0) на положительной  вещественной полуоси и последовательно  обходит четыре четверти, что соответствует  степени характеристического уравнения.

 

 

2.2.2 Определение  устойчивости системы по критерию  Найквиста

 

Широкое распространение  получил критерий устойчивости, основанный на рассмотрении частотных характеристик  системы автоматического управления. Этот критерий получил название амплитудно-фазового, или Найквиста.

Применение этого критерия целесообразно по следующим признакам:

1) Оценка устойчивости  системы автоматического управления  дается на основе передаточной  функции разомкнутой системы,  которая состоит из ряда сравнительно  простых сомножителей, содержащих  в качестве коэффициентов параметры  системы. Это позволяет в случае  рассмотрении сложных систем  выбрать параметры элементов  таким образом, чтобы система  была устойчива.

         2) Критерий позволяет использовать экспериментальные частотные характеристики вместо дифференцированных уравнений, когда составление этих уравнений представляет собой очень сложную работу.

3) Критерий устойчивости  Найквиста связывает исследование  устойчивости с последующим анализом  качества системы автоматического  управления.

По виду амплитудно-фазовой  характеристики разомкнутой системы  можно судить об устойчивости этой системы в замкнутом состоянии. Установлено, что замкнутая система  является устойчивой, если характеристика W(јω) не охватывает точку с координатой (-1;ј0) и неустойчива, если охватывает эту точку.

Для получения амплитудно-фазовой  характеристики не нужно производить  каких-либо математических преобразований, а достаточно в передаточной функции  разомкнутой системы заменить переменную р на jω, получим:

Wр.с (р)=

p   jw

 

 

   

 

 

Выделим действительную и  мнимую части АФХ.

        Действительная часть АФХ: 

 Р(ω) =

Мнимая часть АФХ:

Q(iω) =

 

Зная действительную и  мнимую часть АФХ, найдем точки кривой. Подставляя под ω значения от 0 до +∞, мы получим точки построения АФХ.

 

 

 

 

Таблица 2.2 -  Координаты точек  АФХ разомкнутой системы.

ω	Р	Q
0	0.0666667	0
20	0.2660561	0.3237836
40	-0.0629522	-0.0534225
60	-0.253345	0.0845303
80	-0.1581492	0.1511127
100	-0.0575865	0.0854959
120	-0.0236662	0.0466315
140	-0.0114043	0.0277308
160	-0.006187	0.0178034
180	-0.0036591	0.0121236
200	-0.0023088	0.0086394
∞	∞	0

 

Теперь по полученным точкам построим график АФХ разомкнутой системы.

Рисунок 2.3-График АФХ разомкнутой системы.

 

Систему можно считать  устойчивой, поскольку график не охватывает точку с координатами (-1;i0).

 

 

2.2.3 Определение  запасов устойчивости системы  по модулю и по фазе

 

Определение запасов устойчивости по модулю и  по фазе производиться по АФХ разомкнутой  системы. При приближении точки  пересечения АФХ замкнутой системы  с осью P(w) к точке В с координатами (-1; j0) устойчивая система приближается к границе устойчивости. Из этого следует, что степень устойчивости замкнутой системы находится в прямой зависимости от степени устойчивости удалённой точки пересечения АФХ разомкнутой системы с отрицательной вещественной полуосью от точки В.

Расстояние  C от точки пересечения до точки В называют запасом устойчивости системы по модулю. Он показывает на сколько должен измениться модуль АФХ системы при её неизменных фазовых соотношениях для выхода системы на границу устойчивости.

Угол  образованный вещественной отрицательной  полуосью и лучом, проведённым из начала координат через точку  пересечения АФХ с окружностью  единичного радиуса, имеющий цент в  начале координат, называют запасом  устойчивости системы по фазе. Он показывает, насколько взрастает запаздывание по фазе в системе на частоте среза  при неизменном коэффициенте усиления на этой частоте, чтобы система оказалась  на границе устойчивости. В связи  с этим воздействия на систему, приводящие к увеличению запаздывания в ней  без изменения коэффициента передачи системы, назовем возмущающим воздействием по фазе.

По  точкам постоим АФХ разомкнутой  системы и по ней найдём запас  устойчивости по модулю и обозначим на графике.

Запас устойчивости по модулю можно найти  как разность координат точек  пересечения КЧХ и точки В  по горизонтальной асимптоте.

Запас устойчивости системы  по модулю и по фазе определяется по АФХ разомкнутой системы.

Wр.с.(p)=            

Построю амплитудно-фазовую  характеристику для определения  запаса устойчивости системы по модулю и по фазе.

 

 

Рисунок 2.4 – Запас устойчивости по модулю и фазе

Вывод: исследовав АФХ, я  определил следующее: _{=68  C=0.86}

 

2.3 Определение  степени астатизма

 

В системе могут присутствовать звенья, у которых нет установившегося  значения. Примером может служить  электродвигатель, если за выходную его  величину принять угол поворота ротора.

Звенья  системы, имеющие статические характеристики, называют статическими, а не имеющие  статической характеристики – астатическими.

Если  в характеристическом уравнении  системы отсутствует какой-либо из коэффициентов, то такая система  является астатической. В зависимости  от того, какой коэффициент отсутствует, определяется степень астатизма. Если a₀=0, a₀=a₁=0, a₀=a₁=a₂=0, то система обладает астатизмом первого, второго, третьего порядка соответственно.

Рассмотрим  характеристическое уравнение исследуемой  системы:

 

A(p)=  

 

В данном характеристическом уравнении  присутствуют все коэффициенты:=16 a₁=0,64, a₂=0,0188, a₃=0,000256, a₄=0,0000048, следовательно исследуемая система астатическая, а степень астатизма первая.

 

          2.4 Построение частотных характеристик

 

Подавая на вход системы гармонические колебания  с одной и той же амплитудой, но с различными частотами, на выходе системы тоже получаем гармонические  колебания с теми же частотами, но различными амплитудами и фазами относительно входных колебаний.

Частотные характеристики широко используются в  инженерной практике при анализе, синтезе  и расчете АСР. Особым их достоинством является то, что их можно получить экспериментальным путем. Это особенно важно для систем, аналитические  уравнения которых не представляется возможным получить из-за их сложности  или малоизученности объекта  с точки зрения математического  описания технологического процесса.

Частотными характеристиками звена называют зависимость амплитуды  и фазы синусоидальных колебаний  от частоты, при прохождении этих колебаний через звено. Различают  АФХ (амплитудно-фазовая характеристика), ФЧХ (фазо-частотная характеристика), ВЧХ (вещественно- частотная характеристика) и КЧХ (качественно-частотная характеристика) или АЧХ (амплитудно-частотная характеристика).

Отношение выходной величины системы к входной  величине, выраженное в комплексной  форме называют комплексной частотной  характеристикой (КЧХ) или амплитудно–фазовой характеристикой (АФХ) системы.

Амплитудно–фазовая  характеристика системы не зависит  от времени. Если временная характеристика определяет поведение системы в  переходном процессе, то АФХ выражает зависимость параметров установившихся выходных колебаний от тех же параметров входных колебаний при различных  частотах. Однако, несмотря на то что  АФХ отображает только установившиеся процессы в системе, она в полной мере определяет также ее динамические свойства, подобно временной характеристике или дифференциальным уравнениям.

Для получения АФХ нужно  взять передаточную функцию замкнутой системы:

W (iω)=

 

Заменить оператор p на iω получим:

 

W(iω)=

 

W(iω)= =

 

Выделим действительную и  мнимую части АФХ.

Действительная часть  АФХ:

 

P(ω)=

 

Мнимая часть АФХ:

 

Q(iω)

 

Задаваясь различными значениями w от 0 до + ¥ , получаем координаты для каждой точки АФХ. Для этого построим таблицу 2.3:

 

Таблица 2.3 - Координаты точек построения АФХ.

ω	Р	Q
0	0.0625	0
20	0.3745234	0.1803562
40	-0.6038307	1.8072299
60	0.1103427	0.7640886
80	0.7997244	3.1304541
100	-0.0823614	-0.2925854
120	-0.0255311	-0.0917573
140	-0.0115103	-0.0434984
160	-0.0061221	-0.0246946
180	-0.0035997	-0.0155784
200	-0.002269	-0.0105434
∞	∞	0

По полученным точкам построим АФХ системы.

Рисунок 2.5 Амплитудно-фазовая характеристика

 

Зависимость отношения амплитуд выходных и входных колебаний  от их частоты называют амплитудно-частотной  характеристикой (АЧХ) системы.

 

АЧХ строят по замкнутой системе по задающему  воздействию:

 

φ(p)=W(p)/(1+W(p))

 

 

 

Задаваясь различными значениями w от 0 до + ¥ , получаем координаты для каждой точки АФХ замкнутой системы САУ. Для этого построим таблицу 2.4.

 

             Таблица 2.4 – Координаты точек  AЧХ замкнутой системы

ω	A
0	0.0666667
20	0.2757016
40	0.0627377
60	0.2533728
80	0.158172
100	0.0575927
120	0.0236679
140	0.0114048
160	0.0061872
180	0.0036592
200	0.0023089
∞	0