Изучение центрального соударения двух тел. Проверка второго закона Ньютона

Санкт-Петербургский национально-исследовательский  университет информационных технологий, механики и оптики

 

 

 

 

Отчёт по лабораторной работе №2

"Изучение  центрального соударения двух  тел. Проверка второго закона  Ньютона"

 

 

 

 

 

 

Выполнил:

(гр. № 1131)

Проверила: Фомичева Е.Е.

 

 

 

 

 

 

 

СПб, 2013 г.

Цель работы

1. Экспериментальная проверка законов упругого и неупругого центрального соударения для системы двух тележек, движущихся с малым трением.
2. Исследование зависимости ускорения тележки от приложенной силы и массы тележки.

Теоретические основы лабораторной работы

Часть 1

Рассмотрим абсолютно упругое центральное соударение двух тел массами и . При таком соударении в замкнутой системе двух тел выполняются законы сохранения импульса и энергии. Пусть до соударения движется только первое тело, тогда уравнения законов имеют вид

 ,       (1)

где – скорость первого тела до удара, и – соответственно, скорости первого и второго тел после удара. Считая скорость известной, найдем скорости обоих тел после удара. Пусть условия соударения таковы, что после удара оба тела продолжают двигаться параллельно той прямой, по которой двигалось первое тело до удара.

Введем координатную ось OX , сонаправленную с вектором (см. рис. 1.). Для проекций скоростей , из уравнений (1) получим систему двух уравнений:

   .      (2)

Умножим все слагаемые второго  уравнения на два, и перенесем  налево  в обоих уравнениях слагаемые, характеризующие импульс и энергию  первого тела:

     (3)

После удара скорость первого тела должна изменится. Поэтому содержимое скобок в левых частях уравнений (3) отлично от нуля, и для упрощения  системы можно поделить левые  и правые части нижнего уравнения  на соответствующие части верхнего уравнения. Результат деления сделаем  вторым уравнением системы:

.        (4)

Отсюда нетрудно найти окончательные  выражения для скоростей:

.        (5)

Из первого уравнения (5) следует, что в зависимости от соотношения  масс первое тело после соударения может:

а) продолжить движение вперед ( );

б) остановится ( );

в) поменять направление движения на противоположное ( ).

При абсолютно неупругом соударении рассмотренных выше тел, оба тела после удара двигаются как  одно целое с суммарной массой. В этом случае законы сохранения импульса и энергии принимают вид

.       (6)

Здесь – скорость тел после соударения, – потери механической энергии при соударении.

В первом уравнении (6)  равенство  векторов означает равенство их модулей, и для модуля скорости тел после  соударения из этого уравнения находим 

.         (7)

Подставив во второе уравнение системы (6) вместо скорости правую часть уравнения (7), получим следующее выражение для потерь механической энергии при соударении

.        (8)

Относительные потери механической энергии  при неупругом соударении вычисляются  по формуле

.        (9)

В качестве соударяющихся тел в  лабораторной работе выступают две  тележки, скользящие с малым трением  по горизонтальному рельсу.

Часть 2

Рассмотрим систему, состоящую из тележки M и гирьки m, соединенных невесомой нерастяжимой нитью (см. рис. 2.). Тележка с небольшим трением скользит по горизонтальному рельсу. Масса блока, через который перекинута нить, пренебрежимо мала.

Уравнения второго закона Ньютона  для тележки и гирьки, соответственно, имеют вид

;       (10)

.        (11)

Здесь , – ускорения тележки и гирьки; – сила реакции опоры, , – силы натяжения нити, – сила трения. Из-за нерастяжимости нити модули обоих ускорений равны друг другу, обозначим их одной буквой: . Из-за невесомости нити и блока можно также

принять: .

Для проекций векторов на координатные оси из уравнения (10) получаем

;         (12)

из уравнения (11):

.         (13)

 

 

 

 

 

 

Описание установки

Основу установки в  этой лабораторной работе составляет рельс, снабженный сантиметровой  шкалой на котором укреплены: фиксирующий  электромагнит и оптические ворота. Для создания воздушной подушки  также как в работе № 1 используется воздушный насос с источником питания ВС 4-12.

Промежутки времени и скорости тележек фиксируются с помощью  цифрового измерительного прибора  ПКЦ-3.

На правом конце рельса установлен шкив, применяемый во второй части  работы. Через него перебрасывается  нить, связывающая тележку с гирькой.

Вместе с пультом управления измерительного прибора на каждую лабораторную установку выдаются: две маркированные  тележки с флажками для оптических ворот; маркированный утяжелитель  для тележек; пара сменных втулок с рогатками и резиновыми кольцами для исследования упругого удара; пара сменных втулок с половинками  липучки для исследования неупругого удара; втулка с нитью и крючком-булавкой; маркированные шайбы-навески; таблица  с необходимыми массами принадлежностей. Маркировка тележек, утяжелителя и  шайб должна соответствовать номеру лабораторной установки.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обработка результатов измерений.

Упражнение 1.

Приборные погрешности:

;

;

;

 

 

Таблица 1.1

№ опыта	Тело 1	Тело 2	, м/с	, м/с	, м/с
1	Тележка 1 +2 пружины	Тележка 2 + 1 пружина	1,00	0	0,98
2			0,96	0	0,95
3			1,01	0	1,00
4			1,02	0	1,01
5			1,02	0	1,00

 

;

 ;

 

 

1. Оценим относительные потери импульса и кинетической энергии за счет трения по формулам

;

;

;

;

 

 

 

2. С помощью таблицы масс для таблицы 1.1 рассчитаем массы ,  соударяющихся тел. Найденные значения занесём в таблицу 4.1 . По данным таблицы 1.1 рассчитаем и занесём в таблицу 4.1 импульсы тел:

;

;

;

 

 

Таблица 4.1

№ опыта	, кг	, кг	, Н·с	, Н·с	, Н·с
1	0,320	0,3055		0		-0,065	-0,083
2				0		-0,055	-0,065
3				0		-0,053	-0,064
4				0		-0,052	-0,064
5				0		-0,061	-0,082

Пример расчета:

1. ;

3. Вычислим для каждой строки 4.1 относительные изменения импульса и кинетической энергии системы при соударении по формулам

;

;

Пример расчета:

 

;

 ;

 

 

Занесём результаты в таблицу. Рассчитаем средние значения , относительных потерь импульса и энергии по двум последним колонкам таблицы 4.1:

;  ;

Здесь i – номер опыта, N общее число опытов.

;

;

По разбросу отдельных значений , найти погрешности их средних значений,

  

где  – коэффициент Стьюдента для доверительной вероятности = 0,7 и количества измерений N. Сравнить разности , с соответствующими неопределенностями.

;

;

Сравним разности по формулам:

,054

 

 

 

Упражнение 2.

Таблица 3.1. Разгоняемое тело – тележка 1

№ опыта	Состав подвески	, с	, с
1	крючок +шайба 5	1,1	3,5
2	крючок +шайба 1	1,4	3,6
3	крючок +шайбы 1,5	0,8	2,2
4	крючок +шайбы 1,3	0,8	2,1
5	крючок +шайбы 1,4	0,6	2,0
6	крючок +шайбы 0,1,5	0,7	1,8

 

1. С помощью таблицы масс для таблицы 3.1 рассчитаем значения массы подвески . Найденные значения занесём в таблицу 6.1 .

Таблица 6.1

№ опыта	, г	, м/с2	, мН
1	14,78	0,118	143,4
2	15,47	0,118	150,1
3	26,76	0,310	254,5
4	27,72	0,345	262,6
5	27,08	0,357	256,2
6	32,91	0,473	307,6

 

2. Используя значения координат оптических ворот и данные из  таблицы 3.1, вычислим и запишем в таблицу 6.1 ускорение тележки и силу натяжения нити:

,  . 

Ускорение свободного падения взять   м/ с² (на широте С-Петербурга).

Пример расчета:

 м/с² ; мН

3. В соответствии со вторым законом Ньютона,

 если  сила трения не изменяется  во время эксперимента, то натяжение  нити связано с ускорением  линейной зависимостью:

.          

Угловой коэффициент  этой зависимости равен массе  тележки, а значение силы натяжения  при нулевом ускорении равно силе трения .

Пользуясь таблицей 6.1., нанесём экспериментальные точки на диаграмму от . Проведём аппроксимирующую прямую. Выберем на этой прямой достаточно удаленные друг от друга точки А(0,025;0,1) и В(0,4;0,28) . По их координатам вычислить массу тележки как угловой коэффициент прямой:

 

. 

 

4. По отклонениям ординат экспериментальных точек от соответствующих ординат точек аппроксимирующей прямой рассчитаем погрешность:

. 

 

 

 

 кг

5. Запишем найденный доверительный интервал для массы разгоняемой тележки:

.

               кг

 

 

Вывод: Масса разгоняемой тележки кг.