Изучение процессов заряда и разряда конденсатора

Министерство образования РФ

Московский  Государственный Авиационный Институт

(Технический Университет)

филиал «Восход»

Кафедра Б13 (ОТД)

 

 

 

“Утверждаю”

Старший преподаватель В.А. Суптеля

 

___________«______»________2003г.

 

 

 

 

 

 

 

 

ОТЧЁТ

по лабораторной работе

на тему «Изучение процессов заряда и разряда конденсатора»

по дисциплине: физика

 

 

 

 

 

 

 

 

 

студент группы ВВМ 2-52______________ ПодольскийС.А.

 

«___ »_________________ 2003 г.

 

 

 

 

Байконур 2003 г.

 

Цель работы: изучение кривых заряда и разряда конденсатора при различных параметрах RС электрической цепи и вычисление времени релаксации.

 

ВВЕДЕНИЕ

Рассмотрим процесс заряда конденсатора в электрической цепи, содержащей последовательно соединенные конденсатор С, сопротивление R и источник ЭДС e (Рис. 1). Первоначально конденсатор не заряжен. Пусть I, q, U- мгновенные значения тока, заряда и разности потенциалов между обкладками конденсатора. Полагаем, что токи и напряжения удовлетворяют условиям квазистационарности, т. е. мгновенное значение тока во всех сечениях провода и элементах цепи (Рис. 1) одно и то же, а соотношение между мгновенными значениями I, q и U такое же, как и в цепях постоянного тока. В момент времени t = 0 ключ К замкнули и в цепи пошел ток, заряжающий конденсатор

I = dq /dt,

где q, - заряд конденсатора. Применим закон Ома к цепи (Рис. 1):

IR = e - U        (1)

где R - полное сопротивление цепи, включающее внутреннее сопротивление источника ЭДС. Учитывая, что разность потенциалов на пластинах конденсатора U = q / С, запишем предыдущее уравнение в виде

dq /dt = (e - q /C) / R       (2)

Разделим переменные и проинтегрируем это уравнение с учетом начального условия при t = 0,  q = 0:

R C ln (1 - q / e C) = - t.

Откуда

q = qm (1 - e - t / R C)       (3)

где qm = e C - предельное значение заряда на конденсаторе.

Рис. 1     Рис.  2

Напряжение на конденсаторе изменяется по закону U = q /C = e (1 - e - t / R C) , закон изменения тока в цепи получим дифференцированием

I = dq /dt = I0 e - t / R C       (4)

где I0 = e /R. Графики зависимостей q (t) и I(t) представлены на Рис. 2.

  Рассмотрим процесс разряда  конденсатора емкостью С, пластины которого замкнуты сопротивлением R. Пусть dq - уменьшение заряда конденсатора за время dt. При разряде конденсатора в цепи (Рис. 3) протекает ток I = - dq /dt. Известно, что

q = CU

 где U- разность потенциалов на конденсаторе, а следовательно, и на сопротивлении R. По закону Ома имеем U= IR, тогда

- dq /dt = U/R = q /CR      (5)

Уравнение (5) показывает, что скорость уменьшения заряда конденсатора пропорциональна величине этого заряда. Интегрируя уравнение (5) при условии, что в момент времени t = 0 q = q0, получим

Рис. 3    Рис. 4

lnq /q =         (6)

откуда

q = q0 e- t /RC         (7)

Функция q (t) называется экспоненциальной. График зависимости q (t) приведен на Рис. 4. Закон изменения напряжения на конденсаторе в процессе разряда аналогичен (7):

U(t) = = U0 e - t /RC        (8)

где U0 = q0 /C.

Произведение RC имеет размерность времени t = RC и называется постоянной времени или временем релаксации t. За время t заряд конденсатора уменьшается в е раз. Для определения RС часто удобно измерять время, за которое величина заряда падает до половины первоначального значения, так называемое "половинное время" t1/2 . "Половинное время" определяется из выражения

 

е - t1/2 /RC = 1/2         (9)

 

Взяв натуральный логарифм от обеих частей уравнения (9), получаем

t1/2 = RC ln2 = RC∙0,693  или

RC = 1,4425 t1/2 .        (10)

Способ измерения постоянной времени состоит в определении t1/2 и умножении полученной величины на 1,44. Так как экспонента асимптотически приближается к оси абсцисс, то точно установить окончание процесса разряда конденсатора (так же как и процесса заряда) не представляется возможным. Поэтому целесообразно измерять время уменьшения величины заряда в 2 раза, т. е. "половинное  время". За каждый интервал времени t1/2 = 0,693 RС заряд на емкости уменьшается в два раза (Рис. 5).

Рис. 5

Если обкладки конденсатора попеременно подключать к источнику тока и к сопротивлению R (Рис. 6), то график процесса заряд-разряд конденсатора будет иметь вид, показанный на Рис. 7. Процесс заряда-разряда можно наблюдать с помощью осциллографа, подавая на вход Y напряжение с конденсатора С.

Рис. 6    Рис. 7

 

 

Основная часть

Упражнение 1: Изучение кривых заряда и разряда конденсатора:

 

Процесс заряда конденсатора

Таблица 1

 

x, 10-4 с	0	0.4	0.8	1	1.2
у, В	0	3.6	4.2	4.4	4.6

 

Процесс разряда конденсатора

Таблица 2

x, 10-4 с	0	0.4	0.6	1	1.2
у , В	4.4	2.4	1.6	0.2	0

 

 

 

 

При R2=103 Ом; с=2*10-2мкФ:

t1/2=0.25∙10-4с;  τ=0.36∙10-4с;  А=0.6944;

При R2=2∙103 Ом; с=10-2мкФ:

t1/2=0.24∙10-4с;  τ=0.3456∙10-4с; А=0.6944;

При R2=3∙103 Ом; с=10-2мкФ:

t1/2=0.22∙10-4с;  τ=0.31686∙10-4с; А=0.6944;

d=( Аср-Атеор)/ Атеор∙100%=(0.6944-0.693)/0.693=0.202%

 

Упражнение 2: Построение кривой разряда в логарифмическом масштабе:

Из формулы (8) находим

, логарифмируя левую и правую части формулы, получаем:     .

Воспользовавшись данными Таблицы 2, построим  логарифмическую зависимость, характеризующую изменение напряжения на конденсаторе за время t при разряде конденсатора, учитывая, что U0=Y(0), Y(t)=Y(X), X=t. Котангенс угла наклона полученной прямой есть характеристическое время релаксации заряда или постоянная времени RC.

ctg α=τ=RC.

Список использованной литературы

 

1. Калашников Э.Г., Электричество, «Наука» главная редакция физико-математической литературы, М. 1977.
2. Савельев И.В., Курс общей физики том 2, «Наука» главная редакция физико-математической литературы, М. 1973.
3. Яворский Б.М., Детлаф А.А., Милковская Л.Б., Электричество и магнетизм том 2, «Высшая школа», М. 1966.