Изучение спектра атома водорода. Определение постоянной ридберга

Page 1

Методическая разработка: Панков Сергей Евгеньевич
ТУЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСТИТЕТ
ЕСТЕСТВЕННО – НАУЧНЫЙ ФАКУЛЬТЕТ
КАФЕДРА ФИЗИКИ
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4.
ИЗУЧЕНИЕ СПЕКТРА АТОМА ВОДОРОДА.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННОЙ РИДБЕРГА.
Тула, 2006 г

---

Page 2

2
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4.
ИЗУЧЕНИЕ СПЕКТРА АТОМА ВОДОРОДА. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯН-
НОЙ РИДБЕРГА.
Цель работы: Исследовать спектр атомарного водорода, вычислить по-
стоянную Ридберга.
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ.
Квантовомеханический подход к изучению процессов поглощения ато-
мов позволяет их исследовать и объяснять. Состояние атома в квантовой ме-
ханике описывается волновой функцией ψ
n
, а его энергия Е
n
. В случае про-
стейшего атома - атома водорода, состоящего из протона и электрона, кван-
товая механика позволяет получить точные решения волнового уравнения
Шредингера (1):
2
2
2
0,
m
ke
E
r
ψ
ψ


∆ +
+
=




(1)
где m - масса электрона, е - его заряд, Е - полная энергия,
12
0
0
1
,
8,85 10
4
Ф
k
м
ε
πε
−
=
=
⋅
(для расчетов часто принимают k=9·10
9
м/Ф). Его
решение (получаемое в курсе «Квантовой теории») для атома водорода дает
набор дискретных уровней энергии. Для связанных состояний (E
n
<0):
2
4
2
2
1
,
2
n
k me
E
n
= −
(2)
где
34
10
05
.1
2
h
−
⋅
=
π
=
, n = 1,2,3,....- главное квантовое число. Обычно
формулу (2) записывают в виде:
2
1
,
n
E
A
n
= −
(2а)
где A=13,6 эВ.
С ростом n уровни энергии атома сближаются, в пределе (n→∞) дис-
кретный спектр приближается к непрерывному, а квантовая система к клас-
сической. Это и есть принцип соответствия Бора, который позволяет выра-
зить постоянную Ридберга через фундаментальные постоянные.
Для простоты Бор принял, что в атоме водорода электроны вращаются
вокруг протона по окружности радиусом r с циклической частотой ω, и, со-
гласно второму закону Ньютона, имеем:

---

Page 3

3
2
2
2
2
,
mV
ke
m r
r
r
ω
=
=
(3)
Согласно принципу квантования состояния электрона в атоме:
,
mVr n
=
(4)
Решение системы (3), (4) лает выражение для радиусов круговых орбит
электронов в атоме водорода:
2
2
2
,
n
r
n
kme
=
(5)
Полная энергия электрона в атоме есть сумма кинетической и потенци-
альной энергий:
2
2
2
n
mV
ke
E
r
=
−
(5а)
Выражая из системы уравнений (3), (4) скорость электрона, имеем:
2
ke
V
n
=
,
(5б)
Подставляя (5б) и (5) в (5а), получаем формулу, выражающую полную
энергию электрона в атоме водорода на n-ой стационарной орбите:
2 4
2 2
2
n
k e m
E
n
−
=
(5с)
Видно, что формула (5с), полученная с помощью постулатов Бора, сов-
падает с формулой (2), полученной с помощью
точного
решения уравнения
Шредингера для атома водорода.
Однако, к сожалению, теория Бора, достаточно правильно описывая за-
кономерности в атоме водорода и водородоподобных ионах (содержащих
один электрон), даёт неправильные результаты уже для атома гелия, сле-
дующего за водородом и содержащем всего два электрона. Таким образом,
теорию Бора можно рассматривать лишь как промежуточный этап на пути
поиска верной теории - квантовой механики, точно описывающий законо-
мерности микромира.
При переходе атома водорода из состояния n
2
с энергией Е
2
в состояние
n
1
с энергией Е
1
излучается квант света с частотой ω, равной:
2
1
.
E E
ω
− =
(6)

---

Page 4

4
Подставляя энергию электрона в состоянии n
2
и в состоянии n
1
из фор-
мулы (2) (или, что то же самое, из (5с)), имеем:
2 4
2
1
2
2
2
1
2
1
1
2
k e m
E E
n
n


− =
−




(7)
Далее, вспоминая, что
2
1
2
,
c
E E
π
ω ω
λ
− =
=
, можем записать:
2
2
1
2
1
1
1
,
R
n
n
λ


=
−




(8)
Формула (8) называется обобщенной формулой Бальмера. В данном
случае
4
7
1
3
2
3
0
1,097 10
64
me
R
м
c
π ε
−
=
=
⋅
. Следует отметить, что постоянную
Ридберга иногда вводят не для волнового числа
λ
1
, а для частоты ω. В
этом случае
16
1
'
2
= 2,067 · 10
R R
c
c
π
−
= ⋅
. В формуле (8) с увеличением n
2
раз-
ность между волновыми числами
λ
1
уменьшается, стремясь при n
2
→∞ к пре-
дельному значению (для n
1
=2 ,
4
R
1
=
λ
). При этом линии сближаются, и
уменьшается их интенсивность. Совокупность спектральных линий, законо-
мерно меняющих свою интенсивность, называют спектральной серией. Пре-
дельное волновое число при n
2
→∞ называется границей серии. Визуально
мы можем наблюдать только серию Бальмера: для водорода - n
1
=2,
n
2
=3,4,5... (рис.1). Однако, существуют и другие серии. Это, например, серия
Лаймана, все линии которой лежат в ультрафиолетовой области спектра. Для
этой серии n
1
=1. Линии остальных серий (Пашена, Брэкета, Пфунда и др.)
лежат в инфракрасной области спектра. Набор уровней энергии и возможные
переходы в атоме принято показывать на энергетической диаграмме, приве-
дённой на рисунке 1. Здесь принято Е
n
=W
n
– полная энергия электрона в ато-
ме на n- ом уровне.
Состояние атома, в котором электрон находится на низшем энергетиче-
ском уровне (для атома водорода это состояние с энергией Е
1
= -13,6 эВ), на-
зывается основным. Атом без внешних возмущений может находиться в этом
состоянии неопределённо долго. Энергетический уровень Е
1
, соответственно,
является бесконечно тонким. Этот вывод вытекает непосредственно из соот-
ношения неопределенностей:
1
1
E
τ
∆ ∆ ∼
, где
1
E
∆
- неопределенность зна-

---

Page 5

5
чения энергии,
1
τ
∆
- неопределенность времени пребывания атома в этом со-
стоянии. Так как
1
τ
∆ → ∞
, то
1
0
E
∆ → . Остальные энергетические уровни
являются возбужденными, так как возникают под действием внешних воз-
действий и могут существовать ограниченное время
τ
∆ , поэтому возбужден-
ные уровни несколько размыты, по порядку величины: E
τ
∆
∆
∼
.
Рис.1 Энергетическая диаграмма атома водорода.
H
α
H
β
H
γ
H
δ

---

Page 6

6
Методика эксперимента.
Приборы и оборудование.
Схема установки приведена на рисунке 2.
Модуль ФПК-09.
Установка содержит излучатель 1 и монохроматор 2. Блок излучателя
содержит лампу ТВС-15 (Н-образная разрядная трубка; Тлеющая Водородная
Спектральная), заполненную водородом, устройство ее питания и юстиро-
вочный узел. Наибольшая интенсивность линий достигается, если источни-
ком света служит торец горизонтальной части трубки (капилляра). Трубка
заполняется до давления 5-10 Торр. (1 Торр = 1 мм. рт. ст. = 1,33·10
2
Па).
В исходном состоянии излучатель отьюстирован. Вертикальная юсти-
ровка осуществляется перемещением держателя в рейтере. Горизонтальная
юстировка позволяет перемещать центр области свечения лампы относи-
тельно оси излучателя по горизонтали от 0 до 3 мм для лучшего совмещения
с выходным окном излучателя.
Монохроматор предназначен для
выделения и исследования монохрома-
тического излучения в спектральном
диапазоне от 2000 до 8000 ангстрем.
Для наблюдения спектра на выходной
патрубок надевается окуляр, положение
которого регулируется наблюдателем.
Сканирование спектра осуществляется
вращением ручки 3 рядом с индикатором цифрового счетчика длин волн 4.
Первые три цифры счетчика 4 соответствуют длине волны в нм, по барабану
с рисками отсчитываются десятые доли нм в том же окне (см. рис.3).
Под действием высокого напряжения, вырабатываемого блоком питания
лампы ТВС-15, электроны в атомах водорода переходят на высшие энергети-
ческие уровни. Через время ∆τ≈10
-9
с, они обязаны перейти на более низкий
энергетический уровень, испустив квант света, частота которого определяет-
ся формулой (6). Так как в трубке содержится огромное число атомов, то, под
действием напряжения, периодически электроны в них переходят на случай-
Рис.2. Блок-схема экспериментальной установки
3

---

Page 7

7
ный более возбужденный уровень, излучая квант света какой-то определен-
ной частоты – и, т. о., в объективе монохроматора мы видим весь набор спек-
тральных линий.
Следует отметить, что в спектре водородной трубке, как правило,
присутствуют линии молекулярного водорода, которые, однако, имеют
очень слабую интенсивность, по сравнению с линиями атомарного водо-
рода.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ.
Следует помнить, что в установке используется опасное для жизни
высокое 2кВ напряжение, поэтому необходимо проверить заземление
излучателя перед включением.
Так же рекомендуется ознакомиться с пас-
портом установки и монохроматора.
1. Установить выходное окно облучателя, содержащего водородную
трубку, напротив приемного окна монохроматора по оптической
схеме рис. 2.
2. Включить облучатель в сеть напряжением 2В.
3. Поставить на панели облучателя ФПК-09 переключатель «СЕТЬ» в
положение «ВКЛ», при этом должен загореться сигнальный свето-
диод на корпусе облучателя.
4. Дать прогреться водородной трубке в течение 5 – 7 минут.
5. Поставить щели, обеспечивающие возможность наблюдения спек-
тральных линий.
Для этого рекомендуется на входе зрительной
трубы монохроматора поставить щель 0,25 мм (или 1,0 мм) на
выходе – 1,0 мм.
6.
Поиск линий желательно начинать с наиболее интенсивной
красной линии Н
α
. Для этого следует медленно вращать
ручку 3
монохроматора в пределах 640 - 670 нм, дожидаясь появления в
смотровом окне монохроматора соответствующей линии, контро-
лируя значение длины волны по индикатору цифрового счетчика
длин волн 4.
Вращение ручки против часовой стрелки соответ-
ствует движению в область уменьшения длины волны, по ча-
совой – увеличение длины волны.
7. После обнаружения спектральной линии, для уточнения её поло-
жения (для уточнения длины волны λ) можно поставить щели
меньшой ширины, например
на входе 0,25 мм; на выходе 0,25
мм,
однако, следует помнить, что уменьшение ширины щелей со-
провождается резким уменьшением интенсивности света.
8. Записать значение длины волны Н
α
в таблицу 1.
9. Заменив щели на более широкие, обеспечивающие продолжение
поиска линий (
на входе 0,25 мм (или 1,0 мм) на выходе – 1,0 мм),
и, медленно вращая ручку монохроматора 3 в область уменьшения

---

Page 8

8
длины волны, продолжить поиск линий.
Следующая яркая ин-
тенсивная линия Н
β
– зелено-голубая.
В промежутке между Н
α
и
Н
β
располагаются несколько красно-желтых и зеленых сравни-
тельно слабых молекулярных полос, внимание на которые обра-
щать не следует.
10. Уточнив длину волны Н
β
, записать её значение в таблицу 1.
11. Продолжить поиск линий, вращая ручку в сторону уменьшения
длины волны.
Третья линия атомарного водорода - Н
γ
– фиоле-
тово-синяя.
Перед этой линий также могут располагаться слабые
размытые молекулярные полосы синего цвета.
12. Уточнив положение линии Н
γ
, записать значение длины волны,
соответствующей этой линии в таблицу 1.
13.
Четвертая линия - Н
δ
– фиолетовая (темно-фиолетовая).
Одна-
ко, её не всегда удается найти.
14. Если Н
δ
видна, также записать значение длины волны, соответст-
вующей этой линии в таблицу 1.
15. По окончании измерений отключить облучатель от сети, переведя
переключатель «СЕТЬ» на панели модуля в положение «ВЫКЛ».
16. Сравнить измеренные вами значения длин волн в серии Бальмера
с табличными значениями, приведенными в приложении.
17. Заполнить таблицу 1:
Обозначе-
ние линии
Номер орби-
ты, на кото-
рую осуще-
ствляется
переход, n
1
Номер орби-
ты, c кото-
рой осуще-
ствляется
переход, n
2
λ
эксп.,
×10
-9
, м
1
λ
,
×10
6
, м
-1
2
2
2
1
1
2
n


−




Н
α
3
Н
β
4
Н
γ
5
Н
δ
2
6
.
экспер
R R
R
=
± ∆
,
м
-1
... %
ε
=
18. Для серии Бальмера, формула (8) перепишется в виде:
2
2
1
1
1
4
R
n
λ


=
−




(9)
Для определения постоянной Ридберга можно воспользоваться ме-
тодом наименьших квадратов (см. приложение),
для чего следует постро-

---

Page 9

9
ить график функции
2
2
1
1
1
от
4 n
λ


−




. График, соответственно, должен иметь
вид прямой линии. Коэффициент наклона В прямой к оси абсцисс и будет яв-
ляться экспериментально найденным значением постоянной Ридберга R.
Метод наименьших квадратов позволяет также оценить значение ошибки в
определении постоянной Ридберга: ∆R=t·S
R
. Значение коэффициента t с учё-
том малости количества экспериментальных точек (3-4 точки) следует при-
нять
1,8
t =
. S
R
– стандартное отклонение коэффициента R. S
B
=S
R
. Формулы
для вычисления стандартных отклонений, а так же другую дополнительную
информацию см. в приложении.
Следует, однако, помнить, что график
имеет лишь формальный смысл и служит лишь для определения R, так
как главное квантовое число n
2
2
может принимать лишь целые значение
(номер энергетического уровня), и, соответственно значения
1
λ
так же
будут дискретны.
19.Найти относительную ошибку в определении постоянной Ридберга
по формуле:
.
100%
экспер
R
R
ε
∆
=
⋅
.
20. Сравнить полученное значение постоянной Ридберга R
экспер.
с тео-
ретическим значением
4
7
1
.
3
2
3
0
1,097 10
64
теоретич
me
R
м
c
π ε
−
=
=
⋅
.
Сде-
лать вывод о точности вашего эксперимента.

---

Page 10

10
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ.
1. Воспользовавшись квазиклассической теорией Бора, получить
формулу для энергии электрона Е
n
в однократно ионизированном
атоме гелия. В чём, по вашему мнению, основной недостаток тео-
рии Бора?
2. Пользуясь энергетической диаграммой для атома водорода, пред-
ставленной на рисунке 1, определите энергию ионизации атома
водорода. Определить по той же диаграмме первый потенциал
возбуждения атома водорода.
3. Что такое линейчатый и сплошной спектр? Какой спектр вы на-
блюдали в этом опыте?
4. Почему спектр водорода и других газов линейчатый, а спектр лам-
пы накаливания сплошной?
5. Получите обобщенную формулу Бальмера (8) и выражение
R
теоретич.
через основные константы.
6. Определить энергию фотона, испускаемого при переходе электро-
на в атоме водорода с третьего энергетического уровня на основ-
ной.
7. Во сколько раз минимальная длина волны в серии Пашена спектра
водорода больше максимальной длины волны в серии Бальмера?
8. Вычислить наибольшие длины волн в сериях Лаймана, Бальмера,
Пашена в спектре водорода.
9. Объясните причины размытия энергетических уровней электрона в
атоме. Какой уровень будет «размыт» в наименьшей степени. По-
чему?
10. Какой метод возбуждения атомов для получения спектра исполь-
зуется в данной установке? Объясните методику эксперимента:
необходимость в монохроматоре, принцип его устройства, прин-
цип работы излучателя.
11. Как вы думаете, как меняется после включения высокого напря-
жения сопротивление газоразрядного промежутка в лампе
ТВС-15? Чему равно сопротивление этого промежутка до включе-
ния и после? Почему происходит резкое изменение сопротивления
трубки? С какими физическими явлениями, происходящем в газе,
заполняющим трубку, это связано?

---

Page 11

11
ПРИЛОЖЕНИЕ

---

Page 12

12
Спектр атомарного водорода.
Название линии
Цвет
Длина волны λ, нм
Н
α
Красная
656,3
Н
β
Зелено - голубая
486,1
Н
γ
Фиолетово-синяя
434,0
Н
δ
Фиолетовая
410,2

---

Page 13

13
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
При составлении данного методического руководства использовалась
следующая литература, в которой можно найти все рассмотренные вопросы:
1. Иродов И. Е., Квантовая физика. Основные законы., М. 2002
2. Савельев И. В. Курс общей физики. М., 1982, т. 3
3. Шпольский Э. В., Атомная физика т.1, т.2
4. Лабораторный практикум по физике, под ред. К. А. Барсукова, М. 1988.
5. Курс физики, под редакцией Лозовского В.Н., С-Пб 2001.
6. М. И. Фугенфиров. Электрические схемы с газоразрядными лампами.