Электрическая цепь переменного тока

Содержание

    1.Оглавление

Постановка задачи 3

Теоретическая часть 5

Практическая часть 13

2. Решения систем дифференциальных уравнений (2) и (3) 13

2.1. Реализация решения в пакете MathCad, используя алгоритм модифицированного метода Эйлера (3 модификация) и метод Рунге-Кутта 13

3. Решение задачи аппроксимации зависимости I(t) на интервале 17

3.1. Реализация решения в пакете Excel. 17

3.2. Реализация решения в пакете MathCAD, используя алгоритм метода наименьших квадратов. 23

Заключение 27

Список литературы 28

 

Постановка задачи

Дана  схема электрической цепи, содержащая источник переменного тока, катушку  индуктивности, конденсатор, набор  резисторов и ключ  
(рис. 1).

Рис. 1.

Параметры элементов цепи:

 – гармонический источник  тока; = 15 В – амплитуда колебаний; – циклическая частота;  f, Гц – линейная частота; – фаза; t – текущее время; = 30 Ом, = 25 Ом, = 50 Ом, = 1,88 Ом, = 15 Ом, = 50 Ом – резисторы; L = 5,57 мГн – катушка индуктивности; C = 20 мкФ – конденсатор. Параметры f, для данного варианта принимают следующие значения: f  = 50 Гц; .

В начальный  момент времени  ключ находится в положении 1. При этом цепь разомкнута, напряжение на конденсаторе и ток в катушке равны нулю (U = 0, I = 0). Происходит первое переключение ключа (ключ мгновенно переводится в положение 2). При этом происходит заряд конденсатора, меняются значения U и I.

В момент времени  ключ мгновенно переключается в положение 1. Конденсатор разряжается, вновь меняются значения U и I. Анализ схемы заканчивается в момент .

 

Вывод системы дифференциальных уравнений.

В соответствии с рисунком запишем выражения  для I и II законов Кирхгофа для положения ключа 1:

                                (1)

Систему (1) можно преобразовать, исключив токи I₁ и I₂. Тогда для величин I и U получим систему дифференциальных уравнений первого порядка:

           (2)

Аналогично  может быть получена система дифференциальных уравнений для величин I и U при положении ключа 2. В этом случае имеем:

     (3)

В интервале  решается система (3) с начальными условиями: 
; В интервале решается система (2). В качестве начальных условий для системы (2) , следует использовать соответствующие значения, полученные в результате решения системы (3).

 

Теоретическая часть

1. Аппроксимация – это задача, в результате решения которой находят некоторую аппроксимирующую функцию f(х),  такую, чтобы отклонения ее от заданной табличной функции было наименьшим. Чаще всего функцию f(х) представляют в виде полинома по степеням х. Общий вид полинома n-ой степени:  f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ.

 

2. Метод наименьших квадратов. Пусть общее количество точек равно m. Неизвестные коэффициенты а₀,а₁,…a_n, n находим из условия минимизации суммы квадратов отклонений искомой функции от исходных точек. Опуская промежуточные преобразования, получим систему уравнений: Z⋅A=B, где Z – квадратная матрица размерностью (n+1)x(n+1), составленная из известных координат точек, А – вектор неизвестных коэффициентов; В – вектор-столбец свободных членов (i=1,m).

;  ;    (1)

 

3. Интерполяция – является частным случаем аппроксимации. Это задача о нахождении такой аналитической функции f(х), которая принимает в точках (узлах) x_i заданные значения y_i

 

4. Метод неопределенных  коэффициентов

  Пусть табличная функция содержит m точек. В этом случае можно построить различные виды кусочной интерполяции (кусочно-линейная, кусочно-параболическая и т.д.). В случае непрерывной интерполяции, когда используются все точки одновременно, функцию f(х) будем искать в виде полинома степени n: f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+…a_nxⁿ. Степень полинома  всегда  на  единицу меньше числа точек. Следовательно, справедливо соотношение: n=m-1.

Для  нахождения неизвестных коэффициентов  необходимо построить  систему линейных уравнений m-го порядка из условия прохождения полинома через все m точек:

Данную  систему можно решить методом  Гаусса, Зейделя, Простой интерации, а также использованием специальных  утилит.

;  ;  (2)

 

 

5. Численное  интегрирование 

5.1. Метод левых прямоугольников

Разделим отрезок [a; b] на n равных частей, т.е. на n элементарных отрезков. Длина каждого элементарного  отрезка h=. Точки деления будут: x₀=a; x₁=a+h; x₂=a+2× h, ... , x_n-1=a+(n-1)× h; x_n=b. Эти числа будем называть узлами. Вычислим значения функции f(x) в узлах, обозначим их y₀, y₁, y₂, ... , y_n. Значит, y₀=f(a), y₁=f(x₁), y₂=f(x₂), ... , y_n=f(b). Числа y₀, y₁, y₂, ... , y_n являются ординатами точек графика функции, соответствующих абсциссам x₀, x₁, x₂, ... , x_n. Площадь криволинейной трапеции приближенно равна площади многоугольника, составленного из n прямоугольников. Таким образом, вычисление определенного интеграла сводится к нахождению суммы n элементарных прямоугольников.

Формула левых прямоугольников:

S 

 

 

Рис.1.

 

5.2. Метод средних прямоугольников

Разделим  отрезок [a; b] на n равных частей, т.е. на n элементарных отрезков. Длина каждого  элементарного отрезка h=. Точки деления будут: x₀=a; x₁=a+h; x₂=a+2× h, ... , x_n-1=a+(n-1)× h; x_n=b. Эти числа будем называть узлами. Вычислим значения функции f(x) в узлах, обозначим их y₀, y₁, y₂, ... , y_n. Значит, y₀=f(a), y₁=f(x₁), y₂=f(x₂), ... , y_n=f(b). Числа y₀, y₁, y₂, ... , y_n являются ординатами точек графика функции, соответствующих абсциссам x₀, x₁, x₂, ... , x_n. Площадь криволинейной трапеции приближенно равна площади многоугольника, составленного из n прямоугольников. Таким образом, вычисление определенного интеграла сводится к нахождению суммы n элементарных прямоугольников.

 

 

 

 

 

 

5.3. Формула средних прямоугольников

S)

Рис.2

5.4. Метод правых прямоугольников

Разделим отрезок [a; b] на n равных частей, т.е. на n элементарных отрезков. Длина каждого элементарного  отрезка h=. Точки деления будут: x₀=a; x₁=a+h; x₂=a+2× h, ... , x_n-1=a+(n-1)× h; x_n=b. Эти числа будем называть узлами. Вычислим значения функции f(x) в узлах, обозначим их y₀, y₁, y₂, ... , y_n. Значит, y₀=f(a), y₁=f(x₁), y₂=f(x₂), ... , y_n=f(b). Числа y₀, y₁, y₂, ... , y_n являются ординатами точек графика функции, соответствующих абсциссам x₀, x₁, x₂, ... , x_n. Площадь криволинейной трапеции приближенно равна площади многоугольника, составленного из n прямоугольников. Таким образом, вычисление определенного интеграла сводится к нахождению суммы n элементарных прямоугольников.

5.5. Формула правых прямоугольников

S

 

 

Рис.3

 

5.6. Метод Симпсона

Геометрически иллюстрация  формулы Симпсона состоит в том, что на каждом из сдвоенных частичных  отрезков заменяем дугу данной кривой дугой графика квадратного трехчлена.

Разобьем отрезок  интегрирования [a; b] на 2× n равных частей длины h=. Обозначим точки разбиения x₀=a; x₁=x₀+h, ... , x_i=x₀+i× h, ..., x_2n=b. Значения функции f в точках x_i обозначим y_i, т.е. y_i=f(x_i). Тогда согласно методу Симпсона

S

 

 

Рис.4.

5.7. Метод трапеций

Разделим отрезок [a; b] на n равных частей, т.е. на n элементарных отрезков. Длина каждого элементарного  отрезка h=. Точки деления будут: x₀=a; x₁=a+h; x₂=a+2× h, ... , x_n-1=a+(n-1)× h; x_n=b. Эти числа будем называть узлами. Вычислим значения функции f(x) в узлах, обозначим их y₀, y₁, y₂, ... , y_n. Cтало быть, y₀=f(a), y₁=f(x₁), y₂=f(x₂), ... , y_n=f(b). Числа y₀, y₁, y₂, ... , y_n являются ординатами точек графика функции, соответствующих абсциссам x₀, x₁, x₂, ... , x_n

Формула трапеций:

S

Формула означает, что площадь криволинейной трапеции приближенно равна площади многоугольника, составленного из n трапеций (рис. 5); при этом кривая заменяется вписанной в нее ломаной.

Рис.5 

Рис.6

6. Постановка задачи Коши

Определение. Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию, называется задачей Коши.

Из всех разделов математического  анализа, дифференциальные уравнения  являются одним из самых важных по своим приложениям, ибо решая  дифференциальное уравнение, т.е. находя некоторую функцию, мы устанавливаем  закон, по которому происходит то или  иное явление или процесс.

Определение. Решить задачу Коши для уравнения y'=f(x,y) (6.1) – это значит найти решение уравнения y'=f(x,y) в виде функции у(х), удовлетворяющей начальному условию у(х0)=у0

Геометрически это означает, что требуется найти интегральную кривую у=у(х), проходящую через заданную точку M0(x0,y0) при выполнении равенства (6.1).

В классическом анализе разработано  немало приемов нахождения решений  дифференциальных уравнений через  элементарные функции. Между тем  весьма часто при решении практических задач эти методы оказываются  либо совсем беспомощными, либо их решение  связывается с недопустимыми  затратами усилий и времени.

Например дифференциальное уравнение у'=у2+х2 не имеет аналитического решения.

По этой причине для  решения задач практически созданы  методы приближенного решения дифференциальных уравнений.

Чаще всего  при численном решении дифференциальных уравнений получают решение в  виде таблицы, либо строится график искомой  функции (что почти равносильно).

7. Разностные схемы Эйлера

В основе метода Эйлера лежит идея графического построения решения дифференциального уравнения. Однако этот метод дает одновременно и способ нахождения искомой функции в табличной форме.

Пусть дано дифференциальное уравнение. Найти  приближенное численное решение  этого дифференциального уравнения, т.е. составить таблицу приближенных значений функции у=у(х) удовлетворяющей  заданным начальным условиям.

x	x0	x1	x2	x3	x4	x5	…	xn
y	y0	y1	y2	y3	y4	y5	…	yn

Где, x_i=x₀+i× h, h=– шаг таблицы.

Приближенно можно считать, что правая часть  остается постоянной на каждом из отрезков между точками деления. Метод  Эйлера состоит в непосредственной замене производной разностными  отношениями по приближенной формуле:

 

y-y₀=f(x₀,y₀)× (x-x₀)

y=y₀+f(x₀,y₀)× (x-x₀)

если x=x₁, то

y₁=y₀+f(x₀,y₀)× (x₁-x₀)

y₁=y₀+h× f(x₀,y₀)

D y₀=h× f(x₀,y₀)

если x=x₂, то

y₂₌y₁+f(x₁,y₁)× (x₂-x₁)

y₂=y₁+h× f(x₁,y₁)

D y₁=h× f(x₁,y₁)

…

если x=x_i+1, то

y_i+1=y_i+h× f(x_i,y_i)

D y_i=h× f(x_i,y_i)

Таким образом, получение таблицы значений искомой функции у(х) по методу Эйлера заключается в циклическом применении пары формул:

D y_k=h× f(x_k,y_k)

y_k+1=y_k+D y_k

где k=0, 1, 2, … ,n

Геометрически эти формулы означают, что на отрезке [x_i, x_i+1] интегральная кривая заменяется отрезком касательной к кривой (см. рис. 7, рис. 8).

Рис.7                                                                   Рис.8

8. Метод Рунге-Кутта второго порядка (Метод Эйлера-Коши)

Рассмотрим  метод Рунге-Кутта второго порядка. В этом методе величины y_i+1 вычисляются по следующим формулам:

y_i+1 = y_i + D y_i

D y_i=D y_i1+D y_i2

   ,    

См. рис. 1

Тогда.

Обозначим , тогда

Геометрически это означает, что мы определяем направление интегральной кривой в  исходной точке (x_i, y_i) и во вспомогательной точке , а в качестве окончательного берем среднее из этих направлений.

9. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка

В вычислительной практике наиболее часто используется метод Рунге-Кутта четвертого порядка.

В этом методе величины y_i+1 вычисляются по следующим формулам:

y_i+1 = y_i + D y_i

D y_i=h× (k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)/6, i = 0, 1, ...

k₁ = f(x_i, y_i),

k₂ = f(x_i+h/2, y_i+h× k₁/2),

k₃ = f(x_i+h/2, y_i+h× k₂/2),

k₄ = f(x_i+h, y_i+h× k₃).

 

 

 

2. Решения систем дифференциальных уравнений.

2.1. В пакете MathCad, используя алгоритм модифицированного метода Эйлера (3 модификация) и метод Рунге-Кутта

 

 

Решение системы  дифференциальных уравнений.

Параметры элементов цепи: