Электрическое смещение

 

 

ИНСТИТУТ МАШИНОСТРОЕНИЯ И МЕХАНИКИ

МЭИ (ТУ)

 

 

 

 

 

 

 

КАФЕДРА ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

 И ЯДЕРНОГО СИНТЕЗА

 

 

 

 

 

 

 

 

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ

по 

ЭЛЕКТРОСТАТИКЕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Студент:                  Лямасов А.К

 

Преподаватель:       Манухин

 

Группа:                   С-08-05

 

 

 

 

 

 

 

Москва 2006

 

 

 

 

Условие:

 

Длинная коаксиальная цилиндрическая система образована цилиндрическим диэлектрическим стержнем. Радиус стержня  R₁, относительная диэлектрическая проницаемость ε₁, объемная плотность заряда ρ. Металлическая труба имеет внутренний радиус  R₂ и наружный радиус R_3. На единице длинны трубы находится заряд τ. Металлическая труба окружена цилиндрическим слоем диэлектрика радиусов R₃ и R₄ относительная диэлектрическая проницаемость которого равна ε₂ .

 

Необходимо:

 

1) Рассчитать напряженность электрического поля, электрическое смещение и электрический потенциал в точках А, В, С, Д.

Принять начало отсчета потенциала на оси симметрии системы.

2) Построить графики E(r), D(r) и φ(r).

3) Найти поверхностную плотность  связных зарядов на границах диэлектриков.

4) Рассчитать энергию электрического  поля заданной системы, приходящуюся  на единицу длинны в цилиндре радиуса r_D .

5) Определить поверхностную плотность  свободных зарядов на внутренней  и внешней поверхностях металлической  трубы.

6) Рассчитать потенциальную энергию электрического диполя Р_е =1·10^-28 Кл·м, находящегося в точке Д и ориентированного под углом α к радиальному направлению. Определить момент сил, вращающих электрический диполь.

 

 

 

№ вар.	ρ·103, Кл/м3	ε1	ε2	R1, см	R2, см	R3, см	R4, см	rА, см	rВ, см	rС, см	rД, см	τ·106, Кл/м	α, рад
13	0,2	2	2,5	1	3	5	6	0,5	1,5	5,5	7	-0,2	π/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) Рассчитаем напряженность электрического поля, электрическое смещение и электрический потенциал в точках А, В, С, Д.

 

Выделим в заданной системе пять областей:

I, для r<R₁

II, для R₁<r<R₂

III, для R₂<r<R₃

IV, для R₃<r<R₄

V, для r >R₄

в которых последовательно применим теорему Гаусса в виде:

 

На любой цилиндрической поверхности, концентрической с данными, величина D постоянная, так что в качестве гауссовых поверхностей выберем цилиндры.

Тогда распишем правую часть теоремы Гаусса:

 

I, r<R₁

 

, а так как , то

 

II, R₁<r<R₂

 

 и 

 

III, для R₂<r<R₃

 

Точки с координатами r находятся внутри проводника, следовательно:

 

 и 

 

IV, R₃<r<R₄

 

 и 

 

 

 

 

 

 

 

 

V, для r >R₄

 

 и 

 

Используя связь между Е и φ, найдем зависимость  φ(r).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) Подставим значения расстояний  точек, в которых необходимо  найти электрического поля, электрическое  смещение и электрический потенциал, в соответствующие области функций E(r), D(r) и φ(r).

 

Получим:

 

Точка	D·106, Кл	E·10-3, В/м	φ, В
А	0,5	28,3	-70,6
В	0,67	75,3	-740,6
С	-0,39	-17,9	-1430
Д	-0,31	-35,2	-963,7

 

 

3) Найдем поверхностную плотность  связных зарядов на границах  диэлектриков:

 

Для нахождения поверхностной плотности  связных зарядов на внутренней и  внешней поверхности диэлектрика  воспользуемся выражением, связывающим  скачки векторов и с поверхностными поверхностями зарядов:

 

, причем 

 

Откуда получаем

 

 

Рассчитаем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4) Рассчитаем энергию электрического поля заданной системы, приходящуюся на единицу длинны в цилиндре радиуса r_D :

 

Дж/м

 

5) Определим поверхностную плотность  свободных зарядов на внутренней  и внешней поверхностях металлической  трубы:

 

 

Значит получим:

 

Кл/м²

 Кл/м²

 

6) Рассчитаем потенциальную энергию электрического диполя Р_е =1·10^-28 Кл·м, находящегося в точке Д и ориентированного под углом α к радиальному направлению. Определим момент сил, вращающих электрический диполь.

 

Известно, что:   и , тогда получаем:

 

Н·м

 

Дж

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Все расчеты проведены в программном  обеспечении Mathcad 11 и приведены ниже:

 

4.

5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При построении графиков учтем, что  τ<0, поэтому в зависимостях E(r), D(r) в четвертой и пятой областях получаем числитель <0: