Электростатическое поле в вакууме

Приведите в конспекте  вывод формул (3), (5), (6), (7).

Докажите утверждения:

1. Силовые линии перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.
2. Вектор напряженности направлен в сторону максимального убывания потенциала.
3. Электрическое поле в проводнике равно нулю.
4. Потенциал во всех точках однородного проводника одинаков.

Расчетное задание.

Выполните расчеты, соответствующие  п.1 упражнения 1 и п. 2 упражнения 2.

Выполнение  работы

Упражнение 1.  Напряженность и потенциал электрического поля диполя.

1. Точечные заряды и расположены в точках с координатами      (- , 0) и ( , 0). Выберите параметры из таблицы 1 в соответствии с номером вашей бригады. Рассчитайте по формулам  (5), (6) потенциал и модуль вектора напряженности электрического поля в точке с координатами .

Таблица 1

Номер бригады		, пКл (1пКл=10-12 Кл)	, мм	, мм	, мм
Комната "А"	Комната "В"
1	6	10	20	10	60
2	5	10	40	40	80
3	4	20	20	-20	60
4	3	20	40	-20	80
5	2	40	20	20	70
6	1	40	40	30	70

2. Определите в точке   при помощи "зонда" (см. раздел "Как пользоваться компьютерной программой") величины , , . Для определения измерьте потенциал в точках и , где 20 мм. Затем рассчитайте по формуле

.

Аналогичным способом определите :

.

 Рассчитайте  . Сравните полученные результаты для потенциала и модуля напряженности с расчетами по формулам (5), (6).

3. Определите модуль вектора напряженности в точке при помощи двойного зонда (см. раздел "Как пользоваться компьютерной программой").
4. Результаты измерений и расчетов сведите в таблицу.

, В	, В	, В/м	, В/м	, В/м	В/м	, В/м
формула (5)	зонд	формула (6)	двойной зонд, 1 мм	измерено при  20 мм

В чем причина различий между  и ? Какое значение является более точным? В чем причина различий между , и ? Какое из значений является более точным? Ответы на эти вопросы сформулируйте в виде выводов по данному упражнению.

5. Постройте с равным шагом (по потенциалу) семейство эквипотенциальных поверхностей. Картину распечатайте (или перерисуйте в тетрадь). Проведите несколько силовых линий.

Упражнение 2. Электрическое поле двух точечных зарядов произвольной величины, расположенных на расстоянии друг от друга.

1. Постройте семейство эквипотенциальных поверхностей  поля системы зарядов и . Докажите, что в дальней зоне электрическое поле слабо отличается от поля точечного заряда. Для этого можно измерить и рассчитать по формуле потенциал в достаточно удаленной точке.
2. Расстояние между зарядами и установите равным L = 80 или L = 120 мм. "Экспериментально" найдите потенциал точки, в которой происходит объединение двух эквипотенциальных поверхностей в одну, охватывающую оба точечных заряда. Учитывая, что в такой особой точке напряженность электрического поля должна быть равна нулю, из уравнений

,               

рассчитайте потенциал "критической" эквипотенциальной поверхности, проходящей через особую точку. Сравните рассчитанное значение с "экспериментальным". Картину эквипотенциальных поверхностей распечатайте или зарисуйте.

3. (Выполняется по согласованию с преподавателем) Повторите пункт 2 для системы зарядов , (формулы для расчета получите сами). Расстояние между зарядами примите равным 10,  20 или 40 мм.

Упражнение 3. Электрическое поле заряженного проводящего эллипсоида вращения ( ось симметрии эллипсоида вращения, и - большая и малая полуоси; их значения выбираются по указанию преподавателя).

1. Убедитесь, что заряд распределен по поверхности неравномерно. Для этого определите максимальную и минимальную плотности поверхностного заряда на эллипсоиде. Используйте двойной зонд и формулу (7). Обратите внимание: поверхностная плотность заряда максимальна у "острых" концов эллипсоида, обладающих максимальной кривизной поверхности, и минимальна у "тупых" концов. При проведении "эксперимента" будьте внимательны: двойной зонд должен располагаться вблизи поверхности проводника, но не попадать внутрь проводника.
2. Подтвердите измерениями вывод теории: если заряд проводника увеличить в n раз, то поверхностная плотность заряда в любой точке его поверхности также увеличится в n раз. Эксперимент проведите для двух точек поверхности (например, обладающих максимальной и минимальной кривизной).
3. Закон распределения заряда по поверхности зависит от формы проводника. Убедитесь в этом, проведя измерения и для эллипсоидов с различным отношением полуосей . Постройте график зависимости от .
4. Сформулируйте выводы.

Упражнение 4 (дополнительное). Точечный заряд вблизи нейтральной проводящей сферы.

1. Постройте семейство эквипотенциальных поверхностей.
2. Определить максимальную и минимальную плотности поверхностного заряда на сфере.
3. Определите координаты точек на поверхности сферы, в которых происходит смена знака поверхностного заряда.

Рекомендуемая литература

1. И.Е. Иродов. Электромагнетизм. Основные законы. Москва-Санкт-Петербург: ФИЗМАТЛИТ, 2001. §1.1-1.7, 2.1,2.2, 2.5.
2. Савельев И.В. Курс общей физики. Электричество и магнетизм. Москва.: Астрель. АСТ, 2001, §§ 1.1-1.14, 3.1-3.2.

Приложение

Из формулы (1) и принципа суперпозиции в электростатике доказывается теорема Гаусса, из которой следует, что для произвольной замкнутой поверхности S, внутри которой отсутствуют заряды,

.                                                               (П1)

Из формулы (1) и принципа суперпозиции вытекает также условие  потенциальности электростатического поля

,                                                               (П2)

где L - произвольный замкнутый контур. Уравнения (П1), (П2) могут быть записаны в дифференциальном виде:

,                                                                (П3)

.                                                                (П4)

где введены общепринятые обозначения (дивергенция и ротор  вектора)

,

,

( - орты осей прямоугольной системы координат ).

Решение уравнения (П4) можно  записать через потенциал :

                                    (П5)

(поскольку для произвольной  функции  имеет место равенство , то уравнение (П4) выполняется автоматически). Подставляя (П5) в (П3), и учитывая, что

,

получим уравнение Лапласа (2).