Электростатика

 

Министерство образования и науки РФ

 

 

 

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

 

«СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

 

Институт металлургии и материаловедения

 

 

 

Кафедра физики

 

 

 

Реферат по физике на тему :

 

 

 

«Электростатика»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Новокузнецк

 

2013 г.

 

 

Содержание

 

Содержание. 2

 

Введение. 3

 

1. История. 4

 

2. Потенциал. 8

 

3. Электростатика Максвелла. 11

 

4. Формула Грина. 15

 

5. Примеры.. 16

 

5.1. Пример 1. 16

 

5.2. Пример 2. 17

 

5.3. Пример 3. 18

 

6. Диэлектрическая проницаемость. 18

 

6.1. Граничные условия. 20

 

Литература. 21

 

 

 

 

Введение

 

Электростатика — раздел учения об электричестве, изучающий взаимодействие неподвижных электрических зарядов.

 

Между одноимённо заряженными телами возникает электростатическое (или кулоновское) отталкивание, а между разноимённо заряженными — электростатическое притяжение. Явление отталкивания одноименных зарядов лежит в основе создания электроскопа — прибора для обнаружения электрических зарядов.

 

В основе электростатики лежит закон Кулона. Этот закон описывает взаимодействие точечных электрических зарядов.

 

 

1. История

 

Основание электростатики положили работы Кулона (хотя за десять лет до него такие же результаты, даже с ещё большей точностью, получил Кавендиш. Результаты работ Кавендиша хранились в семейном архиве и были опубликованы только спустя сто лет); найденный последним закон электрических взаимодействий дал возможность Грину, Гауссу и Пуассону создать изящную в математическом отношении теорию. Самую существенную часть электростатики составляет теория потенциала, созданная Грином и Гауссом. Очень много опытных исследований по электростатике было произведено Рисом ^[1] книги которого составляли в прежнее время главное пособие при изучении этих явлений.

 

Опыты Фарадея, произведенные ещё в первую половину тридцатых годов XIX века, должны были повлечь за собой коренное изменение в основных положениях учения об электрических явлениях. Эти опыты указали, что то, что считалось совершенно пассивно относящимся к электричеству, а именно, изолирующие вещества или, как их назвал Фарадей, диэлектрики, имеет определяющее значение во всех электрических процессах и, в частности, в самой электризации проводников. Эти опыты обнаружили, что вещество изолирующего слоя между двумя поверхностями конденсатора играет важную роль в величине электроёмкости этого конденсатора. Замена воздуха, как изолирующего слоя между поверхностями конденсатора, каким-либо другим жидким или твёрдым изолятором производит на величину электроемкости конденсатора такое же действие, какое оказывает соответствующее уменьшение расстояния между этими поверхностями при сохранении воздуха в качестве изолятора. При замене слоя воздуха слоем другого жидкого или твёрдого диэлектрика электроемкость конденсатора увеличивается в K раз. Эта величина K названа Фарадеем индуктивной способностью данного диэлектрика. Сегодня величину K называют обыкновенно диэлектрической проницаемостью этого изолирующего вещества.

 

Такое же изменение электрической ёмкости происходит и в каждом отдельном проводящем теле, когда это тело из воздуха переносится в другую изолирующую среду. Но изменение электроемкости тела влечет за собой изменение величины заряда на этом теле при данном потенциале на нём, а также и обратно, изменение потенциала тела при данном заряде его. Вместе с этим оно изменяет и электрическую энергию тела. Итак, значение изолирующей среды, в которой помещены электризуемые тела или которая отделяет собой поверхности конденсатора, является крайне существенным. Изолирующее вещество не только удерживает электрический заряд на поверхности тела, оно влияет на само электрическое состояние последнего. Таково заключение, к какому привели Фарадея его опыты. Это заключение вполне соответствовало основному взгляду Фарадея на электрические действия.

 

Согласно гипотезе Кулона, электрические действия между телами рассматривались, как действия, которые происходят на расстоянии. Принималось, что два заряда q и q', мысленно сосредоточенные в двух точках, отстоящих друг от друга на расстояние r, отталкивают или притягивают один другого по направлению линии, соединяющей эти две точки, с силой, которая определяется формулой

 

 

причём коэффициент C является зависящим исключительно только от единиц, служащих для измерения величин q, r и f. Природа среды, внутри которой находятся данные две точки с зарядами q и q', предполагалось, не имеет никакого значения, не влияет на величину f. Фарадей держался совершенно иного взгляда на это. По его мнению, наэлектризованное тело только кажущимся образом действует на другое тело, находящееся в некотором расстоянии от него; на самом деле электризуемое тело лишь вызывает особые изменения в соприкасающейся с ним изолирующей среде, которые передаются в этой среде от слоя к слою, достигают, наконец, слоя, непосредственно прилегающего к другому рассматриваемому телу и производят там то, что представляется непосредственным действием первого тела на второе через отделяющую их среду. При таком воззрении на электрические действия закон Кулона, выражающийся вышепривёденной формулой, может служить только для описания того, что даёт наблюдение, и нисколько не выражает истинного процесса, происходящего при этом. Тогда становится понятным, что вообще электрические действия меняются при перемене изолирующей среды, поскольку в этом случае должны изменяться и те деформации, какие возникают в пространстве между двумя, по-видимому, действующими друг на друга наэлектризованными телами. Закон Кулона, так сказать, описывающий внешним образом явление, должен быть заменён другим, в который входит характеристика природы изолирующей среды. Для изотропной и однородной среды закон Кулона, как показали дальнейшие исследования, может быть выражен следующей формулой:

 

 

Здесь K обозначает то, что выше названо диэлектрической постоянной данной изолирующей среды. Величина K для воздуха равна единице, т. е. для воздуха взаимодействие между двумя точками с зарядами q и q' выражается так, как принял это Кулон.

 

Согласно основной идее Фарадея, окружающая изолирующая среда или, лучше, те изменения (поляризация среды), какие под влиянием процесса, приводящего тела в электрическое состояние, являются в наполняющем эту среду эфире, представляют собою причину всех наблюдаемых нами электрических действий. По Фарадею самая электризация проводников на их поверхности — лишь следствие влияния на них поляризованной окружающей среды. Изолирующая среда при этом находится в напряженном состоянии. На основании весьма простых опытов Фарадей пришёл к заключению, что при возбуждении электрической поляризации в какой-либо среде, при возбуждении, как говорят теперь, электрического поля, в этой среде должно существовать натяжение вдоль силовых линий (силовая линия — это линия, касательные к которой совпадают с направлениями электрических сил, испытываемых положительным электричеством, воображенным в точках, находящихся на этой линии) и должно существовать давление по направлениям, перпендикулярным к силовым линиям. Такое напряженное состояние может вызываться только в изоляторах. Проводники не способны испытывать подобное изменение своего состояния, в них не происходит никакого возмущения; и только на поверхности таких проводящих тел, т. е. на границе между проводником и изолятором, поляризованное состояние изолирующей среды становится заметным, оно выражается в кажущемся распределении электричества на поверхности проводников. Итак, наэлектризованный проводник как бы связан с окружающей изолирующей средой. С поверхности этого наэлектризованного проводника как бы распространяются силовые линии, и эти линии заканчиваются на поверхности другого проводника, который видимым образом представляется покрытым противоположным по знаку электричеством. Вот какова картина, которую рисовал себе Фарадей для разъяснения явлений электризации.

 

Учение Фарадея нескоро было принято физиками. Опыты Фарадея рассматривались даже в шестидесятых годах как не дающие права на допущение какого-либо существенного значения изоляторов в процессах электризации проводников. Только позднее, после появления замечательных работ Максвелла, идеи Фарадея стали все более и более распространяться между учёными и, наконец,были признаны вполне отвечающими фактам.

 

Здесь уместно отметить, что ещё в шестидесятых годах проф. Ф. H. Шведов, на основании произведенных им опытов, весьма горячо и убедительно доказывал верность основных положений Фарадея относительно роли изоляторов ^[2]. На самом деле, однако, за много лет до работ Фарадея уже было открыто влияние изоляторов на электрические процессы. Ещё в начале 70-х годов XVIII столетия Кавендиш наблюдал и весьма тщательно изучил значение природы изолирующего слоя в конденсаторе. Опыты Кэвендиша, как и впоследствии опыты Фарадея, показали увеличение электроемкости конденсатора, когда слой воздуха в этом конденсаторе заменяется такой же толщины слоем какого-либо твёрдого диэлектрика. Эти опыты дают даже возможность определить численные величины диэлектрических постоянных некоторых изолирующих веществ, причём эти величины получаются сравнительно немного отличающимися от тех, какие найдены в последнее время при употреблении более совершенных измерительных приборов. Но эта работа Кавендиша, как и другие его исследования по электричеству, приведшие его к установлению закона электрических взаимодействий, тождественного с законом, опубликованным в 1785 г. Кулоном, оставались неизвестными вплоть до 1879 г. Только в этом году мемуары Кавендиша были обнародованы Максвеллом ^[3], повторившим почти все опыты Кавендиша и сделавшим по поводу их многие, весьма ценные указания.

 

 

2. Потенциал

 

Как уже выше упомянуто, в основу электростатики, вплоть до появления работ Максвелла, был положен закон Кулона: . При допущении С = 1, т. е. при выражении количества электричества в так называемой абсолютной электростатической единице системы СГС, этот закон Кулона получает выражение: .

 

отсюда потенциальная функция или, проще, потенциал в точке, координаты которой (x, у, z), определяется формулой:

 

 

в которой интеграл распространяется на все электрические заряды в данном пространстве, а r обозначает расстояние элемента заряда dq до точки (x, у, z). Обозначая поверхностную плотность электричества на наэлектризованных телах через σ, а объёмную плотность электричества в них через ρ, мы имеем

 

 

Здесь dS обозначает элемент поверхности тела, (ζ, η, ξ) — координаты элемента объёма тела. Проекции на оси координат электрической силы F, испытываемой единицей положительного электричества в точке (x, у, z) находятся по формулам:

 

 

Поверхности, во всех точках которых V = пост., носят название эквипотенциальных поверхностей или, проще, поверхностей уровня. Линии, ортогональные к этим поверхностям, суть электрические силовые линии. Пространство, в котором могут быть обнаружены электрические силы, т. е. в котором могут быть построены силовые линии, носят название электрического поля. Сила, испытываемая единицей электричества в какой-либо точке этого поля, называется напряженностью электрического поля в этой точке. Функция V обладает следующими свойствами: она конечна, непрерывна. Определена с точностью до произвольной константы, поэтому её также можно задать так, чтобы она обращалась в 0 в точках, отстоящих от данного распределения электричества на бесконечное расстояние. Потенциал сохраняет одну и ту же величину во всех точках какого-либо проводящего тела. Для всех точек земного шара, а также для всех проводников, металлически соединённых с землей, функция V равна 0 (при этом не обращается внимания на явление Вольты, о котором сообщено в статье Электризация). Обозначая через F величину электрической силы, испытываемой единицей положительного электричества в какой-нибудь точке на поверхности S, замыкающей собой часть пространства, и через ε — угол, образуемый направлением этой силы с внешней нормалью к поверхности S в той же точке, мы имеем

 

 

В этой формуле интеграл распространяется на всю поверхность S, a Q обозначает алгебраическую сумму количества электричества, заключающихся внутри замкнутой поверхности S. Равенство (4) выражает собой теорему, известную под названием теоремы Гаусса. Одновременно с Гауссом такое же равенство было получено Грином, почему некоторые авторы эту теорему называют теоремой Грина. Из теоремы Гаусса могут быть выведены как следствия,

 

a) теорема Пуассона

 

 

здесь ρ обозначает объёмную плотность электричества в точке (x, у, z);

 

b) теорема Лапласа

 

 

такое уравнение относится ко всем точкам, в которых не имеется электричества

 

с) граничное условие

 

 

Здесь Δ — оператор Лапласа, n₁ и n₂ обозначают нормали в точке какой-либо поверхности, в которой поверхностная плотность электричества σ, нормали, проведенные в ту и в другую сторону от поверхности. Из теоремы Пуассона следует, что для проводящего тела, в котором во всех точках V = пост., должно быть ρ = 0. Поэтому выражение потенциала принимает вид

 

 

Из формулы, выражающей граничное условие, т. е. из формулы (7), следует, что на поверхности проводника

 

 

причём n обозначает нормаль к этой поверхности, направленную от проводника внутрь изолирующей среды, прилегающей к этому проводнику. Из этой же формулы выводится

 

 

Здесь F_n обозначает силу, испытываемую единицей положительного электричества, находящегося в точке, бесконечно близко лежащей к поверхности проводника, имеющей в этом месте поверхностную плотность электричества, равную σ. Сила Fn направлена по нормали к поверхности в этом месте. Сила, испытываемая единицей положительного электричества, находящегося в самом электрическом слое на поверхности проводника и направленная по внешней нормали к этой поверхности, выражается через

 

 

Отсюда электрическое давление, испытываемое по направлению внешней нормали каждой единицей поверхности наэлектризованного проводника, выражается формулой

 

 

Приведенные уравнения и формулы дают возможность делать немало выводов, относящихся к вопросам, рассматриваемым в Э. Но все они могут быть заменены ещё более общими, если воспользоваться тем, что содержится в теории электростатики, данной Максвеллом.

 

 

3. Электростатика Максвелла

 

Как уже упомянуто выше, Максвелл явился истолкователем идей Фарадея. Он облек эти идеи в математическую форму. Основание теории Максвелла заключается не в законе Кулона, а в принятии гипотезы, которая выражается в следующем равенстве:

 

 

Здесь интеграл распространяется по какой угодно замкнутой поверхности S, F обозначает величину электрической силы, которую испытывает единица электричества в центре элемента этой поверхности dS, ε обозначает угол, образуемый этой силой с внешней нормалью к элементу поверхности dS, К обозначает диэлектрический коэффициент среды, прилегающей к элементу dS, и Q обозначает алгебраическую сумму количеств электричества, заключающихся внутри поверхности S. Следствиями выражения (13) являются нижеследующие уравнения: