Контрольная работа по дисциплине "Физика"

13. Что такое мгновенная  мощность сигнала? Как она вычисляется?

 

 

Мгновенная мощность w(t) является плотностью мощности сигнала, так как измерения мощности возможны только через энергию на интервалах ненулевой длины:

w(t) = (1/Dt) |s(t)|2dt.

 

Энергия сигналов может быть конечной или бесконечной. Конечную энергию имеют финитные сигналы и сигналы, затухающие по своим значениям в пределах конечной длительности, которые не содержат дельта-функций и особых точек (разрывов второго рода и ветвей, уходящих в бесконечность). В противном случае их энергия равна бесконечности. Бесконечна также энергия периодических сигналов.

 

25. Сформулируйте равенство Парсеваля  и неравенство Бессселя применительно к рядам Фурье

 

 

Неравенство Бесселя  

 
     Равенство Парсеваля  

 
     Ряд Фурье в комплексной форме  

 
 

 
     Равенство Парсеваля (условие полноты)  

 

 

 

Неравенство Бесселя играет важную роль во всех  
исследованиях, относящихся к теории ортогональных рядов. В частности, оно  показывает, что коэффициенты Фурье функции f(х) стремятся к нулю  
при п-> БЕСКОНЕЧНОСТЬ. Для тригонометриеской  системы функций  
это неравенство было получено Ф. Бесселем (1828). Если система функций  
ф<suk< su<="" i="">  
такова, что для любой функции f н Бесселя обращается в равенство, то  
оно называется  Парсеваля равенством.

 

37. Изобразите наглядно  формулу Эйлера для косинуса  на комплексной плоскости (в виде  двух комплексно сопряженных  экспонент).

  Это экспонента f(x) = e kx. Константа k могла быть найдена дифференцированием: f’(x) = kekx = kf(x). Продифференцировав  нашу функцию: f’(φ) = – sin(φ) + icos(φ) = i(cos(φ) + isin(φ)) = if(φ). Таким обра- зом, мы приходим к следующей формуле Эйлера: e i ᶲ = cos φ+i sin φ

 

 

Поскольку многозначные функции не очень удобная вещь, математики восстанавливают их однозначность, задавая их не на комплексной плоскости, а на так называемой римановой поверхности.

 Возьмем экземпляр комплексной плоскости (обозначим его D0) и

разрежем его по положительной части действительной оси. На верхнем берегу разреза определим комплексный логарифм как действительное число Lnx = lnx. Далее, обходя плоскость D0 против часовой

стрелки, получим на нижнем берегу разреза Lnx = lnx + 2πi. Возьмем

еще один экземпляр комплексной плоскости (обозначим D1) с разре-

зом по положительной части действительной оси и приклеим верх-

ний берег разреза D1 к нижнему берегу разреза D0. На D1 аргумент

продолжит возрастать, и на нижнем берегу разреза D1 получим Lnx =

lnx + 4πi. Далее подклеиваем лист D2 и так далее до бесконечности.

Теперь идем в другую сторону: подклеиваем верхний разрез D0 к

нижнему разрезу D-1, на которой логарифм меняется от Lnx = lnx до

Lnx = lnx – 2πi. И, опять же, так далее до бесконечности. Получаем

бесконечный в обе стороны штопор. На этом множестве логарифм

однозначен.

 

49. Как выглядит комплексный  сигнал положительной частоты  на комплексной плоскости?

 

 

Анализ прохождения сигналов через линейные цепи, описываемые комплексной передаточной функцией, значительно облегчается при использовании методов контурного интегрирования на плоскости комплексной частоты .

 

       В электротехнике кроме временной модели представления гармонического сигнала принята модель, описывающая колебание с помощью вращающегося комплексного вектора. Область изменения такого вектора называется комплексной плоскостью. Координаты вектора на комплексной плоскости могут быть заданы проекциями на ортогональные оси, которые принято называть осью вещественных чисел, обозначаемую символом 1 (ось абсцисс) и осью мнимых чисел, которую принято обозначать символом j (ось ординат). 

Если взять сигнал, описанный уравнением   , то в комплексном виде он будет записан как:

 

где   - мнимая единица.

Это выражение носит название комплекса мгновенного значения.

    Изображение вектора комплексной амплитуды.

 

 

52. Что происходит со  спектром сигнала при умножении  сигнала на комплексную экспоненту?

 

Умножение на комплексную экспоненту приводит к смещению спектра сигнала по частотной оси. Нет большой разницы — вычислять целевую функцию как величину, обратную интенсивности спектральной компоненты.

 

Умножение на экспоненту.

Умножим последовательность   на экспоненту   (  в общем случае комплексное):

Таким образом,

                     

Это теорема смещения для z-преобразования.

 

64. Связь коэффициентов  тригонометрического и комплексного  рядов Фурье

 

 

Комплексная форма ряда Фурье.

 

Очевидно, разложение в ряд Фурье линейной комбинации функций сводится к нахождению линейной комбинации соответствующих коэффициентов Фурье.

      Таким образом, чтобы получить коэффициенты разложения произведения, нужно вычислить свертки коэффициентов.

 

Тригонометрические ряды.

Функция f(x) называется периодической (периода а), если она определена на всей действительной оси и для нее выполняется равенство f(x+a) =f(x) для всех x.

 

Периодическая функция S=f(t) изображает периодическое движение (колебание) точки, имеющей в момент времени t координату s(на оси s).

 

76. Чем отличаются спектры  аналитического сигнала и комплексной огибающей?

 

 

  Аналитическим сигналом, отображающим вещественный сигнал s(t), называют второй интеграл выражения нормированный на p, т.е. обратное преобразование Фурье спектра сигнала s(t) по положительным частотам:

 

Дуальность свойств преобразования Фурье определяет, что аналитический сигнал zs(t), полученный из односторонней спектральной функции, всегда является комплексным и может быть представлен в виде:

zs(t) = Re z(t) + j·Im z(t).

Аналитический сигнал зависит от действительного аргумента, является однозначным и дифференцируемым. На комплексной плоскости он отображается вектором, модуль и фазовый угол которого изменяются от аргумента, а проекция сигнала на вещественную ось для любого значения аргумента равна значению исходного сигнала s(t). Какой-либо новой информации аналитический сигнал не несет, так как получен линейным преобразованием из исходного сигнала и представляет собой его новую математическую модель.

 

Спектральная плотность аналитического сигнала, если он сформирован непосредственно во временной области, определяется обычным преобразованием Фурье.

 

Моделирование по методу комплексной огибающей сводится к разработке алгоритма, связывающего комплексные огибающие на входе и выходе.

    Получаемая модель является низкочастотной, так как комплексная огибающая сигнала – это медленно меняющаяся во времени функция.

В методе экономится машинное время и память.

     Комплексную огибающую на выходе линейной цепи можно промоделировать прямо по формуле  (в универсальной ЭВМ, где есть представление комплексных чисел),  а спектр  аналитического сигнала, если он сформирован непосредственно во временной области, определяется обычным преобразованием Фурье.

 

88. Как повысить скорость  передачи информации, не повышая  скорости телеграфирования (манипуляции)?

 

 Рассматривая все возможные многоуровневые и многофазные методы шифрования, теорема Шеннона — Хартли утверждает, что ёмкость канала C, означающая теоретическую верхнюю границу скорости передачи информации, которые можно передать с данной средней мощностью сигнала S через один аналоговый канал связи, подверженный аддитивному белому гауссовскому шуму мощности N.

   Одним из способов повышения скорости передачи информации является применение адаптивных антенных решёток со слабо коррелированными антенными элементами. Системы связи, которые используют такие антенны, получили название MIMO систем (Multiple Input Multiple Output).

Скорость передачи полезных (в человеческом понимании) данных всегда меньше скорости передачи информации из-за присутствия в сетевых протоколах кроме нагрузки протокола ещё и служебных заголовков.

 

103. Поясните принцип  неравномерного кодирования данных  на примере азбуки Морзе

 

 

     Азбуку Морзе изобрел американец Самюэл Финли Бриз Морзе в 1838 году. Морзянка является первым цифровым способом передачи информации. Телеграф и радиотелеграф первоначально использовали азбуку Морзе;

        Код Морзе — неравномерный телеграфный код, где способ кодирования букв алфавита, цифр и других символов представлен определенной комбинацией элементарных посылок электрического тока (точек) и элементарных посылок утроенной продолжительности (тире).

Каждый символ исходного алфавита (мощности N) при кодировании представляется последовательностью символов кодового алфавита (мощности M), которая называется кодовым словом . Код состоит из кодовых слов.

 

1) В исходный  алфавит входили буквы латинского  алфавита, цифры, знаки препинания.

2) Кодовый  алфавит Морзе состоит из трех  символов (М=3): • тире – длинный  сигнал, • точка – короткий  сигнал, • пауза – отсутствие  сигнала.

3) Каждый  символ (знак) исходного алфавита

 Самуэль Морзе обозначил уникальной комбинацией из длинных и коротких сигналов – кодовым словом. Кодовые слова однозначно определяли каждый символ исходного алфавита. Впоследствии к латинскому алфавиту добавились шифры для знаков национальных алфавитов, например, русского.

Принцип кодирования азбуки Морзе исходит из того, что буквы, которые чаще употребляются в английском языке, кодируются более короткими сочетаниями точек и тире.

 Это делает передачи компактнее, а такие коды называются неравномерными. Примеры кодов Морзе некоторых символов:

 

 

 

Символ исходного алфавита	Кодовое слово	Символ исходного алфавита	Кодовое слово	Символ исходного алфавита	Кодовое слово
А	.-	I	..	J	.---
М	--	L	.-..	W	.--

 

 

 

Заметим, что началом кодовых слов символов J, L, W является кодовое слово символа A. Поэтому невозможно однозначно декодировать полученное сообщение, если не использовать паузы между кодовыми словами. Например, требуется расшифровать сообщение, закодированное азбукой Морзе и переданное без пауз между кодами символов (используются только приведенные в таблице кодовые слова): • – – – • – • • Для декодирования сообщения будем последовательно слева направо выделять коды символов. Получим варианты декодирования: AMAI (• – – – • – • •), AML (• – – – • – • •), JAI (• – – – • – ••), JL (• – – – • – • •). Для однозначного декодирования сообщения, закодированного азбукой Морзе, используют паузы, разделяющие кодовые слова.

 

 

115. Как зависит ширина спектра сигнала фазовой телеграфии от скорости передачи?

 

 

         Устройства преобразования сигналов телеграфии и передачи данных в сообщения по принятым комбинациям импульсов и пауз восстанавливают в соответствии с таблицей кода знаки сообщения (буквы, цифры и др.) и выдают их на печатающее устройство либо на экран дисплея.

     Заметим, что чем меньше длительность импульсов, отображающих сообщения, тем больше их будет передано в единицу времени. Величина, обратная длительности импульса, называется скоростью телеграфирования: В = 1/τи, где τи -длительность импульса, с.

 При длительности импульса  τи = 1с скорость В =1 Бод. В телеграфии используются импульсы длительностью 0,02 с, что соответствует стандартной скорости телеграфирования 50 Бод

 

Так, для стандартной скорости телеграфирования 50 Бод ширина спектра телеграфного сигнала составит 50 Гц. При скорости 2400 Бод (среднескоростная система передачи данных) ширина спектра сигнала равна примерно 2400 Гц.

 

139. Как получить АЧХ  и ФЧХ системы, если известна  её передаточная функция?

 

 

Передаточная функция:    W(p)=K

Передаточная функция не зависит от переменной p, т.е. пропорциональное звено является статическим. Параметр К называют коэффициентом передачи звена.

АЧХ:    L(ω)=20·lg(K)

ЛАЧХ не зависит от частоты. При любой частоте гармонического воздействия звено изменяет амплитуду в К раз, т.е. на 20·lg(K) децибел. 

 

ФЧХ:    φ(ω)=0

ЛФЧХ не зависит от частоты. Звено не вносит фазовый сдвиг при любой частоте гармонического воздействия.

 

 

142. Как получить импульсную  характеристику системы, если известна  её переходная характеристика?

 

Реакция цепи — выходная величина f2(t) при подаче на вход единичной функции f1(t) = 1(t) — называется переходной характеристикой цепи h(t), реакция на d-импульс — импульсной характеристикой hd(t). 

Импульсная характеристика является производной от переходной характеристики цепи. 

 

 Импульсная  переходная функция (импульсная  переходная характеристика, импульсная  характеристика, ИПФ) - выходной сигнал  динамической системы как реакция  на входной сигнал в виде  дельта-функции Дирака. В цифровых системах входной сигнал представляет собой простой импульс минимальной ширины (равной периоду квантования для дискретных систем) и максимальной амплитуды.

 

Для реальной системы переходную характеристику можно получить экспериментальным путем; при этом на вход системы следует подавать ступенчатое воздействие и фиксировать реакцию на выходе. Если ступенчатое воздействие отлично от единицы, то характеристику на выходе следует разделить на величину входного воздействия. Зная переходную характеристику, можно определить реакцию системы на произвольное входное воздействие с помощью интеграла свертки.