Контрольная работа по дисциплине "Механика"

Контрольная работа №1

Задача 1.1

Для обнаружения возможного лесного пожара используется расположенная на холме башня (рисунок 1). Ее высота над уровнем земли Н = 40 м. Определить дальность горизонта, а также время, необходимое для того, чтобы до него добраться при скорости движения v = 10 км/ч. Высоту деревьев не учитывать. Определить площадь жилого массива, который может быть просмотрен с башни.

Рисунок 1 – Схема мониторинга пожара

 

Дано: Н = 40 м; v = 10 км/ч = 2,8 м/с.

Найти: l - ? t - ? F - ?

 

Решение:

Дальность горизонта определяется по формуле:

.

Время, необходимое для того, чтобы добраться до горизонта при скорости движения v = 10 км/ч равно:

;

.

Площадь жилого массива, который может быть просмотрен с башни равна:

F = π ∙ l2;

F = 3,14 ∙ 22574,42 = 1600 ∙ 106 м = 1600 км.

Ответ: 22574,4 м; 8062 с; 1600 км.

 

Задача 1.2

В результате дорожно-транспортного происшествия автомобиль получил повреждения. Его двери заклинены. Есть угроза пожара. Для спасения пассажиров необходимо открыть дверь (рисунок 2), для этого к ней привязан трос. С какой силой, направленной вертикально вниз, должен действовать спасатель на середину троса, чтобы сила натяжения была равна 7000 Н? Считать, что угол прогиба троса при этом равен 40.

Рисунок 2 – Схема открывания двери

 

Дано: T = 7000 Н; α = 40.

Найти: P - ?

 

Решение:

Проецируя действующие силы на ось OY получаем:

P = Т ∙ sin α  + Т ∙ sin α  = 2 ∙ Т ∙ sin α 

P = 2 ∙ 7000 ∙ sin 40 = 976,6  H.

Ответ: 976,6 Н.

 

Задача 1.3

Для аварийного спуска человека используется спасательный рукав длиной Н = 30 м (рисунок 3). Скорость падения человека на землю должна быть v = 3 м/с. Считать движение равноускоренным. Определить, во сколько раз сила трения отличается от веса человека при его движении. Сила трения постоянна, масса человека m = 100 кг.

Рисунок 3 – Спасение человека

 

Дано: Н = 30 м; v = 3 м/с; m = 100 кг.

Найти: Fтр / Р - ?

 

Решение:

Вес человека равен

Р = m ∙ g

P = 100 ∙ 9,81 = 981 Н.

Согласно закона сохранения энергии

Отсюда сила трения

.

Н.

Fтр / Р = 966 / 981 = 0,98.

Ответ: в 0,98 раз

 

 

Задача 1.4

Человек падает с высоты Н = 10 м. Для его спасения используют натянутый брезент. Брезент под действием человека прогибается на х = 1 м. Определить нагрузку, которую испытывает человек, и время ее действия. Оценить опасность для жизни и здоровья человека (рисунок 4).

Рисунок  4 – Допустимые перегрузки

 

Дано: Н = 10 м; х = 1 м.

Найти: n - ?

 

Решение:

Согласно закона сохранения энергии кинетическая энергия человека при соприкосновении с брезентом равна потенциальной энергии на высоте Н.

.

Вся кинетическая энергия человека расходуется на работу на пригибание брезента на расстояние х = 1 м.

.

Отсюда, сила, с которой человек падает на брезент, равна:

.

Таким образом, перегрузка равна n = 10.

 

Время, в течении которого на человека будет действовать перегрузка определяется по формуле:

,

где ,

;

.

Данная перегрузка в течении полученного времени не опасна для жизни человека.

Ответ: n = 10; t = 0,07 сек.

 

Задача 1.5

Можно ли спасать людей массой m = 100 кг, прыгающих по очереди с высоты Н = 6 м на растянутый брезент, который прогибается при падении человека на х = 1 м? Площадь соприкосновения человека с брезентом S = 0,5 м2. Прочность брезента Р0 = 104 Н/м2.

 

Дано: m = 100 кг; Н = 6 м; х = 1 м; S = 0,5 м2; Р0 = 104 Н/м2.

Найти:

 

Решение:

Давление, которое окажет человек, при падении на брезент определяется по формуле

,

где F – сила, с которой человек ударяется о брезент.

Согласно закона сохранения энергии кинетическая энергия человека при соприкосновении с брезентом равна потенциальной энергии на высоте Н.

.

Вся кинетическая энергия человека расходуется на работу на пригибание брезента на расстояние х = 1 м.

.

Отсюда сила, с которой человек ударяется о брезент равна:

.

.

Так как Р > Р0, то данным брезентом людей спасать нельзя.

 

Задача 1.6

В результате отказа рулевой системы и тормозов автомобиль массой m = 2000 кг со скоростью V1 = 36 км/ч под прямым углом врезался в чугунное ограждение набережной, сбил его и упал в воду (рисунок 5). Вода находится ниже уровня дороги на Н = 4 м. При ударе автомобиль деформировался на х = 1 м. Ограждение рушится при силе действия F0 = 6 ∙ 104 Н. Определить скорость автомобиля, после того, как он пробил ограждения, и расстояние L. Сопротивление воздуха не учитывать. Считать, что автомобиль лежит на дне реки под местом падения в воду.

Рисунок 5 – Схема падения автомобиля в воду

 

Дано: m = 2000 кг; V1 = 36 км/ч = 10 м/с; Н = 4 м; х = 1 м; F0 = 6 ∙ 104 Н.

Найти: V2 - ? L - ?

 

Решение:

Согласно закона сохранения энергии:

Eк1 = Eк2 + AFтр

Отсюда скорость автомобиля после того, как он пробил ограждение:

;

Из уравнения движения:

при проекции на ось ОY:

.

при проекции на ось ОХ:

,

где V – скорость автомобиля в конце пути, V = 0,

тогда

;

;

м.

Ответ: 6,3 м/с; 27,9 м.

 

 

 

 

Задача 1.7

Для предотвращения возможного загорания деревянного дома, находящегося недалеко от места пожара, необходимо на его крышу и стены за 1 мин. подать 15 л воды. Можно ли для этих целей использовать колодец глубиной Н = 10 м? Масса вала, на который намотана невесомая веревка, m0 = 20 кг. Его радиус r = 10 см. К колесу, радиус которого R = 60 см, человек для поднятия ведра прикладывает постоянную касательную силу F = 20 Н. Массу колеса и трение не учитывать. Вместимость ведра 10 л, масса ведра mв = 1 кг. За время t0 = 15 c. поднятое ведро с водой человек переливает в другое. Под действием собственной массы ведро опускается вниз, разматывая веревку с вала. Время погружения ведра в воду не учитывать. Через какие интервалы времени будет подаваться вода.

 

Дано: t = 1 мин. = 60 сек; V = 15 л; Н = 10 м; m0 = 20 кг; r = 10 см; R = 60 см; t0 = 15 c; F = 20 Н; mв = 1 кг; .

Найти: tи - ?

 

Решение:

Момент сил диска

M = Jε = FR.

Момент инерции колеса (диска)

J = m0R2/2.

Угловое ускорение равно:

;

.

Число оборотов,  которые совершит вал (и соответственно колесо) при поднятии ведра на высоту 10 м определяется по формуле

n = H / (2∙π∙r);

n = 10 / (2∙3,14∙0,1) = 15,92 оборота.

Угол на который повернется вал равен

φ = n ∙ 2π = 15,92 ∙ 2 ∙ 3,14 = 100 рад.

С другой стороны

φ = ω∙t + ε∙t2 / 2,

где ω – угловая скорость,

ω = ε ∙ t,

тогда

φ = ε ∙ t ∙ t + ε ∙ t2 / 2 = 3ε∙t2 / 2,

отсюда, время потраченное на подъем ведра с глубины Н = 10 м определим по формуле: 

.

 с.

Время, за которое ведро упадет на дно колодца, определяется по формуле:

с

Время, за которое будет подаваться 10 л воды равно:

tΣ = t0 + t1 + t2 = 15 + 4,5 + 1,4 = 20,9 с.

Значит, за 1 мин будет подано 2 ведра воды объемом 10 л каждое, т.е. V = 20 л воды.

Таким образом

V = 20 л > Vтреб = 15 л,

а значит колодец, глубиной 10 м, использовать для подачи воды можно.

 

 

Задача 1.8

Для предупреждения об опасности автоматическая система включает сирену. Колесо сирены имеет 60 отверстий и вращается с частотой 300 мин-1. Скорость звука в воздухе v = 340 м/с. Определить длину звуковой волны.

 

Дано: N = 60 отв; n = 300 мин-1 = 5 c-1; Н = 10 м; с = 340 м/с.

Найти: λ - ?

 

Решение:

Длина звуковой волны определяется по формуле:

,

где v – скорость источника волн относительно среды, так как сирена неподвижна, то v = 0;

      ω0 – частота, с которой источник испускает волны,

ω0 = N ∙ n;

;

 м.

Ответ: 1,13 м.